Formelumformung auf r < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Fr 04.09.2009 | | Autor: | itil |
| Aufgabe | | Ein Gefäß hat die Form eines Drehzylinder mit aufgesetztem drehkegel wobei die Kegelhöhe gleich dem Zylinderradius ist. Bestimmen Sie den Radius und die höhe des Gefäßes, wenn dieses eine Oberfläche von 20 [mm] \pi [/mm] cm² hat und das Volumen größtmöglich sein soll . |
1) Skizze
2) HB = Vges = Vz + Vk = r² [mm] \pi [/mm] h + [mm] \bruch{r^3 \pi}{3}
[/mm]
3) NB = O = Oz + Ok = 2r [mm] \pi [/mm] h + 2r [mm] \pi [/mm] + r [mm] \pi [/mm] s
4) s bestimmen
da h = r
s² = [mm] \wurzel{2r^2}
[/mm]
5) variable herausfiltern durch umformen
20 = 2r [mm] \pi [/mm] h + 2r [mm] \pi [/mm] + r [mm] \pi \wurzel{2r^2}
[/mm]
20 = r [mm] \pi [/mm] * (2h + 2 + [mm] \wurzel{2r^2}) [/mm]
20 = r [mm] \pi [/mm] * (2h + 2 + [mm] \wurzel{2}*\wurzel{r^2}) [/mm]
20 = r [mm] \pi [/mm] * (4h + [mm] \wurzel{2}*\wurzel{r^2}) [/mm]
[mm] \bruch{20}{4} [/mm] * [mm] \bruch{20}{h} [/mm] * [mm] \bruch{20}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \bruch{20}{\wurzel{r^2}} [/mm] = r [mm] \pi
[/mm]
5 * [mm] \bruch{20}{h}* [/mm] 14,14213562 * [mm] \bruch{20}{\wurzel{r^2}} [/mm] = r [mm] \pi
[/mm]
70,71067812 * [mm] \bruch{20}{h}* \bruch{20}{\wurzel{r^2}} [/mm] = r [mm] \pi
[/mm]
70,71067812 * [mm] \bruch{20}{h}* [/mm] = [mm] \bruch{r \pi}{\bruch{20}{\wurzel{r^2}} }
[/mm]
[mm] \bruch{1414,213562}{h} [/mm] = [mm] \bruch{r \pi}{20 \wurzel{r^2}}
[/mm]
h = [mm] \bruch{r \pi}{20 \wurzel{r^2}} [/mm] * 1414,213562
h = [mm] \bruch{r }{20 \wurzel{r^2}} [/mm] * 4442,882938
6) in HB einsetzen
Vges = r² [mm] \pi [/mm] h + [mm] \bruch{r^3 \pi}{3}
[/mm]
Vges = [mm] r^2 [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{4442,882938r }{20 \wurzel{r^2}} [/mm] + [mm] \bruch{r^3 \pi}{3}
[/mm]
Vges = [mm] \bruch{4442,882938r^3 \pi }{20 \wurzel{r^2}} [/mm] + [mm] \bruch{r^3 \pi}{3}
[/mm]
Vges = [mm] 4442,882938r^3 \pi [/mm] * ( 20 [mm] \wurzel{r^2})^{-1} [/mm] + [mm] r^3 \pi *3^{-1}
[/mm]
Vges = [mm] 13957,7284r^3 [/mm] * ( 20 [mm] \wurzel{r^2})^{-1} [/mm] + [mm] r^3 \pi *3^{-1}
[/mm]
Vges = [mm] 13957,7284r^3 [/mm] * ( 20 [mm] \wurzel{r^2})^{-1} [/mm] + [mm] 1,047197551r^3
[/mm]
Vges = [mm] 697,88642r^3 [/mm] * ( [mm] \wurzel{r^2})^{-1} [/mm] + [mm] 1,047197551r^3
[/mm]
Vges = [mm] 698,9336176r^3 [/mm] * ( [mm] \wurzel{r^2})^{-1} [/mm]
Vges = [mm] 698,9336176r^3 [/mm] * ( [mm] r^{\bruch{5}{2}})^{-1} [/mm]
7) Vges' bilden
Vges = [mm] 698,9336176r^3 [/mm] * ( [mm] r^{\bruch{5}{2}})^{-1} [/mm]
Vges' = [mm] 2096,800853r^2 [/mm] * -1 * ( [mm] r^{\bruch{5}{2}})^{-2} [/mm] * [mm] 2,5r^{\bruch{3}{2}} [/mm]
8) Vereinfachen
Vges' = -2096,800853 [mm] r^{\bruch{5}{2}} [/mm] * [mm] 2,5r^{\bruch{3}{2}} [/mm]
Vges' = -5242,002133 [mm] r^{\bruch{8}{2}}
[/mm]
9) vges' = 0 setzen
-5242,002133 [mm] r^4 [/mm] = 0
unwahre aussage
.. ich habe jetzt jeeden rechenschritt aufgeführt.. :-( ich bin mir fast sicher, das ich iwo was mit den potenzgesetztn durcheinander gebracht habe.. habs mir aber nochmal kurz angeschaut.. hmmm..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Fr 04.09.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei solchen Extremwertaufgaben würde ich definitiv mit Brüchen statt Dezimalzahlen rechnen, das vermeidet Rundungsfehler.
Aber zur Aufgabe:
Die Hauptbedingung ist korrekt
[mm] V(r,h)=\pi*r^{2}*h+\bruch{\pi*r^{3}}{3}
[/mm]
Aber die Oberfläche ist nicht korrekt:
[mm] O=\underbrace{2\pi*r*h}_{\text{Mantelfläche Zylinder}}+\underbrace{\pi*r^{2}}_{\text{Grundfläche Zylinder}}+\underbrace{\pi*r*s}_{\text{Mantelfläche Kegel}}
[/mm]
Mir [mm] s=\wurzel{2}*r [/mm] hast du:
[mm] 20=2\pi*r*h+\pi*r^{2}+\wurzel{2}*\pi*r^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow h=\bruch{20-\pi*r^{2}-\wurzel{2}*\pi*r^{2}}{2\pi*r}
[/mm]
[mm] =\bruch{20}{\pi*r}-\bruch{r}{2}-\bruch{r}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{20}{\pi*r}-\bruch{r}{2}-\bruch{\wurzel{2}r}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{20}{\pi*r}-\left(\bruch{r}{2}+\bruch{\wurzel{2}r}{2}\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{20}{\pi*r}-\bruch{(1+\wurzel{2})r}{2}
[/mm]
Jetzt bestimme damit mal die Funktion V(r)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Fr 04.09.2009 | | Autor: | itil |
Oh mist ja [mm] r^2 \pi [/mm] ists ja.. nageh.. .. hmm ich rechen echt ungern mit brüchen...
alsod ann neu:
1) Skizze
2) HB = Vges = Vz + Vk = r² $ [mm] \pi [/mm] $ h + $ [mm] \bruch{r^3 \pi}{3} [/mm] $
3) NB = O = Oz + Ok = 2r [mm] \pi [/mm] h + [mm] r^2 \pi [/mm] + r [mm] \pi [/mm] s
4) s bestimmen
da h = r
s² = $ [mm] \wurzel{2r^2} [/mm] $
5) variable herausfiltern durch umformen
20 = 2r [mm] \pi [/mm] h + [mm] r^2 \pi [/mm] + r [mm] \pi [/mm] s
20 = r [mm] \pi [/mm] * (2h + r + [mm] \wurzel{2r^2})
[/mm]
[mm] \bruch{20}{2} [/mm] * [mm] \bruch{20}{h} [/mm] * [mm] \bruch{20}{r} [/mm] * [mm] \bruch{20}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \bruch{20}{\wurzel{r^2}} [/mm] = r [mm] \pi
[/mm]
10 *14,1421...
141,4213562 * [mm] \bruch{20}{h} [/mm] * [mm] \bruch{20}{r} *\bruch{20}{\wurzel{r^2}} [/mm] = r [mm] \pi
[/mm]
141,4213562 * [mm] \bruch{20^3}{hr\wurzel{r^2}} [/mm] = r [mm] \pi
[/mm]
141,4213562 * [mm] \bruch{8000}{hr\wurzel{r^2}} [/mm] = r [mm] \pi
[/mm]
[mm] \bruch{1131370,85}{hr\wurzel{r^2}} [/mm] = r [mm] \pi
[/mm]
[mm] \bruch{1131370,85}{h} [/mm] = r [mm] \pi r\wurzel{r^2}
[/mm]
[mm] \bruch{1131370,85}{r^2 \pi \wurzel{r^2}} [/mm] = h
korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Fr 04.09.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dein Weg ist irgendwie diffus.
Du musst jetzt [mm] h=\bruch{20}{\pi\cdot{}r}-\bruch{(1+\wurzel{2})r}{2}
[/mm]
in $ [mm] V(r,h)=\pi\cdot{}r^{2}\cdot{}h+\bruch{\pi\cdot{}r^{3}}{3} [/mm] $
einsetzen, also:
[mm] V(r)=\pi\cdot{}r^{2}\cdot{}\left(\bruch{20}{\pi\cdot{}r}-\bruch{(1+\wurzel{2})r}{2}\right)+\bruch{\pi\cdot{}r^{3}}{3}
[/mm]
[mm] =20r-\bruch{(1+\wurzel{2})r^{3}}{2}+\bruch{\pi\cdot{}r^{3}}{3}
[/mm]
[mm] =20r-\left(\bruch{1+\wurzel{2}}{2}+\bruch{\pi}{3}\right)r^{3}
[/mm]
Und von dieser Funktion suchst du jetzt mit Hilfe der Ableitungen das Maximum.
Ein Tipp noch. Lass bis zum Ende irrationale zahlen (also [mm] \pi [/mm] und [mm] \wurzel{2} [/mm] ) stehen, meistens kürzt sich das noch weg.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:00 Fr 04.09.2009 | | Autor: | itil |
wo liegt bei meinem h der Fehler??..
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Hallo itil,
> wo liegt bei meinem h der Fehler??..
$ [mm] \bruch{1131370,85}{r^2 \pi \wurzel{r^2}} [/mm] $ = h
mit solch einem Ausdruck wird niemand hier weiterrechnen.
Warum beherzigst du nicht den (wichtigen) Tip von M.Rex, mit den irrationalen Zahlen [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] \pi [/mm] einfach weiterzurechnen?
Zeig uns mal den Term ohne Rundungen!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Fr 04.09.2009 | | Autor: | itil |
na dann versuchs ichs mal 
20 = 2r $ [mm] \pi [/mm] $ h + $ [mm] r^2 \pi [/mm] $ + r $ [mm] \pi [/mm] $ s
20 = r
[mm] \bruch{20}{ \pi * (2h + r + \wurzel{2r^2} ) } [/mm] = r
[mm] \bruch{20}{2 \pi h + r \pi + \wurzel{2r^2} \pi } [/mm] = r
[mm] \bruch{20}{2 \pi h + r \pi + \wurzel{2} \wurzel{r^2} \pi } [/mm] = r
[mm] \bruch{20}{2 \pi h} [/mm] + [mm] \bruch{20}{ r \pi } +\bruch{20}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \bruch{20}{\wurzel{r^2} \pi } [/mm] = r
[mm] \bruch{20}{2 \pi h} [/mm] + [mm] 20+\bruch{20}{\wurzel{2}} [/mm] * 20 = r * [mm] \wurzel{r^2}\pi [/mm] *r [mm] \pi
[/mm]
[mm] \bruch{40}{2 \pi h} [/mm] + [mm] \bruch{400}{\wurzel{2}} [/mm] = r * [mm] \wurzel{r^2}\pi [/mm] *r [mm] \pi
[/mm]
[mm] \bruch{40}{2 \pi h} [/mm] + [mm] \bruch{400}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] r^2 \pi^2* \wurzel{r^2}
[/mm]
[mm] \bruch{440}{2 \pi h \wurzel{2}} [/mm] = [mm] r^2 \pi^2* \wurzel{r^2} |^2
[/mm]
( [mm] \bruch{440}{2 \pi h \wurzel{2}} )^{2} [/mm] = [mm] r^4 \pi^4 r^2
[/mm]
( [mm] \bruch{440}{2 \pi h \wurzel{2}} )^{2} [/mm] = [mm] r^6 \pi^4 [/mm]
( [mm] \bruch{440}{2 \pi^{5} h \wurzel{2}} )^{2} [/mm] = [mm] r^6 [/mm]
[mm] \bruch{193600}{8 \pi^{7} h^2 } [/mm] = [mm] r^6 [/mm]
besser ?
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> na dann versuchs ichs mal
>
> 20 = 2r [mm]\pi[/mm] h + [mm]r^2 \pi[/mm] + r [mm]\pi[/mm] s
>
> 20 = r
>
> [mm]\bruch{20}{ \pi * (2h + r + \wurzel{2r^2} ) }[/mm] = r
>
> [mm]\bruch{20}{2 \pi h + r \pi + \wurzel{2r^2} \pi }[/mm] = r
>
> [mm]\bruch{20}{2 \pi h + r \pi + \wurzel{2} \wurzel{r^2} \pi }[/mm]
> = r
>
> [mm]\bruch{20}{2 \pi h}[/mm] + [mm]\bruch{20}{ r \pi } +\bruch{20}{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\bruch{20}{\wurzel{r^2} \pi }[/mm] = r
worum es auch immer in der rechnung gehen mag, nur was für eine rechenformel erfindest du da grad? [mm] \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\not={1+1}=2
[/mm]
>
> [mm]\bruch{20}{2 \pi h}[/mm] + [mm]20+\bruch{20}{\wurzel{2}}[/mm] * 20 = r *
> [mm]\wurzel{r^2}\pi[/mm] *r [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]\bruch{40}{2 \pi h}[/mm] + [mm]\bruch{400}{\wurzel{2}}[/mm] = r *
> [mm]\wurzel{r^2}\pi[/mm] *r [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]\bruch{40}{2 \pi h}[/mm] + [mm]\bruch{400}{\wurzel{2}}[/mm] = [mm]r^2 \pi^2* \wurzel{r^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{440}{2 \pi h \wurzel{2}}[/mm] = [mm]r^2 \pi^2* \wurzel{r^2} |^2[/mm]
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> ( [mm]\bruch{440}{2 \pi h \wurzel{2}} )^{2}[/mm] = [mm]r^4 \pi^4 r^2[/mm]
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> ( [mm]\bruch{440}{2 \pi h \wurzel{2}} )^{2}[/mm] = [mm]r^6 \pi^4[/mm]
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> ( [mm]\bruch{440}{2 \pi^{5} h \wurzel{2}} )^{2}[/mm] = [mm]r^6[/mm]
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> [mm]\bruch{193600}{8 \pi^{7} h^2 }[/mm] = [mm]r^6[/mm]
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> besser ?
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