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Fourier-Reihe und Pi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Do 22.05.2008
Autor: Blacky

Aufgabe
Beweisen Sie [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6} [/mm]
Berechnen Sie dazu die Fourier-Reihe von [mm] t^2 [/mm] im Bereich [mm] -\pi\le0\le\pi [/mm] (und dann periodisch fortgesetzt).

Gutentag!

Also die Fourier-Reihe habe ich schon zu

[mm] f(t)=\bruch{\pi^2}{3}+4*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{cos(nt)}{n^2} [/mm]

berechnet.

Nun weiß ich ja, dass f(0)=0 sein soll

[mm] f(0)=\bruch{\pi^2}{3}+4*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}=0 [/mm]

Daraus kann ich folgern, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}=-\bruch{\pi^2}{12} [/mm] sein muss. Da hier ja sozusagen die gleiche Menge an Zahlen addiert wird, wie subtrahiert wird, könnte man schlussfolgern, dass  [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6} [/mm] ist. Das scheint mir allerdings ziemlich vage. Wie kann ich von der obigen Gleichung aus eine fundierte Begründung liefern?

Vielen Dank.

M.f.G.

Blacky

        
Bezug
Fourier-Reihe und Pi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Do 22.05.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Beweisen Sie
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6}[/mm]
>  Berechnen Sie dazu die Fourier-Reihe von [mm]t^2[/mm] im Bereich
> [mm]-\pi\le0\le\pi[/mm] (und dann periodisch fortgesetzt).
>  Gutentag!
>  
> Also die Fourier-Reihe habe ich schon zu
>  
> [mm]f(t)=\bruch{\pi^2}{3}+4*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{cos(nt)}{n^2}[/mm]
>  
> berechnet.
>  
> Nun weiß ich ja, dass f(0)=0 sein soll
>  
> [mm]f(0)=\bruch{\pi^2}{3}+4*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}=0[/mm]
>  
> Daraus kann ich folgern, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}=-\bruch{\pi^2}{12}[/mm]
> sein muss. Da hier ja sozusagen die gleiche Menge an Zahlen
> addiert wird, wie subtrahiert wird, könnte man
> schlussfolgern, dass  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6}[/mm] ist.
> Das scheint mir allerdings ziemlich vage. Wie kann ich von
> der obigen Gleichung aus eine fundierte Begründung
> liefern?
>  
> Vielen Dank.
>  
> M.f.G.
>
> Blacky

Hallo Blacky,

ich nehme einmal an, dass deine Ueberlegungen zur Fourierreihe
korrekt sind - diesen Teil habe ich nicht überprüft.
Dass deine letzte "Folgerung" allzu vage ist, sehe ich allerdings ebenso.

Man kann sich aber ziemlich leicht helfen:

Ich habe etwas umgeformt und schreibe:

[mm] \bruch{\pi^2}{12} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{1}{25} [/mm] - [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + ...

und ferner:

X = 1 + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{1}{25} [/mm] + [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + ...

Dann ist:

[mm] \bruch{X}{4} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + [mm] \bruch{1}{64} [/mm] + ...

und:

X - [mm] 2*\bruch{X}{4} [/mm] = [mm] \bruch{X}{2}= [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{1}{25} [/mm] - [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + ...  = [mm] \bruch{\pi^2}{12} [/mm]

also:

X =  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6}[/mm]

Gruß       al-Chwarizmi


(dass man mit den Reihen so locker umgehen darf, liegt an ihrer absoluten Konvergenz)

Bezug
                
Bezug
Fourier-Reihe und Pi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:09 Do 22.05.2008
Autor: Blacky

Hallo al-Chwarizmi,  

vielen Dank für deine Antwort. Das konnte ich gut nachvollziehen. Geschickt, geschickt.

gruß, blacky


Bezug
                        
Bezug
Fourier-Reihe und Pi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Do 22.05.2008
Autor: Al-Chwarizmi

danke für die Blumen !  


Bezug
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