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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Di 05.11.2013 | | Autor: | Himalia |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der folgenden auf dem Intervall [mm] [-\pi,\pi) [/mm] definierten und mit [mm] f(x+2k\pi)=f(x),k\in [/mm] Z periodisch fortgesetzten Funktion:
f(x)=xcosx |
Hi,
ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=530317]
Leider habe ich dort kein feedback mehr bekommen deshalb versuche ich es jetzt hier.
Meine Idee:
Da die Funktin ungerade ist folgt [mm] a_k=0
[/mm]
1.Bestimmung von [mm] a_0 [/mm] :
[mm] a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \! [/mm] x*cos(x) [mm] \, [/mm] dx
[mm] a_0=\frac{1}{\pi} *\int_{-\pi}^\pi \! [/mm] x*cos(x) [mm] \, [/mm] dx [mm] =\frac{1}{\pi}*(x*sinx+cosx)=\frac{1}{\pi}*(1,17-1,17)=0
[/mm]
2.Bestimmung von [mm] b_k:
[/mm]
[mm] b_k= \frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} \! [/mm] f(x)*sin(kx) [mm] \, [/mm] dx
[mm] b_k= \frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \! [/mm] x*cos(x)*sin(kx) [mm] \, [/mm] dx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der folgenden auf
> dem Intervall [mm][-\pi,\pi)[/mm] definierten und mit
> [mm]f(x+2k\pi)=f(x),k\in[/mm] Z periodisch fortgesetzten Funktion:
>
> f(x)=xcosx
> Hi,
>
>
>
> ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=530317]
>
>
>
> Leider habe ich dort kein feedback mehr bekommen deshalb
> versuche ich es jetzt hier.
das ist eine hervorragende Idee. Wir hier sind nämlich viieeel besser ....
>
> Meine Idee:
>
> Da die Funktin ungerade ist folgt [mm]a_k=0[/mm]
>
> 1.Bestimmung von [mm]a_0[/mm] :
Wozu ? Es sind doch alle [mm] a_k=0 [/mm] !
>
> [mm]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \![/mm] x*cos(x) [mm]\,[/mm] dx
>
> [mm]a_0=\frac{1}{\pi} *\int_{-\pi}^\pi \![/mm] x*cos(x) [mm]\,[/mm] dx
> [mm]=\frac{1}{\pi}*(x*sinx+cosx)=\frac{1}{\pi}*(1,17-1,17)=0[/mm]
Ein Wunder, ein Wunder .....
>
>
> 2.Bestimmung von [mm]b_k:[/mm]
>
> [mm]b_k= \frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} \![/mm] f(x)*sin(kx) [mm]\,[/mm] dx
>
> [mm]b_k= \frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \![/mm] x*cos(x)*sin(kx) [mm]\,[/mm]
> dx
Ja, alles richtig. Jetzt rechne.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 05.11.2013 | | Autor: | Himalia |
Bin nach längerer Überlegung nicht auf den nächsten Schritt gekommen.
Kannst du mir eine kleine Hilfe geben ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Di 05.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Das ist etwas zu vage. Woran hängt es?
Versuch Dich mal am Integral für k = 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Di 05.11.2013 | | Autor: | Himalia |
Für k=1;
[mm] \frac{1}{\pi}*\int_{-\pi} ^\pi \! [/mm] x*sinx*cosx [mm] \, [/mm] dx [mm] =\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi} ^\pi \! x*\frac{1}{2}*sin(2x) \, [/mm] dx
[mm] =\frac{1}{2}*\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi} ^\pi \! [/mm] x*sin(2x) [mm] \, [/mm] dx
Durch partielle Integration erhalten:
[mm] =\frac{1}{\pi}*\frac{1}{2}*[\frac{sin(2x)-2x*cos(2x)}{8}] [/mm] in den Grenzen [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\pi}*\frac{1}{2}*(-0,7534)=-0,1193
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Di 05.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Falls Du weiteren Bedarf nach Antworten hast, stell das besser als Frage ein. Sonst bin ich eventuell der Einzige, der sich das ansieht und leider gerade offline.
> Für k=1;
>
> [mm]\int_{-\pi} ^\pi \![/mm] x*sinx*cosx [mm]\,[/mm] dx [mm]=\int_{-\pi} ^\pi \! x*\frac{1}{2}*sin(2x) \,[/mm]
> dx
>
>
> [mm]=\frac{1}{2}\int_{-\pi} ^\pi \![/mm] x*sin(2x) [mm]\,[/mm] dx
>
> Durch partielle Integration erhalten:
>
> [mm]=[\frac{sin(2x)-2x*cos(2x)}{8}][/mm] in den Grenzen [mm]-\pi[/mm] bis
> [mm]\pi[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> =-0,7534
? [mm] $\bruch{1}{8}(-2\pi -2\pi) [/mm] = [mm] \bruch{-\pi}{2}$
[/mm]
oder ist es zu spät für mich?
Auf jeden Fall: lass [mm] $\pi$ [/mm] stehen.
Nun für k=2.... und dann entsteht hoffentlich ein Schema, aus dem man auf größere k schließen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Di 05.11.2013 | | Autor: | Himalia |
Danke schonmal.
Ich mach morgen weiter meine Konzentration lässt nach.
Glaube aber das wir noch das [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] vergessen haben, wenn ich mich nicht täusche.
[mm] b_k= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \! [/mm] x*cos(x)*sin(kx) [mm] \, [/mm] dx
[mm] b_{k1}= \frac{1}{\pi}*(-\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Do 07.11.2013 | | Autor: | Himalia |
[mm] b_{k2}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \! [/mm] x*cos(x)*sin(2x) [mm] \, [/mm] dx
Kann das Integral für k=2 nicht lösen.
Habs mit Additionstheoreme versucht aber keine passende Vereinfachung gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Do 07.11.2013 | | Autor: | Himalia |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der folgenden auf dem Intervall [mm] [-\pi,\pi) [/mm] definierten und mit [mm] f(x+2k\pi)=f(x),k\in [/mm] Z periodisch fortgesetzten Funktion:
f(x)=xcosx |
So ich bin jetzt dabei [mm] b_k [/mm] zu bestimmen:
Dafür setze ich für k Zahlen von 1 bis ... ein um ein Schema zu erkennen das auf größere k schließen lässt.
[mm] b_{k1}=-\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] b_{k2}=\frac{4}{3}
[/mm]
[mm] b_{k3}=-\frac{3}{4}
[/mm]
[mm] b_{k4}=\frac{8}{15}
[/mm]
[mm] b_{k5}=-\frac{5}{12}
[/mm]
[mm] b_{k6}=\frac{12}{35}
[/mm]
[mm] b_{k7}=-\frac{7}{24}
[/mm]
Konnte da noch kein Schema erkennen außer das:
Die ungeraden [mm] b_k [/mm] negativ sind, der Zähler zwischen den ungeraden immer um 2 erhöht und der Nenner der ungeraden immer um 1 erhöht wird.
Bei den geraden [mm] b_k [/mm] konnte ich kein Schema erkennen.
Was muss man jetzt machen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Do 07.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Ohne Rechnung werde ich da nicht prüfen.
Für die geraden sieht es nach [mm] $b_n [/mm] = [mm] \bruch{2n}{(n-1)*(n+1)}$ [/mm] aus.
Da das in etwa auch für die ungeraden passt, tippe ich mal auf einen Rechenfehler und ab n = 2
gilt [mm] $b_n [/mm] = [mm] (-1)^n\bruch{2n}{(n-1)*(n+1)}$.
[/mm]
Nun hängt es davon ab, ob es sich um eine mathematische Aufgabe handelt. Dann muss das nun auch bewiesen werden. Wie bist Du auf die Lösungen gekommen? Lässt sich daraus ein Beweis mit vollständiger Induktion bilden?
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Hallo Himalia!
Es gilt: [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] .
Damit wird aus Deinem Integral (hier verkürzt als unbestimmtes Integral und ohne Vorfaktor dargestellt):
[mm] $\integral{2*x*\sin(x)*\cos^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral{x*\sin(x)*\cos^2(x) \ dx}$
[/mm]
Führe nun eine partielle Integration durch mit:
$u \ := \ x$
$v' \ := \ [mm] \sin(x)*\cos^2(x)$
[/mm]
Um $v_$ zu bestimmen, kannst Du z.B. substituieren $z \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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