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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Sa 19.11.2005 | | Autor: | brain86 |
Hallo!
Es sei f(x)= | x| für - [mm] \pi< [/mm] x [mm] \le \pi. [/mm] Denken Sie sich diese Funktion periodisch auf [mm] \IR [/mm] fortgestzt, und skizzieren Sie den Graphen. Ermitteln sie die Fourierreihe zu f auf [mm] L^2 [/mm] (- [mm] \pi, \pi).
[/mm]
Könntet ihr mir vielleicht dabei helfen, wie ich die Fourierreihe heraufbekomme?
Vielen Dank im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 20.11.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
wenn Du die Funktion aufmalst, siehst Du, dass es eine gerade Funktion ist, die Fourierreihenentwicklung kann also keine Sinusterme enthalten. Damit muss man nur für die einzelnen Cosinusterme den Wert der Koeffizienten bestimmen. Allgemein gilt für eine gerade Funktion zur Berechnung der Koeffizienten:
$ [mm] a_{k}= \bruch{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} [/mm] f(x) [mm] \cos kx\; [/mm] dx $.
In diesem Falle ist $ f(x) = x$.
Für $ [mm] a_{0} [/mm] $ erhält man also den Wert [mm] $\bruch{\pi}{2} [/mm] $.
Die weiteren Koeffizienten ergeben sich, wenn man weiss, dass
$ [mm] \int [/mm] x [mm] \cos [/mm] kx [mm] \; [/mm] dx = [mm] \bruch{\cos kx}{k^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{x \sin kx}{k} [/mm] $
gilt.
Damit ist der Lösungsweg klar.
Viele Grüße,
Infinit
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