Formel mit Induktion beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN\summe_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+...+(n-1)^{3}+n^{3}=\bruch{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$ [/mm] |
Hallo,
ich bin diese Aufgabe wie folgt angegangen, gerate dann aber in Richtung Ende ins Wanken (vorausgesetzt der Weg bis dorthin ist überhaupt richtig):
Induktionsanfang n = 1:
[mm] $\summe_{k=1}^{1}k^{3}=1^{3}=1=\bruch{1}{4}*4=\bruch{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$
[/mm]
Induktionsschritt: $n [mm] \to [/mm] n+1$
Induktionsvoraussetzung: Für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelte [mm] $\summe_{k=1}^{n}k^{3}=\bruch{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$
[/mm]
Dann folgt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^{3}=\summe_{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{3}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+\bruch{(n+1)^{3}}{4}*4$
[/mm]
[mm] $=\bruch{n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{3}*4}{4}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{(n+1)}{4}[n^{2}+4(n+1)^{2}]$
[/mm]
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 So 21.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Das sieht doch soweit ganz gut aus bis auf den letzten Schritt.
Klammere hier [mm] $(n+1)^{\red{2}}$ [/mm] aus. Anschließend innerhalb der neuen Klammer zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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Danke Loddar,
aber leider sehe ich es nocht nicht...
Wenn ich das so mache, dann erhalte ich aus
[mm] $=\bruch{(n+1)}{4}[n^{2}+4(n+1)^{2}]$
[/mm]
[mm] $=\bruch{(n+1)}{4}[n^{2}+4(n+1)(n+1)]$
[/mm]
Wie geht es jetzt aber weiter?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da ist was falsch. du solltest [mm] (n+1)^2 [/mm] ausklammern, in deinem ersten post nicht die letzte Zeile, sondern die davor.
gruss leduart
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Danke für den Hinweis leduart.
Das ist meine vorletzte Zeile:
$ [mm] =\bruch{n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{3}\cdot{}4}{4} [/mm] $
Wäre das mein nächster Schritt?
$ [mm] =\bruch{n^{2}(n+1)+(n+1)^{2}\cdot{}4}{4}[n+1]$
[/mm]
Irgendwie versage ich bei dieser Aufgabe total am Ende...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 So 21.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Warum verweigerst Du Dich den gegebenen Tipps?
Klammere doch endlich mal [mm] $(n+1)^{\red{2}}$ [/mm] (mit einem Quadrat!) aus?
Gruß
Loddar
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Sorry, Loddar.
Ich mache das wirklich nicht absichtlich, es ist nur so, dass nicht sehe, wie es weiter geht.
Davon ausgehend:
[mm] $=\bruch{n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{3}\cdot{}4}{4} [/mm] $
[mm] $=\bruch{n^{2}+(n+1)*4}{4}*(n+1)^{2}$
[/mm]
Danke für die Hilfe und Mühe.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 21.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Nun multipliziere im Zähler des Bruches aus und wende anschließend eine binomische Formel an.
Gruß
Loddar
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Vielen Dank, Loddar.
Jetzt ist der Groschen auch endlich gefallen:
[mm] $=\bruch{n^{2}+(n+1)\cdot{}4}{4}\cdot{}(n+1)^{2}$
[/mm]
$ [mm] =\bruch{(n^{2}+(n+1)\cdot{}4)}{4}\cdot{}(n+1)^{2} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{(n^{2}+4n+4)}{4}\cdot{}(n+1)^{2} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{(n+2)^{2}}{4}\cdot{}(n+1)^{2} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}(n+1)^{2}*((n+1)+1)^{2}$
[/mm]
Teilweise haben solche Aufgaben etwas von "Magie"... Hast du vielleicht einen Tipp, wie man bei solchen Aufgaben nicht ins Schleudern gerät, so wie es bei mir vorhin passiert ist?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Es verbleibt nur eine (und vielleicht auch etwas unbefriedigende) Antwort: üben, üben, üben ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Mo 22.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Manchmal ist es ganz Hilfreich, das Ziel, das man ja keinnt, auch ein wenig umzuformen. So sieht man eventuell auch irgendwelche Zusammenhänge, bzw hat mehrere Gleichungen, die man mitgeschickten Umformungen "ansteuern" kann.
Also hier:
$ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}(n+1)^{2}\cdot{}((n+1)+1)^{2} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}(n^{2}+2n+1)\cdot{}(n+2)^{2} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}(n^{2}+2n+1)\cdot{}(n^{2}+4n+4) [/mm] $
Evtl trifft man dann auf einen Term, der relativ schnell aus dem Induktionsschritt in der richtigen Richtung folgt.
Marius
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