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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 29.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich verstehe einen (vermutlich einfachen) Teil eines Papers nicht. Ich vereinfache den Inhalt etwas, um mein Problem gezielter darzustellen.
Die Funktionen [mm] $v,h:\IC\rightarrow\IR$ [/mm] erfüllen (etwas in der Art wie)
[mm] $\triangle v(r,\phi)=h(r,\phi)\quad\forall\,(r,\phi)\in\IC$
[/mm]
Wegen der [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] bezüglich des Arguments [mm] $\phi$ [/mm] der Funktionen $v$ und $h$, lassen sich diese in komplexe Fourierreihen entwickeln, d.h.
[mm] $v(r,\phi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}v_n(r)\cdot e^{in\phi}$
[/mm]
[mm] $h(r,\phi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_n(r)\cdot e^{in\phi}$
[/mm]
Wegen der Definition des Laplace-Operators
[mm] $\triangle v=\frac{\partial^2 v}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\cdot\frac{\partial^2 v}{\partial \phi^2}$
[/mm]
erhalte ich (!!!)
[mm] $\triangle v(r,\phi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(v_n''(r)+\frac{1}{r}\cdot v_n'(r)-\frac{n^2}{r^2}v_n(r)\right)e^{in\phi}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_n(r)e^{in\phi}=h(r,\phi)$
[/mm]
Im Paper folgern sie jedoch
[mm] $v_n''(r)+\frac{1}{r}\cdot v_n'(r)-\frac{n^2}{r^2}v_n(r)=h_n(r)\quad\forall\,r>0\;\forall\,n\in\IZ$
[/mm]
Vielleicht ist dies eine peinliche Frage, aber weshalb gilt die letzte Zeile? Ich bin mir zwar nicht sicher, ob die Fourierkoeffizienten eindeutig sind, aber insofern sie es sind, könnte es daran liegen, oder? Denn die Fourierreihen der vorletzten Zeile sind in diesem Falle genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind und dies besagt gerade die letzte Zeile?!
Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar und wünsche allen noch einen guten Rutsch ins neue Jahr.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mi 30.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle,
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> ich verstehe einen (vermutlich einfachen) Teil eines Papers
> nicht. Ich vereinfache den Inhalt etwas, um mein Problem
> gezielter darzustellen.
>
> Die Funktionen [mm]v,h:\IC\rightarrow\IR[/mm] erfüllen (etwas in
> der Art wie)
> [mm]\triangle v(r,\phi)=h(r,\phi)\quad\forall\,(r,\phi)\in\IC[/mm]
>
> Wegen der [mm]2\pi[/mm]-Periodizität bezüglich des Arguments [mm]\phi[/mm]
> der Funktionen [mm]v[/mm] und [mm]h[/mm], lassen sich diese in komplexe
> Fourierreihen entwickeln, d.h.
> [mm]v(r,\phi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}v_n(r)\cdot e^{in\phi}[/mm]
>
> [mm]h(r,\phi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_n(r)\cdot e^{in\phi}[/mm]
>
> Wegen der Definition des Laplace-Operators
> [mm]\triangle v=\frac{\partial^2 v}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\cdot\frac{\partial^2 v}{\partial \phi^2}[/mm]
>
> erhalte ich (!!!)
> [mm]\triangle v(r,\phi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(v_n''(r)+\frac{1}{r}\cdot v_n'(r)-\frac{n^2}{r^2}v_n(r)\right)e^{in\phi}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_n(r)e^{in\phi}=h(r,\phi)[/mm]
>
> Im Paper folgern sie jedoch
> [mm]v_n''(r)+\frac{1}{r}\cdot v_n'(r)-\frac{n^2}{r^2}v_n(r)=h_n(r)\quad\forall\,r>0\;\forall\,n\in\IZ[/mm]
>
> Vielleicht ist dies eine peinliche Frage, aber weshalb gilt
> die letzte Zeile? Ich bin mir zwar nicht sicher, ob die
> Fourierkoeffizienten eindeutig sind,
Sie sind es.
> aber insofern sie es
> sind, könnte es daran liegen, oder?
Genau daran liegt es
FRED
> Denn die Fourierreihen
> der vorletzten Zeile sind in diesem Falle genau dann
> gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind und dies besagt
> gerade die letzte Zeile?!
>
> Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar und wünsche
> allen noch einen guten Rutsch ins neue Jahr.
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Do 31.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank Fred und guten Rutsch!
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