Formelumstellung für Pros < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Nascency |
| Aufgabe | I: 10= [mm] \vmat{\vektor{a \\ b \\ c}*x - \vektor{d \\ e \\ f}*y}
[/mm]
II: 5 = [mm] \vmat{\vektor{a \\ b \\ c}*x - \vektor{g \\ h \\ i}*z}
[/mm]
III: 5 = [mm] \vmat{\vektor{d \\ e \\ f}*y - \vektor{g \\ h \\ i}*z}
[/mm]
a,b,c,d,e,f,g,h und i sind bekannt.
Bestimmen Sie x, y und z!
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Hallo,
Hintergrund: Ein Dreieck mit den Kantenlängen 10 - 5 - 5 im Raum. Position und Ausrichtung sind unbekannt. Bekannt sind lediglich drei Richtungsvektoren (Einheitsvektor*Länge), die auf die Punkte zeigen. Wo ist das Dreieck?
--> Ich weiß, es wird mehrere Lösungen geben die ich dann unterscheiden muss.
Meine bisherige Rechnung:
Formel I:
10= [mm] \vmat{\vektor{a \\ b \\ c}*x - \vektor{d \\ e \\ f}*y} [/mm]
10= [mm] \vmat{\vektor{ax \\ bx \\ cx}-\vektor{dy \\ ey \\ fy}}
[/mm]
10= [mm] \vmat{\vektor{ax-dy \\ bx-ey \\ cx-fy}}
[/mm]
10= [mm] \wurzel{(ax-dy)^2+(bx-ey)^2+(cx-fy)^2}
[/mm]
100 = [mm] (ax-dy)^2+(bx-ey)^2+(cx-fy)^2
[/mm]
100 = [mm] a^2x^2-2adxy+d^2y^2 [/mm] + [mm] b^2x^2-2bexy+e^2y^2+c^2x^2-2cfxy+f^2y^2
[/mm]
100= [mm] (a^2+b^2+c^2)x^2 [/mm] - (2ad+2be+2cf)xy + [mm] (d^2+e^2+f^2)y^2
[/mm]
Das gleiche für II + III so erhällt man:
I: 100= [mm] (a^2+b^2+c^2)x^2 [/mm] - (2ad+2be+2cf)xy + [mm] (d^2+e^2+f^2)y^2
[/mm]
II: 25 = [mm] (a^2+b^2+c^2)x^2 [/mm] - (2ag+2bh+2ci)xz + [mm] (g^2+h^2+i^2)z^2
[/mm]
III: 25 = [mm] (d^2+e^2+f^2)y^2 [/mm] - (2ag+2bh+2ci)yz + [mm] (g^2+h^2+i^2)z^2
[/mm]
Ich vereinfache:
k = [mm] (a^2+b^2+c^2)
[/mm]
l = [mm] (d^2+e^2+f^2)
[/mm]
m = [mm] (g^2+h^2+i^2)
[/mm]
n = (2ad+2be+2cf)
o = (2ag+2bh+2ci)
p = (2ag+2bh+2ci)
I: 100= [mm] kx^2 [/mm] - nxy + [mm] ly^2
[/mm]
II: 25 = [mm] kx^2 [/mm] - oxz + [mm] mz^2
[/mm]
III: 25 = [mm] ly^2 [/mm] - pyz + [mm] mz^2
[/mm]
Umstellen von I und II mittels pq-Formel:
I: 0= [mm] ly^2 [/mm] - nxy + [mm] kx^2 [/mm] - 100
0 = [mm] y^2 [/mm] - [mm] \bruch{nx}{l}y [/mm] + [mm] \bruch{kx^2-100}{l}
[/mm]
p = - [mm] \bruch{nx}{l}
[/mm]
q = [mm] \bruch{kx^2-100}{l}
[/mm]
[mm] y_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{nx}{l} \pm \wurzel{(- \bruch{nx}{l})^2-\bruch{kx^2-100}{l}}
[/mm]
II:
0 = [mm] mz^2 [/mm] -oxz + [mm] kx^2 [/mm] -25
0 = [mm] z^2 [/mm] - [mm] \bruch{ox}{m}z [/mm] + [mm] \bruch{kx^2-100}{m}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}}
[/mm]
Jetzt wirds kritisch: (Mach ich das hier überhaupt richtig??
In III einsetzen:
III: 25 = [mm] l(\bruch{nx}{l} \pm \wurzel{(- \bruch{nx}{l})^2-\bruch{kx^2-100}{l}})^2 [/mm] - [mm] p(\bruch{nx}{l} \pm \wurzel{(- \bruch{nx}{l})^2-\bruch{kx^2-100}{l}})(\bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}}) [/mm] + [mm] m(\bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}})^2
[/mm]
Nun meine Frage:
Wie bekomme ich diese gleichung nach x umgestellt? Wie bekomme ich die Wurzeln weg? Und wie gehe ich im weiteren verlauf mit dem [mm] \pm [/mm] um?
Ich würde
Alternativ würde ich I und II nach x umstellen und gleichsetzen, aber auch hier bleiben mir die Wurzeln...
Ich weiß keinen Rat, mein Mathe ist auch schon ein "wenig" eingerostet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Mo 08.02.2010 | | Autor: | abakus |
> I: 10= [mm]\vmat{\vektor{a \\ b \\ c}*x - \vektor{d \\ e \\ f}*y}[/mm]
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> II: 5 = [mm]\vmat{\vektor{a \\ b \\ c}*x - \vektor{g \\ h \\ i}*z}[/mm]
>
> III: 5 = [mm]\vmat{\vektor{d \\ e \\ f}*y - \vektor{g \\ h \\ i}*z}[/mm]
>
> a,b,c,d,e,f,g,h und i sind bekannt.
> Bestimmen Sie x, y und z!
>
>
> Hallo,
>
> Hintergrund: Ein Dreieck mit den Kantenlängen 10 - 5 - 5
Hallo,
sollen 10-5-5 die drei Seitenlängen sein?
Dann ist es kein Dreieckk.
Gruß Abakus
> im Raum. Position und Ausrichtung sind unbekannt. Bekannt
> sind lediglich drei Richtungsvektoren
Meinst du Ortsvektoren?
> (Einheitsvektor*Länge), die auf die Punkte zeigen. Wo ist
> das Dreieck?
> --> Ich weiß, es wird mehrere Lösungen geben die ich
> dann unterscheiden muss.
>
> Meine bisherige Rechnung:
> Formel I:
> 10= [mm]\vmat{\vektor{a \\ b \\ c}*x - \vektor{d \\ e \\ f}*y}[/mm]
> 10= [mm]\vmat{\vektor{ax \\ bx \\ cx}-\vektor{dy \\ ey \\ fy}}[/mm]
>
> 10= [mm]\vmat{\vektor{ax-dy \\ bx-ey \\ cx-fy}}[/mm]
> 10=
> [mm]\wurzel{(ax-dy)^2+(bx-ey)^2+(cx-fy)^2}[/mm]
> 100 = [mm](ax-dy)^2+(bx-ey)^2+(cx-fy)^2[/mm]
> 100 = [mm]a^2x^2-2adxy+d^2y^2[/mm] +
> [mm]b^2x^2-2bexy+e^2y^2+c^2x^2-2cfxy+f^2y^2[/mm]
> 100= [mm](a^2+b^2+c^2)x^2[/mm] - (2ad+2be+2cf)xy +
> [mm](d^2+e^2+f^2)y^2[/mm]
>
> Das gleiche für II + III so erhällt man:
> I: 100= [mm](a^2+b^2+c^2)x^2[/mm] - (2ad+2be+2cf)xy +
> [mm](d^2+e^2+f^2)y^2[/mm]
> II: 25 = [mm](a^2+b^2+c^2)x^2[/mm] - (2ag+2bh+2ci)xz +
> [mm](g^2+h^2+i^2)z^2[/mm]
> III: 25 = [mm](d^2+e^2+f^2)y^2[/mm] - (2ag+2bh+2ci)yz +
> [mm](g^2+h^2+i^2)z^2[/mm]
>
> Ich vereinfache:
> k = [mm](a^2+b^2+c^2)[/mm]
> l = [mm](d^2+e^2+f^2)[/mm]
> m = [mm](g^2+h^2+i^2)[/mm]
> n = (2ad+2be+2cf)
> o = (2ag+2bh+2ci)
> p = (2ag+2bh+2ci)
>
> I: 100= [mm]kx^2[/mm] - nxy + [mm]ly^2[/mm]
> II: 25 = [mm]kx^2[/mm] - oxz + [mm]mz^2[/mm]
> III: 25 = [mm]ly^2[/mm] - pyz + [mm]mz^2[/mm]
>
> Umstellen von I und II mittels pq-Formel:
> I: 0= [mm]ly^2[/mm] - nxy + [mm]kx^2[/mm] - 100
> 0 = [mm]y^2[/mm] - [mm]\bruch{nx}{l}y[/mm] + [mm]\bruch{kx^2-100}{l}[/mm]
>
> p = - [mm]\bruch{nx}{l}[/mm]
> q = [mm]\bruch{kx^2-100}{l}[/mm]
>
> [mm]y_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{nx}{l} \pm \wurzel{(- \bruch{nx}{l})^2-\bruch{kx^2-100}{l}}[/mm]
>
> II:
> 0 = [mm]mz^2[/mm] -oxz + [mm]kx^2[/mm] -25
> 0 = [mm]z^2[/mm] - [mm]\bruch{ox}{m}z[/mm] + [mm]\bruch{kx^2-100}{m}[/mm]
>
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}}[/mm]
>
>
> Jetzt wirds kritisch: (Mach ich das hier überhaupt
> richtig??
>
> In III einsetzen:
> III: 25 = [mm]l(\bruch{nx}{l} \pm \wurzel{(- \bruch{nx}{l})^2-\bruch{kx^2-100}{l}})^2[/mm]
> - [mm]p(\bruch{nx}{l} \pm \wurzel{(- \bruch{nx}{l})^2-\bruch{kx^2-100}{l}})(\bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}})[/mm]
> + [mm]m(\bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}})^2[/mm]
>
> Nun meine Frage:
> Wie bekomme ich diese gleichung nach x umgestellt? Wie
> bekomme ich die Wurzeln weg? Und wie gehe ich im weiteren
> verlauf mit dem [mm]\pm[/mm] um?
> Ich würde
>
> Alternativ würde ich I und II nach x umstellen und
> gleichsetzen, aber auch hier bleiben mir die Wurzeln...
> Ich weiß keinen Rat, mein Mathe ist auch schon ein "wenig"
> eingerostet.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:06 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Nascency |
Sorry, die Kanten habe ich falsch angenommen: Sie sind 7 5 und 5cm lang... Dann ergibt sich auch ein Dreieck. Das problem bleibt aber das gleiche...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 08.02.2010 | | Autor: | SEcki |
[Rechnung]
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}}[/mm]
Vom Prinzip her richtig, dh ich habe die REchnung nur überflogen, nicht en Detial überprüft.
> Jetzt wirds kritisch: (Mach ich das hier überhaupt
> richtig??
Einsetzen ist per se richtig, du machst aber einen Denkfehler: du hast insgesmat 4 Paare zu prüfen, nämlich [m](y_1,z_1),(y_1,z_2),(y_2,z_1),(y_2,z_2)[/m], mit deiner [m]\pm[/m]-Schreibweise erwischt du nur das erste und das letzte Paar. Betrachte die 4 Möglichkeiten a priori getrennt - du kannst unteres nhemen und dann eine zweite GLeichung, bei der du für die zs [m]\mp[/m] einsetzt.
>
> In III einsetzen:
> III: 25 = [mm]l(\bruch{nx}{l} \pm \wurzel{(- \bruch{nx}{l})^2-\bruch{kx^2-100}{l}})^2[/mm]
> - [mm]p(\bruch{nx}{l} \pm \wurzel{(- \bruch{nx}{l})^2-\bruch{kx^2-100}{l}})(\bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}})[/mm]
> + [mm]m(\bruch{ox}{m} \pm \wurzel{(- \bruch{ox}{m})^2-\bruch{kx^2-100}{m}})^2[/mm]
>
> Nun meine Frage:
> Wie bekomme ich diese gleichung nach x umgestellt?
Ich würde sagen - gar nicht. Jedenfalls nicht allgemein. Aber vielleicht sieht wer anders einen Kniff.
> Wie
> bekomme ich die Wurzeln weg? Und wie gehe ich im weiteren
> verlauf mit dem [mm]\pm[/mm] um?
Ich würde einfach die Terme als Funktion von x betrachten, die Def.menge bestimmen und eine Kurvendiskussion mit Randpunkten machen. Wenn cih die konkreten Ortsvektoren gegeben habe. Das reichte mir als Lösung jedenfalls.
> Alternativ würde ich I und II nach x umstellen und
> gleichsetzen, aber auch hier bleiben mir die Wurzeln...
> Ich weiß keinen Rat, mein Mathe ist auch schon ein "wenig"
> eingerostet.
Wofür bracuhst du das denn?
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:40 Di 09.02.2010 | | Autor: | Nascency |
Ist so ne mischung zwischen Mathe und Informatik... Prof wird eine Kamera mitbringen. Objektivwinkel ist noch unbekannt. Dann wird ein Dreieck damit Fotografiert. (Kantenlängen sind auch noch unbekannt). Anhand der Pixelpositionen der drei ecken des Dreiecks, soll die (möglichen) Position(en) des Dreiecks bestimmt werden. Die Formel dazu sollen wir im Vorfeld bestimmen (alles was noch nicht bekannt ist, wird als "bekannte" Variable in die Formel mit einfließen.
Objektivwinkel und maße des Dreiecks werden mit dem Foto bekanntgegeben, dann in die Formel eingesetzt und tataaa...
Vielleicht ist mein Ansatz auch völlig falsch... Ich bestimme über den Objektivwinkel den "Winkel pro Pixel" und somit den Winkel der Vektoren, die die Ecken angeben im bezug auf die Kamera-Blickrichtung. Danach drehe ich drei Einheitsvektoren [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] in die richtige Richtung. Diese zeigen nun auf die drei Ecken. Den Rest kennt ihr ja.
Ich bin mir sicher, dass kann man auch mit sinus & co Lösen. Werde mich mal daran versuchen... Danke trozdem!
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