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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mi 13.08.2014 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich derzeit mit Fourier-Reihen und habe folgende Frage.
Es gibt Aufgabenstellungen, bei denen eine Fourierreihe mit reellen Fourierkoeffizienten aufzustellen ist und andere Aufgaben, bei denen komplexe Fourierkoeffizienten aufgestellt werden müssen.
Bisher war dies in den Aufgaben, die ich bearbeitet habe, vorgegeben.
Nun weiß ich nicht, ob jede T-periodische Funktion grundsätzlich als reelle bzw. als komplexe Fourierreihe aufgestellt werden kann.
Falls ja müsste ja dann immer in der Aufgabe stehen welche Variante angewandt werden soll bzw. man kann sich selbst eine aussuchen (kann man dann sagen, welche die rechnerisch vorteilhaftere ist ?)
Falls nicht, woran kann ich an der Funktion erkennen, ob ich eine reelle oder komplexe Fourierreihe aufstellen muss ?
Vielen Dank für Eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Do 14.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rubi,
> Hallo zusammen,
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> ich beschäftige mich derzeit mit Fourier-Reihen und habe
> folgende Frage.
>
> Es gibt Aufgabenstellungen, bei denen eine Fourierreihe
> mit reellen Fourierkoeffizienten aufzustellen ist und
> andere Aufgaben, bei denen komplexe Fourierkoeffizienten
> aufgestellt werden müssen.
>
> Bisher war dies in den Aufgaben, die ich bearbeitet habe,
> vorgegeben.
>
> Nun weiß ich nicht, ob jede T-periodische Funktion
> grundsätzlich als reelle bzw. als komplexe Fourierreihe
> aufgestellt werden kann.
nein, da gibt es einige Voraussetzungen, die eine Funktion erfüllen sollte.
Es gibt [mm] $T\,$-periorische [/mm] Funktion, deren Fourierreihe sogar nirgends
konvergiert (kannst Du hier nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow).
Und es gibt - wenn ich mich richtig erinnere - Fourierreihen, die fast überall
konvergieren, aber nicht gegen "die richtige" Funktion. Das müßte ich aber
nochmal nachschlagen.
> Falls ja müsste ja dann immer in der Aufgabe stehen
> welche Variante angewandt werden soll bzw. man kann sich
> selbst eine aussuchen (kann man dann sagen, welche die
> rechnerisch vorteilhaftere ist ?)
Naja, sagen wir es mal so: Im komplexen fasst man immer Paare zusammen,
von daher wirkt das erstmal eleganter. Im Endeffekt ist es aber doch egal.
Weißt Du denn, wie man aus den komplexen F.K. direkt die reellen
zurückrechnen kann bzw. wie man aus den reellen die komplexen
errechnen kann?
hier nachzulesen (klick!)
Ist Dir klar, wie diese Formeln zustandekommen?
> Falls nicht, woran kann ich an der Funktion erkennen, ob
> ich eine reelle oder komplexe Fourierreihe aufstellen muss ?
Von *müssen* kann doch keine Rede sein. Es ist doch eher die Frage, für
was Du die F.R. aufstellst, und welche weiteren Verarbeitungen Du mit den
Koeffizienten vorhast. Im Hinblick darauf solltest Du gucken, was für Dich
günstiger ist.
Generell könnte ich Deine Frage nun noch sehr viel weiter ausdehnen,
aber ich mach's mal kurz: Wenn Du eine stetige (evtl. bis auf endlich
viele Ausnahmenstellen)
[mm] $T\,$-periodische [/mm] Funktion gegeben hast, so konvergiert deren Fourierreihe an
jedem Stetigkeitspunkt gegen diese "richtige Funktion". An Sprungstellen
gegen den Mittelwert aus dem rechten und linken Limes der Sprungstelle.
Und für etwa solche Funktionen ist es auch absolut egal, ob Du die
komplexe oder reelle Variante nimmst.
Ich kann Dir übrigens auch eine Mitschrift eines ehemaligen Kommilitonen
von mir schicken, ich habe eine komplette Vorlesung über Fourieranalysis
besucht. Allerdings solltest Du das privat halten (nicht, weil die Vorlesung
geheim wäre, sondern weil es halt handschriftlich geschrieben ist) und ich
müsste Dir das in "Teilen" schicken.
Ansonsten, je nachdem, für welche Anwendungszwecke Du Dich damit
beschäftigst:
Vor kurzem habe ich gerade
dieses Skript (klick!)
gefunden, welches meines Erachtens nach sehr gut geschrieben ist. Zudem
wird da auch auf die FFT (DFT) eingegangen, welche ja in der Praxis sehr
relevant ist. Und momentan bin ich in diesen Bereichen wieder relativ fitt,
von daher kannst Du auch dazu gerne noch ein paar Fragen mehr stellen.
Und, wie gesagt: Brauchst Du die Kenntnisse über F.R. nur für theoretische
oder überwiegend für praktische Zwecke?
Nebenbei: Fourierreihen muss man auch nicht unbedingt nur auf die obige
beiden Arten darstellen. Es gibt auch noch die
Amplituden-Phasen-Notation,
an denen vermutlich Physiker eher interessiert sind. Aber auch hier sind
das nur einfache Umrechnungsschritte...
Gruß,
Marcel
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