Formel von Moivre < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle Werte von [mm] \wurzel[4]{-81} [/mm] in [mm] \IC. [/mm] Geben Sie die Werte in der Form a + ib an und zeichnen sie die Werte in der Gauss'schen Zahlenebene ein. |
Hi,
grundsätzlich stellt die Formel an sich kein Problem dar.
Die Formel allgemein:
[mm] \wurzel[n]{z}=w=[\wurzel[n]{r}, \bruch{\gamma + 2\pi(k-1)}{n}]
[/mm]
Aber hier habe ich ein grundlegendes Problem:
Wie komme ich auf den Winkel [mm] \gamma?
[/mm]
Ich hätte hier diese Formel angewendet:
[mm] r=\vmat{z}=\wurzel{3²}=3
[/mm]
Nachdem ich keinen Imagänerteil gegeben habe, habe ich den Winkel wie folgt gerechnet:
[mm] cos\alpha [/mm] = [mm] \bruch{Re(z)}{\vmat{z}} [/mm]
--> ich erhalte für den Winkel 0^^
Danke im Voraus,
LG, Andi
|
|
| |
|
Hallo,
zu lösen ist ja [mm] $z^4=-81$
[/mm]
Nun, den Winkel von [mm] $z^4=-81$ [/mm] kannst du doch locker im Koordinatensystem ablesen:
Die Zahl ist rein reell, liegt auf der negativen reellen Achse.
[mm] $z^4$ [/mm] schließt also mit der x-Achse einen Winkel von [mm] $\pi$ [/mm] ein ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
argh, ich Depp x) .
Danke für die Antwort.
Das bedeutet, dass ich "in" der Formel selbst mit [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] starten muss?
Aber wo liegt der Fehler in meinem Versuch? Oder geht das in diesem Fall so gar nicht?
Weil, immer wenn nur der Realteil gegeben ist, bekommt man für den
[mm] cos\alpha [/mm] = 1;
Somit wird der Winkel jedes mal 0.
LG,
Andi
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> argh, ich Depp x) .
>
> Danke für die Antwort.
>
> Das bedeutet, dass ich "in" der Formel selbst mit
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] starten muss? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $z_k=3\cdot{}\left(\cos\left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)\right)$ [/mm] für $k=0,1,2,3$
>
> Aber wo liegt der Fehler in meinem Versuch? Oder geht das
> in diesem Fall so gar nicht?
>
> Weil, immer wenn nur der Realteil gegeben ist, bekommt man
> für den
>
> [mm]cos\alpha[/mm] = 1; ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Nach deiner Formel suchst du den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] für [mm] $w=z^4=-81$
[/mm]
Ich zitiere und ergänze: [mm] $\cos(\alpha)=\frac{\operatorname{Re}(w)}{|w|}=\frac{-81}{81}=\red{-}1$
[/mm]
Also [mm] $\alpha=\pi$ [/mm] - wir suchen ja einen Winkel aus [mm] $[0,2\pi)$
[/mm]
>
> Somit wird der Winkel jedes mal 0.
>
> LG,
> Andi
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hi,
nochmals bitte eine kurze Frage zu dieser Aufgabe.
Was ist der genaue Unterschied zwischen äußerem und innerem Radius?
Bzw. ist der Unterschied evident?
lg,
Danke für die vielen Antworten :)
Andi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 26.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
