Formel: Ununterscheidbare Kuge < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Sa 16.07.2005 | | Autor: | wuz |
Hallo!
Ich habe leider ein Problem mit einer Formel!
Diese besagt, dass man mit (r-1 über n-1) eine Antwort auf folgende Frage geben kann:
Auf wie viele Arten können r ununterscheidbare Kugeln in n unterscheidbare Urnen verteilt werden, so dass keine leer bleibt!
Als Beispiel nehmen wir 12 Kugeln (r=12) und 3 Urnen (n=3)
(r-1 über n-1) = (11 über 2) = 55
Jetzt gibt es die berühmte Formel: Kombination mit Wiederholung, welche eine Antwort auf folgende Problemstellung liefert: r ununterscheidbare Kugeln werden auf n Urnen verteilt. In eine Urne dürfen beliebig viele dieser Kugeln (auch 0) kommen.
Wieder das Beispiel;
r = 12, n=3
(n+r-1 über r) = (3+12-1 über 12)=91
Jetzt mein Problem: Die Diskrepanz zwischen 91 und 55 mit der Unterscheidung, keiner der 3 Urnen darf leer bleiben, ist mir zu groß! Wieso fallen 36 Möglichkeiten weg? Mir würden nur 6 einfallen, wenn wir davon ausgehen, dass l für Urne leer und x für Urne voll steht.
lxx xlx xxl llx xll lxl
Ich bitte um Hilfe, danke!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://winf.at/forum/read.php?f=13&i=9181&t=9181
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Jo Hi,
Ich will das Problem mal anders Modellieren.
Die Formel [mm] {n-1}\choose{k-1} [/mm] entspricht auch den geordneten Zahlenpartitionen von n mit k summanden.
also bei deinen Kugeln:
k := Anzahl der Urnen
n := Anzahl der Kugeln
sagen wir
k = 3
n = 12
dann ist:
[mm] x_{1} [/mm] := Anzahl der Kugel in Urne 1
[mm] x_{k} [/mm] := Anzahl der Kugel in Urne k
da haben wir ja die Gleichung:
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=n=12
[/mm]
wenn nun gelten soll, dass die Urnen auch leer bleiben dürfen,
dann muss gelten:
[mm] (x_{1}+1)+(x_{2}+2)+(x_{3}+1)=(n+3)=15
[/mm]
jetzt dürfen [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{3} [/mm] auch 0 sein, aber die erste Formel gilt immernoch, da 0+1 = 1 ;p
so kommt man dann auf [mm] {n+k-1}\choose{k-1}
[/mm]
Und mehr als 6 Möglichkeiten die Weg fallen, fallen mir sofort ein.
Wenn Urne 3 leer ist, dann fallen direkt 12 Möglichkeiten weg,
nämlich dass in Urne 1 alle Kugeln, 11 Kugeln , ......., 1 Kugel, keine Kugel ist. usw...
hoffe konnte helfen...cu
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