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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Sarinn |
Hallo miteinander.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Frage an alle, die gerade etwas Zeit haben.
Es handelt sich nicht um eine schulische Frage, sondern nur für private Zwecke.
Zunächst kurz etwas zu mir:
Ich bin eine junge Mutter, die verzweifelt versucht sich ihre Freizeit mit etwas Gehirnjogging zu gestalten.
Ich hab mir als Aufgabe gemacht für ein paar Freunde mit Hilfe von Excel bestimmte Berechnungen für ein Browsergame zu automatisieren. Einige Berechnungen konnte ich mit Hilfe dieses Forums schon herleiten, aber nun stehe ich vor einem komplizierteren Problem.
Leider ist meine Schulzeit schon etwas länger her, und die nötigen Berechnungen wurden nur kurz angesprochen, aber verstanden habe ich sie nie (Abschlussprüfung war wichtiger...)
Folgendes Problem:
Es handelt sich bei dem Browsergame um den Aufbau von Planeten. Dazu werden Bewohner gebraucht, die Wasser und Nahrung verbrauchen.
Ich möchte jetzt ausrechnen, wie lang es dauert, bis meine Speicher leer sind.
Zu beachten ist:
- dass die Farmen konstant produzieren,
- die Bevölkerung aber um 2% in der Stunde wächst.
- Ein Einwohner verbraucht 0,1 Ressource pro Stunde.
- Alles was mehr produziert wird, landet in der Vorratskammer.
Es können beliebig viel Vorräte gesammelt werden. Die Einwohnerzahl nimmt so lang zu, wie Vorräte im Speicher sind.
Mein Ansatz:
Um den Zuwachs in der Bevölkerung zu berechnen habe ich die Zinseszinsformel genommen. Um die fehlende Zeit bis zu einem bestimmten Ereignis zu berechnen habe ich diese Formel mit dem natürlichen Logarythmus umgekehrt. (Dank Excel ist das Berechnen davon kein Problem :) )
Ich weiß nun, wie lang es dauert, bis Produktion = Verbrauch.
Nun fehlt mir aber die Idee, wie ich weitermachen muss,
-um zu wissen, wie voll die Vorratskammer zu dem Zeitpunkt ist
und
-wie lang es dauert, bei weiter steigender Bevölkerung und weiter produzierenden Farmen, bis alle Vorräte aufgebraucht sind.
Vermutlich setze ich bei meinen missglückten Versuchen nur falsche Variablen ein, und verwerfe deswegen eigentlich richtige Formeln.
Meine Ideen:
Entweder weiterhin Zinseszins umbauen, was mir aber bisher nur mit utopischen Ergebnissen gelungen ist.
Ansonsten bin ich bei meinen Recherchen auf Integralrechnung gestoßen, auf Funktionen, sinus, cosinus, tangens,... alles habe ich irgendwann mal in der Schule gehört, aber damals fehlte der "Aha-Effekt" und ich hab nur mit irgendwelchen Zahlen jongliert, ohne zu wissen was ich tue. Ich weiß also nicht, welche Werte den Variablen entsprechen oder wie ich entsprechenden Formeln umwandeln kann, um das Gesuchte zu berechnen.
Ein kleiner Tip, welche Formeln ich dafür verwenden sollte, würde mir schon sehr viel weiter helfen. Dann wüsste ich zumindest, in welche Richtung ich weiter recherchieren muss.
Ein besserer Tip, welche Variablen ich wo einsetzen muss, oder wie ich diese Formeln umwandel, um andere Unbekannte zu finden, wäre natürlich richtig super.
Mein Kopf qualmt schon und mein Sohn schaut mich ganz verwundert an, weil ich nur noch von Zahlen rede und immer mit Stift und Zettel für eventuelle Geistesblitze durch die Gegend renn :)
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen!!
Liebe Grüße
Sarinn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mo 18.02.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
wieveil produziert denn eine farm und wieveile farmen gibt es überhaupt ... und wie groß ist die bevölkerung zum ausgangszeitpunkt???
schreib doch mal alle damit zusammenhängenden daten und vorallem
auch deinen ansatz und was genau das du ausrechnen möchtest, denn was meinst du mit nächstem eintretendem Ereignis?
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Sarinn |
Da ich das ganze wie gesagt für eine ExcelTabelle verwende, würde ich die Produktion einer Farm als Konstante einsetzen.
Der Verbrauch hängt von der Bevölkerung ab:
10 Einwohner verbrauchen pro Stunde 1 Nahrung
Die Bevölkerung wächst pro Stunde um 2%
Dementsprechend wächst auch der Verbrauch pro Stunde um 2%.
Als Beispiel, wie der Text zum Schluss aussehen soll:
Der Planet hat jetzt 18.292 Einwohner.
Die Farmen produzieren 1.716 Nahrung
Die Bohrtürme fördern 1.928 Wasser
Zur Zeit werden 142.814 Wasser und 135.312 Nahrung bevorratet.
rot gekennzeichnete sind die Daten, die aus dem Browsergame entnehmbar sind.
Bei konstanter Einwohnerzahl werden pro Stunde 1.829 Wasser und 1.829 Nahrung verbraucht,
(Verbrauch entspricht 10% der Bevölkerung)
außerdem werden pro Stunde 99 Wasser gespeichert und 113 Nahrung vom Vorrat verbraucht.
Diese Werte ergeben sich durch
(Produktion der Farm/des Bohrturms) - (Verbrauch der Bevölkerung)
Die Einwohner werden in 0 Stunden 0 Minuten 32 Sekunden Wasser aus den Speichern holen.
Die Einwohner holen bereits seid 1 Stunden 59 Minuten 21 Sekunden Nahrung aus den Speichern.
Hier bin ich auf die Idee gekommen, die Zinseszinsformel umzustellen:
Endkapital=Anfangskapital*(1+ 2% [mm] Anfangskapital)^{Zeit}
[/mm]
Tipps aus diesem Forum ergeben dann:
Zeit = 1 : [(1+ 2%Anfangskapital): [mm] (log_{n} \bruch{Endkapital}{Anfangskapital})]
[/mm]
(Leider bekomm ich das mit den übersichtlichen Zeichen nicht hin, sorry )
Im Excel wird diese Formel korrekt angewendet.
Nun möchte ich aber noch wissen, wann bei weiter steigender Bevölkerung aber gleichbleibender Produktion, die Speicher leer sein werden.
Da ich mit Bildern besser arbeiten kann, habe ich versucht mir das ganze in einem Koordinatensystem aufzuzeichnen. Dabei ist mir die Parabelform aufgefallen, deshalb der Gedanke an Sinus, Cosinus und Tangens, weiter dann an Funktionen und Integralberechnung.
Hier kommt jetzt der Punkt, wo ich aus mienem Schulwissen nichts mehr rausholen kann, da dieses Thema nicht in der Abschlussprüfung dran kam, und deshalb wurde es im Unterricht nur kurz angesprochen und nicht weiter vertieft.
Ich vermute ich muss zunächst ausrechnen, wie voll die Speicher sein werden, wenn Produktion=Verbrauch.
Dann eben vom Bestand den zunehmenden Verbrauch abziehen.
Aber eben genau das bekomme ich nicht in einer mir bekannten Formel unter.
So wie ich mich kenne, wirds wohl eine ganz "einfache" Formel sein, die ich schon auf meinen Notizzetteln stehen hatte, nur dass ich mit den falschen Variablen gearbeitet habe. Vor meinem inneren Auge seh ich nur noch Zahlenchaos *g*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mo 18.02.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ganz so einfach wird das wohl nicht werden, aber mal der Reihe nach.
Ich verwende Folgende Bezeichnungen:
r(k): die Vorhandene Menge der Ressource nach k Stunden, r(0) =: [mm] r_0
[/mm]
v(k): die Verbrauchte Menge nach n Stunden, v(0) =: [mm] v_0
[/mm]
p: die pro Stunde produzierte Menge
Für v(k) gilt wie Du schon richtig festgestellt hast, dass $v(k) = [mm] v_0 \cdot 1,02^k$ [/mm] (Zinseszinsformel).
Die Änderung des Vorrats der Ressource pro Stunde ist:
[mm]\Delta r := r(k+1) - r(k) = p - v(k) = p - v_0 \cdot 1,02^k[/mm]
Beachte, dass das sowohl beim Einlagern als auch beim Verbrauchen von Ressourcen gilt, das Vorzeichen von [mm] $\Delta [/mm] r$ ändert sich einfach entsprechend.
Damit hat man nach k Stunden einen Ressourcenstand von:
[mm]r(k) = r_0 + \summe_{k=1}^n \Delta r = r_0 + \summe_{k=1}^n (p-v_0\cdot 1,02^k) = r_0 + n\cdot p + v_0 \summe_{k=1}^n 1,02^k[/mm]
Letzteres ist eine endliche geometrische Reihe, wenn man da noch die entsprechde Summenformel einsetzt hat man:
[mm]r(k) = r_0 + n\cdot p + v_0 \frac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02} = r_0 + n\cdot p + 50v_0 (1-1,02^{n+1})[/mm]
Um herauszubekommen, wann die Ressource Verbraucht ist muss man also die rechte Seite = 0 setzen und nach n auflösen. Da n aber sowohl im Exponenten wie auch "unten" vorkommt wüsste ich jetzt nicht, wie man diese Gelichung exakt lösen kann, ich fürchte sogar, dass das gar nicht möglich ist.
Man könnte noch versuchen, ob man über eine kontinuierliche Näherung zu einer besseren Lösung kommt, aber das schaffe ich heute nicht mehr. Vielleicht setze ich mich da im Lauf der Woche nochmal dran.
Gruß
piet
edit: Beinahe hätte ich es vergessen: ein ganz herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Mo 18.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ganz so einfach wird das wohl nicht werden, aber mal der
> Reihe nach.
> Ich verwende Folgende Bezeichnungen:
> r(k): die Vorhandene Menge der Ressource nach k Stunden,
> r(0) =: [mm]r_0[/mm]
> v(k): die Verbrauchte Menge nach n Stunden, v(0) =: [mm]v_0[/mm]
> p: die pro Stunde produzierte Menge
>
> Für v(k) gilt wie Du schon richtig festgestellt hast, dass
> [mm]v(k) = v_0 \cdot 1,02^k[/mm] (Zinseszinsformel).
> Die Änderung des Vorrats der Ressource pro Stunde ist:
> [mm]\Delta r := r(k+1) - r(k) = p - v(k) = p - v_0 \cdot 1,02^k[/mm]
>
> Beachte, dass das sowohl beim Einlagern als auch beim
> Verbrauchen von Ressourcen gilt, das Vorzeichen von [mm]\Delta r[/mm]
> ändert sich einfach entsprechend.
> Damit hat man nach k Stunden einen Ressourcenstand von:
> [mm]r(k) = r_0 + \summe_{k=1}^n \Delta r = r_0 + \summe_{k=1}^n (p-v_0\cdot 1,02^k) = r_0 + n\cdot p + v_0 \summe_{k=1}^n 1,02^k[/mm]
Solltest du nicht von 0 bis $n-1$ summieren? Und das ganz vorne ist $r(n)$ und nicht $r(k)$, oder?
> Letzteres ist eine endliche geometrische Reihe, wenn man da
> noch die entsprechde Summenformel einsetzt hat man:
> [mm]r(k) = r_0 + n\cdot p + v_0 \frac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02} = r_0 + n\cdot p + 50v_0 (1-1,02^{n+1})[/mm]
Hier wuerde das $n + 1$ dann durch ein $n$ ersetzt. (Wenn das oben wirklich von $1$ bis $n$ gehen sollte, dann ist die Formel hier falsch, da bei der geometrischen Summenformel der Summand fuer $k = 0$ fehlt.)
> Um herauszubekommen, wann die Ressource Verbraucht ist muss
> man also die rechte Seite = 0 setzen und nach n auflösen.
> Da n aber sowohl im Exponenten wie auch "unten" vorkommt
> wüsste ich jetzt nicht, wie man diese Gelichung exakt lösen
> kann, ich fürchte sogar, dass das gar nicht möglich ist.
Ist es auch nicht.
> Man könnte noch versuchen, ob man über eine
> kontinuierliche Näherung zu einer besseren Lösung kommt,
> aber das schaffe ich heute nicht mehr. Vielleicht setze ich
> mich da im Lauf der Woche nochmal dran.
Das waer eine Moeglichkeit. Eine andere, viel einfachere ist, gleich die Iteration explizit durchrechnen zu lassen, also $r(n)$ fuer $n = 1, 2, 3, [mm] \dots$ [/mm] zu berechnen, bi $r(n)$ negativ wird. Da man das ganze eh als Programm schreiben sollte, macht das Sinn.
Alternativ kann man bei einer Approximation (etwa per ![[]](/images/popup.gif) Newtonverfahren) auch einfach 100 (oder so) Iterationen ausfuehren (indem man das in einer Excel-Tabelle ueber 100 Zeilen explizit ausschreibt), dann sollte es genau genug sein.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Di 19.02.2008 | | Autor: | Sarinn |
Ähm, ja. Das ist mehr als ich erwartet hatte. Danke für die ausführliche Antwort.
Schade nur, dass das ganze noch komplizierter wird als ich dachte.
Da ich mit dieser Formel zur Zeit (um diese Uhrzeit...) garnichts anfangen kann, würde es mich interessieren, ob es einen Lösungsweg gäbe, wenn man weiß, dass der Bevölkerungzuwachs eine Grenze hat?
Klingt komisch...
zum verdeutlichen:
Durch den Ausbau von Hauptquartieren kann die Anzahl der Einwohner auf ein Maximum begrenzt werden, 42000 Einwohner
Kann man also die Formel entsprechend formen, dass die Bevölkerung zunächst wächst und dann konstant bleibt, bis die Vorräte erschöpft sind?
Ich denke daran,
zunächst die Dauer zu berechnen, bis das Maximum der Bevölkerung erreicht ist und die damit zusammenhängende Entwicklung des Vorrats;
anschließend die Dauer bis der entstandene Vorrat bei konstanter Bevölkerung auf Null ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Di 19.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ähm, ja. Das ist mehr als ich erwartet hatte. Danke für die
> ausführliche Antwort.
>
> Schade nur, dass das ganze noch komplizierter wird als ich
> dachte.
>
> Da ich mit dieser Formel zur Zeit (um diese Uhrzeit...)
> garnichts anfangen kann, würde es mich interessieren, ob es
> einen Lösungsweg gäbe, wenn man weiß, dass der
> Bevölkerungzuwachs eine Grenze hat?
Also nach der derzeitigen Formel wird der Lagerinhalt frueher oder spaeter 0 erreichen. Da die Bevoelkerung zu diesem Zeitpunkt aufhoert zu wachsen ist sie also begrenzt.
> Klingt komisch...
> zum verdeutlichen:
> Durch den Ausbau von Hauptquartieren kann die Anzahl der
> Einwohner auf ein Maximum begrenzt werden, 42000 Einwohner
>
> Kann man also die Formel entsprechend formen, dass die
> Bevölkerung zunächst wächst und dann konstant bleibt, bis
> die Vorräte erschöpft sind?
Was du machen kannst:
* Die Anzahl der Zeiteinheiten berechnen, bis dieses Maximum der Einwohner erreicht ist (unter der Annahme, dass die ganze Zeit ueber genug Nahrung in den Lagern ist)
* Mit der Formel den Lagerinhalt zu dem Zeitpunkt berechnen
Wenn der Lagerinhalt negativ ist, dann wird dieses Maximum nie erreicht. Wenn er positiv ist, kannst du von da an mit einer anderen Formel weiterrechnen: da von da an die Einwohnerzeit konstant ist, ist die Aenderung des Lagerinhalts auch konstant (und nicht eine Funktion von der Einwohnerzahl, also im Endeffekt von $t$) und somit bekommst du da eine einfache Formel, anhand der du sehen kannst, ob die Produktion fuer das durchfuettern von so vielen Leuten ausreicht (sprich ob der Zuwachs im Lager nicht-negativ ist) oder nicht (wenn der Zuwachs negativ ist).
> Ich denke daran,
> zunächst die Dauer zu berechnen, bis das Maximum der
> Bevölkerung erreicht ist und die damit zusammenhängende
> Entwicklung des Vorrats;
> anschließend die Dauer bis der entstandene Vorrat bei
> konstanter Bevölkerung auf Null ist.
Aeh ja genau :) Ist glaub ich genau das, was ich oben geschrieben hab, oder? Ist ein wenig frueh heute... *G*
Also: nehmen wir mal an, zum Zeitpunkt [mm] $t_1$ [/mm] hast du 42000 Einwohner. Mit der Formel von piet.t kannst du den Lagerinhalt [mm] $r_1 [/mm] := [mm] r(t_1)$ [/mm] zu diesem Zeitpunkt ausrechnen.
Von da an ist [mm] $\Delta [/mm] r = p - [mm] \frac{1}{10} [/mm] 42000$, womit [mm] $r(t_1 [/mm] + n) = [mm] r_1 [/mm] + n (p - [mm] \frac{1}{10} t_1)$ [/mm] ist. Wenn das 0 sein soll, dann muss also $n = [mm] -\frac{r_1}{p - \farc{1}{10} t_1}$ [/mm] sein; wenn diese Zahl negativ ist, tritt das nie ein, wenn sie positiv ist, dann sind die Lager irgendwann leer. Da [mm] $r_1 [/mm] > 0$ ist muss also $p < [mm] \frac{1}{10} [/mm] 42000$ sein. Dieser Fall tritt also genau dann auf, wenn du weniger als [mm] $\frac{1}{10} [/mm] 42000$ pro Zeiteinheit produzierst.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Do 21.02.2008 | | Autor: | Sarinn |
Ich danke allen, die sich zu miener Frage Gedanken gemacht haben.
Leider musste ich einsehen, dass ich zu wenig Grundwissen in diesem Bereich oder auch in der Datenverarbeitung habe und werde mich nun auf das Beschränken, was ich noch mit logischem Denken auf die Reihe bekomme :)
Nochmals Danke und großes Lob an alle! Ich werd auf jeden Fall immer wieder mal vorbei schauen. Ist sehr Interessant, was man hier alles lernen kann!!
Liebe Grüße
Julia
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