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| Aufgabe | (1) Beweisen Sie mit der Formel von de Moivre
[mm] cos(3x)=cos(x)*(4cos^{2}(x)-3) [/mm] und [mm] sin(3x)=sinx+(3-4sin^{2}(x)) [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
(2) Leiten Sie mit der 1. Gleichung in (1) die Gleichungen
[mm] cos(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] und [mm] sin(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2} [/mm] her. [Hinweis: [mm] cos(3*\bruch{\pi}{6}=0 [/mm] (Warum?)]
(3) Leiten Sie mit der 2. Gleichung in (1) die Gleichungen
[mm] cos(\bruch{\pi}{3}=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] sin(\bruch{\pi}{3})=\bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] her. [Hinweis: [mm] sin(3*\bruch{\pi}{3})=0 [/mm] (Warum?)] |
Die Formel von de Moivre ist ja:
[mm] (cos(x)+i*sin(x))^{n}=cos(nx)+i*sin(nx)
[/mm]
Doch wie wende ich diese auf die Aufgabe an??
LG
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Hallo Kruemel1008,
> (1) Beweisen Sie mit der Formel von de Moivre
> [mm]cos(3x)=cos(x)*(4cos^{2}(x)-3)[/mm] und
> [mm]sin(3x)=sinx+(3-4sin^{2}(x))[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
>
Das soll wohl hier so lauten:
[mm]sin(3x)=sinx\red{*}(3-4sin^{2}(x))[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
> (2) Leiten Sie mit der 1. Gleichung in (1) die Gleichungen
> [mm]cos(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] und
> [mm]sin(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2}[/mm] her. [Hinweis:
> [mm]cos(3*\bruch{\pi}{6}=0[/mm] (Warum?)]
>
> (3) Leiten Sie mit der 2. Gleichung in (1) die Gleichungen
> [mm]cos(\bruch{\pi}{3}=\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]sin(\bruch{\pi}{3})=\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] her. [Hinweis:
> [mm]sin(3*\bruch{\pi}{3})=0[/mm] (Warum?)]
> Die Formel von de Moivre ist ja:
> [mm](cos(x)+i*sin(x))^{n}=cos(nx)+i*sin(nx)[/mm]
>
> Doch wie wende ich diese auf die Aufgabe an??
>
Nun, linke Seite der Gleichung für n=3 ausmultiplizieren.
Nach Real- und Imaginärteil sortieren unjd ggf.
Additionstheioreme verwenden.
Schliesslich mit rechter Seite der Gleichung vergleichen.-
> LG
Gruss
MathePower
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Verstehe ich nicht ganz, also ich hab jetzt [mm] (cos(x)+1*sin(x))^{3} [/mm] ausmultilizuert und auch nach ewiger rechnerei das ergebnis cos(3x)+i*sin(3x) rausbekommen.
Damit habe ich aber noch nur diese Moivre Formel bewiesen, wie hilft mir das denn bei meiner Aufgabe weiter???
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Hallo Kruemel1008,
> Verstehe ich nicht ganz, also ich hab jetzt
> [mm](cos(x)+1*sin(x))^{3}[/mm] ausmultilizuert und auch nach ewiger
> rechnerei das ergebnis cos(3x)+i*sin(3x) rausbekommen.
Poste dazu die durchgeführten Rechenschritte.
> Damit habe ich aber noch nur diese Moivre Formel bewiesen,
> wie hilft mir das denn bei meiner Aufgabe weiter???
Gruss
MathePower
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(cos(x)+i*sin(x))(cos(x)+i*sin(x))(cos(x)+i*sin(x))
[mm] =(cos^{2}(x)+2isin(x)cos(x)-sin^{2}(x))(cos(x)+i*sin(x))
[/mm]
[mm] =cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3sin^{2}(x)cos(x)-isin^{3}(x)
[/mm]
[mm] =cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3(cos(x)-cos^{3}(x))-isin^{3}(x)
[/mm]
[mm] =cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3cos(x)+3cos^{3}(x)-isin^{3}(x)
[/mm]
[mm] =4cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3cos(x)-isin^{3}(x)
[/mm]
[mm] =4cos^{3}(x)+3i(sin(x)-sin^{3}(x))-3cos(x)-isin^{3}(x)
[/mm]
[mm] =4cos^{3}(x)+3isin(x)-3isin^{3}(x)-3cos(x)-isin^{3}(x)
[/mm]
[mm] =4cos^{3}(x)-3cos(x)-4isin^{3}(x)+3isin^{x}
[/mm]
=cos(3x)+i*sin(3x)
Ich hoffe da ist kein Tippfehler drinnen ... habs zig mal gerechnet um auf dieses Ergebnis zu kommen aber irgendwie hilfts mir so gar nicht weiter ...
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Hallo Kruemel1008,
> (cos(x)+i*sin(x))(cos(x)+i*sin(x))(cos(x)+i*sin(x))
> [mm]=(cos^{2}(x)+2isin(x)cos(x)-sin^{2}(x))(cos(x)+i*sin(x))[/mm]
>
> [mm]=cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3sin^{2}(x)cos(x)-isin^{3}(x)[/mm]
>
> [mm]=cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3(cos(x)-cos^{3}(x))-isin^{3}(x)[/mm]
>
> [mm]=cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3cos(x)+3cos^{3}(x)-isin^{3}(x)[/mm]
> [mm]=4cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3cos(x)-isin^{3}(x)[/mm]
> [mm]=4cos^{3}(x)+3i(sin(x)-sin^{3}(x))-3cos(x)-isin^{3}(x)[/mm]
> [mm]=4cos^{3}(x)+3isin(x)-3isin^{3}(x)-3cos(x)-isin^{3}(x)[/mm]
> [mm]=4cos^{3}(x)-3cos(x)-4isin^{3}(x)+3isin^{x}[/mm]
> =cos(3x)+i*sin(3x)
>
Die Behauptung in der Teilaufgabe a) hast Du damit gezeigt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hoffe da ist kein Tippfehler drinnen ... habs zig mal
> gerechnet um auf dieses Ergebnis zu kommen aber irgendwie
> hilfts mir so gar nicht weiter ...
Verwende die Hinweise in den Teilaufgaben b) un c).
Gruss
MathePower
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Aber ich soll doch dieses hier beweisen :
$ [mm] cos(3x)=cos(x)\cdot{}(4cos^{2}(x)-3) [/mm] $ und $ [mm] sin(3x)=sinx+(3-4sin^{2}(x)) [/mm] $ für alle $ [mm] x\in\IR. [/mm] $
????
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 So 18.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch jetz nach dem Ausmultiplizieren und der formel von Moivre
$cos(3*x)+isin(3*x) [mm] =4cos^{3}(x)-3cos(x)-4isin^{3}(x)+3isin^{x} [/mm] $
wenn du jetzt die realteile links = Realteilrechts setzt und rechts cos(x) ausklammerst hast du was du wolltest. dasselbe mit den Imaginärteilen.
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:07 So 18.05.2014 | | Autor: | Kruemel1008 |
Aaaahhh, ok, danke :D ... Ich hab jetzt aus der (ii) die erste Gleichung bewiesen, soch wie beweise ich die zweite, also [mm] sin(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2} [/mm] mit der ersten Gleichung aus (i) also mit [mm] cos(3x)=cos(x)*(4cos^{2}(x)-3) [/mm] ???
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Aaah, hat sich erledigt, habs hinbekommen :D
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