Fourier Transformation < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Signal wird aufgenommen ( z.b. durch Wegmesser, Geschwindigkeitsmesser etc). Es soll mit der der FT bearbeitet werden |
Hallo,
ich lerne gerade die FT kennen und habe ein Verständnisproblem.
Soweit ich es verstehe gehe ich von einem Signal aus und mithilfe der FT bekomme ich dann ein Spektrum welches die Zerlegung dieses Signals ist.
Allerdings finde ich nirgendwo eine gute anschauliche Erklärung dazu :(
Soweit ich es verstehe ist ja FT lediglich das Aufstellen der Fourier Reihe , allerdings da ich als Signal kein periodisches Phänomen habe wird die Periode ins unendliche ausgedehnt.
Hat irgendjemand ein Beispiel oder eine Erklärung für das praktische Vorgehen?
Bin wirklich etwas verwirrt :(
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Hallo Traumfabrik,
ich bin auch etwas verwirrt, weil ich nicht so recht weiß, wie ich am besten darauf antworten soll. Eigentlich hast du die Antwort schon gegeben.
Du hast ein Signal, wo dich letztendlich die Zerlegung in einzelne Frequenzen und AMplituden interessiert. Gerade für die Technik ist das ja von Interesse (z.B. für das Bauen irgendwelcher (Ton)-Filter).
Du kannst Funktionen "Fouriertransformieren". Du erhälts dann Überlagerungen von Schwingungen. Du kennst sicherlich die kontinuierliche Fouriertransformation ("die mit dem Integral") und die diskrete Fouriertransformation ("die mit dem Summenzeichen"). Dies sind zunächst einmal die zwei Arten.
Wozu nun das ganze? Ja, wie gesagt. Die ursprüngliche Funktion und die Transformierte zeigen genau dasselbe. Nur in einer anderen Darstellung. Und für die Datenanalyse ist es eben wichtig zu wissen, mit welchen Frequenzen man es zu tun hat.
In welchem Semester bist du? Ich kann dir versichern, dass du noch viele viele Versuche in deinen Praktika haben wirst, wo du eine Fourieranalyse durchführen musst.
Bsp: INtensitätsverteilung am Einzelspalt. Wenn du hier eine Fouriertransformation durchführst, bekommst du genau die Intensitätsverteilung am Einzelspalt durch. Einfach die zugehörige Funktion aufstellen, und "fertig".
Vielleicht als gutes Video kann ich dir mal diese zwei empfehlen. Das erste zeigt dir noch einmal die Grundzüge und erklärt noch einmal, wozu das ganze wichtig ist, und das zweite ist ein bisschen was fürs Auge. 
https://www.youtube.com/watch?v=1JnayXHhjlg
https://www.youtube.com/watch?v=TTq6PjqP0g8
Liebe Grüße
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Ich studiere Bauingwesen und brauche das für Dynamik :)
Ich verstehe denke ich einen Teil warum und wie ich das mache.
Allerdings habe ich eine sehr dumme Frage:
ich nehme ein Signal f(t) (nichtperiodisch daher FT)
jetzt nehme ich die Formel F(f oder andere variable für die Frequenz)
und die Formel = Integral von - bis + unendlich von f(t)*e^(-2*pi*f*t) dt
Was ist das Ergebnis hier ? das Integral gibt mir doch immer einfach eine Zahl,
(anscheinend komplex, deswegen muss ich zur Darstellung den Betrag nehmen)
Ich will ja aber ein Spektrum und keine einzelne Zahl, muss ich dann ( und wie )
da es F(f) ist die Frequenz durchlaufen lassen um mit dem Integral jeweils einen Wert zu bekommen, welche dann das Spektrum aufbauen ?
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Hi,
> Ich studiere Bauingwesen und brauche das für Dynamik :)
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> Ich verstehe denke ich einen Teil warum und wie ich das
> mache.
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> Allerdings habe ich eine sehr dumme Frage:
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> ich nehme ein Signal f(t) (nichtperiodisch daher FT)
>
> jetzt nehme ich die Formel F(f oder andere variable für
> die Frequenz)
>
> und die Formel = Integral von - bis + unendlich von
> f(t)*e^(-2*pi*f*t) dt
>
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> Was ist das Ergebnis hier ? das Integral gibt mir doch
> immer einfach eine Zahl,
Nö, das stimmt ja nicht.
Sei mal f(t) eine Funktion in Abhöngigkeit der Zeit. Also in der Tat mal ein zeitliches Signal. Dann ist die Fouriertransformierte:
[mm] F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega{t}}dt
[/mm]
Du weißt ja sicherlich, was auch [mm] e^{it}=\cos{t}+i\sin{t} [/mm] ist. Du bekommst also in der Tat sowas wie "Frequenzen" durch die Integration.
Übrigens: So genau ist die Fouriertransformation nicht definiert. Es gibt viele verschiedene Darstellungen. Da unterscheidet sich auch die Physik von der Mathematik. Die Physiker schmeißen meist noch einen Vorfaktor davor. Dieser dient aber nur zur Normierung. Lass dich also nicht beirren, falls du mehrere verschiedene Formen siehst.
> (anscheinend komplex, deswegen muss ich zur Darstellung
> den Betrag nehmen)
>
> Ich will ja aber ein Spektrum und keine einzelne Zahl, muss
> ich dann ( und wie )
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> da es F(f) ist die Frequenz durchlaufen lassen um mit dem
> Integral jeweils einen Wert zu bekommen, welche dann das
> Spektrum aufbauen ?
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Anscheinend habe ich da fundamental etwas nicht verstanden.
Das es sich bei c um eine komplexe Zahl handelt und wie man sie in sinus und Kosinus darstellen kann ist mir klar.
Allerdings ist mir nicht klar wie ich das Spektrum bekomme...
Ich dachte immer ein Integral gibt mir geometrisch interpretiert eine Fläche unter einer Kurve aus. Was ja eine Zahl ist.
Irgendwo mache ich da einen Denkfehler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Do 27.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Da steht ja noch das [mm] $\omega$ [/mm] als Variable im Integral. Da nicht über [mm] $\omega$ [/mm] integriert wird, wird diese Vriable auch im Ergebnis stehen bleiben.
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Also bekomme ich doch doch dann eine Funktion in die ich omega einsetzen muss ?
Das war ja meine Frage vorher.. ob ich dann Frequenzen durchlaufen lassen muss um das Spektrum zu erhalten :(
Steh so auf dem schlauch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Do 27.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast die zeitliche Veränderung einer Größe, f(t). Du willst wissen, ob darin periodische Komponenten sind. Du berechnest die Fouriertransformierte [mm] $F(\omega)$. [/mm] Das ist eine Funktion.
Auf der "x"-Achse ist die Frequenz, auf der "y"-Achse die Intensität (vereinfacht, ohne komplexe Zahlen). Wenn nun diese Funktion ein ausgeprägtes Maximum hat, dann enthält das Signal f(t) diese Frequenz mehr als andere Frequenzen.
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Also lasse ich doch für das Spektrum bei der Funktion F(omega)
einfach auf der x - Achse omega durchlaufen um den Graph der Funktion
( die physikalische interpretation is das Spektrum) bzw. den Betrag der Funktion zu erhalten ..
Ich verstehe leider nicht was daran falsch sein soll :(
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Hi!
Naja, genau so ist es. Vermutlich war das jetzt einfach ein Mißverständnis zum Schluss.
Ich hatte eben noch das exemplarische Beispiel mit den bunten Formeln geschrieben. Das zeigt ja, wie du die Amplitude [mm] a_3 [/mm] berechnen kannst. Natürlich kann man das ganze so generisch gestalten, daß du die Rechnung nicht für jedes [mm] a_i [/mm] durchführen mußt, sondern gleich einen Ausdruck bekommst, der zu jedem i das [mm] a_i [/mm] ausspuckt. Der Graf wäre dann, wenn du die [mm] a_i [/mm] gegen i aufträgst.
In deinem Fall hat man aber keine diskreten Frequenzen (ganzzahlige Vielfache von einem einzigen [mm] \omega [/mm] ), sondern einen kontinuierlichen Verlauf mit beliebigen Frequenzen / [mm] \omega [/mm] 's
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Ich verstehe das jetzt alles , vielen Dank !!!
Nur eine letzte frage:
Wozu mache ich das, schön ich kann jetzt ein zeitabhängiges Signal im Frequenzbereich darstellen, das ganze Filtern um vllt einzelne Frequenzen freizuschneiden.
Aber verarbeite ich das ganze weiter ?
Oder worin besteht genau der Vorteil es transformiert zu haben ?
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Hi!
Da gibt es eine ganze Reihe an Dingen, die man damit machen kann, von denen ich die mathematischen Spielchen gar nicht erst erwähnen möchte.
Beispiel ![[]](/images/popup.gif) Tiefpass-Filter in der Elektronik:
So ein Filter besteht aus einem Kondensator C und einem Widerstand R . Dem Namen nach lässt er niederfrequente Signale passieren, und dämpft hochfrequente. Der Dämpfungsfaktor ist
[mm] $\frac{1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}} [/mm] $
Hast du nun ein beliebiges Signal, kannst du es Fourier-transfomieren, und kennst dann alle Frequenzanteile. Die kannst du dann mit diesem Faktor multiplizieren, und siehst, wie das Spektrum hinter dem Filter aussieht. Wenn du dann noch eine inverse Fourier-Transformation machst, siehst du, wie das ursprüngliche Signal hinter dem Filter aussieht.
Ein anderes Beispiel: Ich sollte das Rauschverhalten eines Netzteils untersuchen, welches eine konstante Spannung liefern soll. Meistens landet doch noch etwas von den 50Hz Netzfrequenz auf der Ausgangsspannung, und je nach Aufbau des Netzteils können auch noch Störungen anderer Frequenzen entstehen und auf der Ausgangsspannung liegen. Das heißt: Die Ausgangsspannung ist prinzipiell eine Gleichspannung, aber zusätzlich gibt es kleine Abweichungen unterschiedlicher Frequenzen.
Wenn du explizit nach 50Hz suchst, guckst du dir das Signal auf einem Oszilloskop an, und stellst das Oszi eben so ein, daß sich 50Hz gut erkennen lassen.
Das funktioniert aber nicht, wenn du noch nicht weißt, nach welcher Frequenz du suchst. Dann ist es besser, den Spannungsverlauf per Fourier zu transformieren, und da zu schauen, welche Frequenzen sich besonders hervorheben. Bei meinen Messungen ist mir dann das hier aufgefallen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Peaks sind keine Störungen aus dem untersuchten Netzteil, es sind die UKW-Radiosender des Senders Wuppertal Langenberg! Du kannst dir ne Frequenztabelle besorgen, und damit den einzelnen Peaks die Sendernamen zuordnen. Das war zwar nicht das, was ich eigentlich messen wollte, es zeigt aber sehr gut, was Fourier kann. Es kann dir stärker vertretene Frequenzen zeigen.
Ein letztes Beispiel:
In einem selbst ausgedachten Versuch wollten Studenten den Ton untersuchen, den eine Flasche abgibt, wenn man über die Öffnung bläst (Lautstärke, Frequenz, alles abhängig vom Füllstand in der Flasche). Natürlich haben sie Druckluft benutzt, aber die Düse hat ein ziemliches Rauschen von sich gegeben. Es ist dann nicht möglich, solche Lautstärkemessgeräte zu benutzen, weil die eben das Gesamtsignal betrachten. Statt dessen nimmt man ein Mikrofon und zeichnet dessen Spannungssignal auf. Das transformiert man, und erkennt dann den Ton der Flasche sehr deutlich im Spektrum.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Das mit der geometrischen Fläche ist ein sehr eingängiges Beispiel, aber es ist eben nicht das, was du eigentlich berechnen willst.
Vielleicht erstmal was zum Verständnis der Fourier-Transformation
Gegeben sei eine Funktion f(t), die periodisch sein soll. Sie soll sich als Summe von Sinusfunktionen darstellen lassen:
[mm] $f(t)=a_1\sin(\omega t)+a_2\sin(2\omega t)+a_3\sin(3\omega [/mm] t)+...$ (das ist jetzt erstmal ein sehr simpler Fall, dient aber der Anschauung)
Du möchtest nun also die Werte [mm] a_i [/mm] wissen.
Der Trick: Multipliziere die Funktion mal mit [mm] \sin(3\omega [/mm] t) :
[mm] $f(t)*\sin(3\omega t)=\red{a_1\sin(\omega t)*\sin(3\omega t)}+\green{a_2\sin(2\omega t)*\sin(3\omega t)}+\blue{a_3\sin(3\omega t)*\sin(3\omega t)}+...$
[/mm]
Additionstheoreme anwenden:
[mm]f(t)*\sin(3\omega t)=
\red{a_1\frac{1}{2}\left(\cos(\omega t-3\omega t)-\cos(\omega t+3\omega t)\right)}
+\green{a_2\frac{1}{2}\left(\cos(2\omega t-3\omega t)-\cos(2\omega t+3\omega t)\right)}
+\blue{a_3\frac{1}{2}\left(\cos(3\omega t-3\omega t)-\cos(3\omega t+3\omega t)\right)}+...[/mm]
Aufräumen:
[mm]f(t)*\sin(3\omega t)=
\red{a_1\frac{1}{2}\left(\cos(-2\omega t)-\cos(4\omega t)\right)}
+\green{a_2\frac{1}{2}\left(\cos(\omega t)-\cos(5\omega t)\right)}
+\blue{a_3\frac{1}{2}\left(\underbrace{\cos(0)}_{=1}-\cos(6\omega t)\right)}+...[/mm]
Und jetzt wird das ganze über eine Periode L integriert. Dabei passiert was: Wenn du eine COS-Funktion über eine oder mehrere Perioden integrierst, ist das Ergebnis immer 0. Einzige Ausnahme bildet hier der Term mit dem [mm] \cos(0) [/mm]
[mm] \int_0^Tf(t)*\sin(3\omega t)\,dt= \left[a_3\frac{1}{2}t\right]_0^L=\frac{L}{2}a_3
[/mm]
Das bedeutet: Multiplizerst du die Funktion f(t) mit dem Sinus einer bestimmten Periode und integrierst anschließend über eine Grundperiode, kommst du an den Vorfaktor [mm] a_3 [/mm] heran:
[mm] $\frac{2}{L}\int_0^Tf(t)*\sin(3\omega t)\,dt= a_3$
[/mm]
(Und das ist auch ne einfache Zahl, so,wie du es magst...)
Im Prinzip kannst du so alle Vorfaktoren bestimmen:
[mm] $\frac{2}{L}\int_0^Tf(t)*\sin(n\omega t)\,dt= a_n$
[/mm]
Der Bezug zum eigentlichen Thema hier:
- deine Funktion ist nicht periodisch. Daher gibt es keine Sinusfunktionen mit diskreten Perioden/Frequenzen [mm] \omega, 2\omega, 3\omega, [/mm] sondern beliebige
- bei mir gabs bisher nur Sinus. Aber weil man im wahren Leben ja Phasenunterschiede hat, braucht man eine Kombination von Sin und Cos. Und das leistet u.a. der Übergang ins Komplexe.
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