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| Aufgabe | | Erinner, dass eine Relation (egt. eine binäre Relation) in axiomatischer Mengenlehre eine Menge bestehend von geordneten Paaren ist. Lass R eine Relation sein und lass [mm] \phi [/mm] = [mm] \phi(x) [/mm] die Formel [mm] \exists y:(x,y)\in [/mm] R sein. Lass S die Menge [mm] S=\cup(\cup [/mm] R) sein. Zeigt, dass [mm] x\in [/mm] S für jedes x so dass [mm] \phi(x) [/mm] gilt. |
Hallo Alle
Hat jemand bitte eine Lösungsidee zu dieser Aufgabe? Bloss die Aufgabe zu verstehen fällt mit etwas schwer, was heisst z.B. [mm] \cup(\cup [/mm] R) überhaupt?
Vielen Dank.
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| Aufgabe |
> Erinner, dass eine Relation (egt. eine binäre Relation) in
> axiomatischer Mengenlehre eine Menge bestehend von
> geordneten Paaren ist. Lass R eine Relation sein und lass
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\phi(x)[/mm] die Formel [mm]\exists y:(x,y)\in[/mm] R sein. Lass S
> die Menge [mm]S=\cup(\cup[/mm] R) sein. Zeigt, dass [mm]x\in[/mm] S für jedes
> x so dass [mm]\phi(x)[/mm] gilt. |
(die englische Sprache lässt grüßen  )
> Hallo Alle
>
> Hat jemand bitte eine Lösungsidee zu dieser Aufgabe? Bloss
> die Aufgabe zu verstehen fällt mit etwas schwer, was heisst
> z.B. [mm]\cup(\cup[/mm] R) überhaupt?
> Vielen Dank.
Hallo Iwan,
[mm] \phi(x) [/mm] bedeutet: "x kommt als erstes Element in der
Relation R tatsächlich vor", also ist
[mm] \{x\in G\ |\ \phi(x)\}=\{x\in G\ |\ \exists{y}(x,y)\in R\}
[/mm]
(G sei die Grundmenge, aus der die x und y stammen)
Die Schreibweise [mm]S=\cup(\cup[/mm] R) hat vermutlich damit zu
tun, wie die geordneten Paare, welche ja die Elemente
von R sind, mengentheoretisch genau definiert sind,
vermutlich nach Kuratowski:
(x,y)= [mm] \{\{ x \},\{ x,y \}\}
[/mm]
Die Menge [mm] \cup{R} [/mm] ist dann die Menge aller [mm] \{ x \}
[/mm]
und aller [mm] \{ x,y \} [/mm] mit [mm] (x,y)\in [/mm] R.
Die zweite Vereinigung wirft dann quasi alles in einen
Topf:
[mm] S=\cup(\cup{R})=\{x\in G\ |\ \exists{y}(x,y)\in R\} \cup \{y\in G\ |\ \exists{x}(x,y)\in R\}
[/mm]
[mm] S=\{x\in G\ |\ \phi(x)\} \cup \{y\in G\ |\ \exists{x}(x,y)\in R\}
[/mm]
S ist also die Menge aller Elemente aus G, die in der
Relation R auftreten, einerlei ob als erstes oder zweites
Element.
Daraus folgt sofort die Behauptung.
Schönen Gruß nach Dänemark ! al-Chw.
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