Formalisieren < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 04.09.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Formalisieren Sie die Aussagen möglichst weit:
1) In jeder Stadt gibt es einen Haushalt ohne Strom
- Es gibt höchsten einen grünen Apfel
- Keine zwei Menschen haben an allen Fingern die gleichen Abdrücke |
Hi,
hatte heute erste Vorlesung im Vorkurs Mathe. Da haben wir dann diese Übung bekommen.
Für die erste Frage habe ich folgendes geschrieben:
[mm] $\forall [/mm] S: (S [mm] \; [/mm] ist [mm] \; [/mm] Stadt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] H: (H [mm] \; [/mm] ist [mm] \; [/mm] Haus [mm] \wedge [/mm] H [mm] \; hat\; [/mm] keinen [mm] \; [/mm] Strom)$
Für das mit dem "höchstens einen Apfel" hab ich es mir mal ganz einfach gemacht:
sei x: Anzahl der grünen Äpfel
[mm] $x\le [/mm] 1 ; [mm] x\in \IN^0$
[/mm]
und bei dem dritten stört mich die Formulierung:
Ich habe das mal umformuliert: Für alle Menschen gilt, dass sie an min. 1 Finger einen anderen Fingerabdruck als alle anderen haben.
Das dann formalisiert:
[mm] $\forall [/mm] M: (M [mm] \; [/mm] ist [mm] \; [/mm] Mensch [mm] \wedge \exists F:(F\; ist\; Fingerabdruck\; \wedge \neg(F=F_i))$
[/mm]
Wobei [mm] $F_i$ [/mm] für die Fingerabdrücke der anderen Menschen ist.
Könnte man hier nicht anstatt des [mm] $\wedge$ [/mm] auch ein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] setzten? Weil aus der Tatsache, dass M ein Mensch ist folgert das doch auch, dass die Fingerabdrücke nicht übereinstimmen?!
Gibt es da irgendeine Regel, wann man [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nutzt und wann das [mm] $\wedge$ [/mm] Zeichen?
Nun ja, habe diese obige Aussage auch mal so interpretiert:
"Alle Menschen haben unterschiedliche Fingerabdrücke"
Das sähe dann so aus: [mm] $\forall F:(F\; ist\; Fingerabdruck\; eines\; [/mm] Menschen [mm] \Rightarrow \neg(F=f_i))$
[/mm]
Das [mm] $F=F_i$ [/mm] soll aussagen, dass der Fingerabdruck nicht mit den anderen Abdrücken übereinstimmt... geht das so?
Naja, mein Problem ist eben, dass ich diese Ausdrücke heute zum ersten mal gehört habe, und noch nicht richtig weiß, wie man das genau anwenden soll. Würde gerne wissen, ob man das so umstezten kann, wie ich es gemacht habe, weil genaue Regeln hatten wir bisher noch nicht, wie man so etwas umsetzt.
Vlt. hat ja auch jemand einen hilfreichen Link?
LG
Kroni
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> Formalisieren Sie die Aussagen möglichst weit:
>
> 1) In jeder Stadt gibt es einen Haushalt ohne Strom
> - Es gibt höchsten einen grünen Apfel
> - Keine zwei Menschen haben an allen Fingern die gleichen
> Abdrücke
> Hi,
>
> hatte heute erste Vorlesung im Vorkurs Mathe. Da haben wir
> dann diese Übung bekommen.
>
> Für die erste Frage habe ich folgendes geschrieben:
>
> [mm]\forall S: (S \; ist \; Stadt \Rightarrow \exists H: (H \; ist \; Haus \wedge H \; hat\; keinen \; Strom)[/mm]
Scheint mir richtig.
>
> Für das mit dem "höchstens einen Apfel" hab ich es mir mal
> ganz einfach gemacht:
>
> sei x: Anzahl der grünen Äpfel
> [mm]x\le 1 ; x\in \IN^0[/mm]
Ugh! - Wie wärs statt dessen mit:
[mm]\forall x, y: x \text{ ist grüner Apfel }\wedge y \text{ ist grüner Apfel } \Rightarrow x=y[/mm]
Wobei ich annehme, dass es sich um eine Prädikatenlogik mit Gleichheit handelt.
> und bei dem dritten stört mich die Formulierung:
>
> Ich habe das mal umformuliert: Für alle Menschen gilt, dass
> sie an min. 1 Finger einen anderen Fingerabdruck als alle
> anderen haben.
>
> Das dann formalisiert:
>
> [mm]\forall M: (M \; ist \; Mensch \wedge \exists F:(F\; ist\; Fingerabdruck\; \wedge \neg(F=F_i))[/mm]
>
> Wobei [mm]F_i[/mm] für die Fingerabdrücke der anderen Menschen ist.
Ich würde diese Negation [mm] $\neg \exists \ldots$ [/mm] durch [mm] $\forall \neg\ldots$ [/mm] ersetzen: dann hätte man 'für alle Menschen $x,y$ folgt aus [mm] $x\neq [/mm] y$, dass es einen Finger von $x$ und einen Finger von $y$ gibt, deren Fingerabdruck verschieden ist'. Dies scheint mir leichter Formalisierbar. Verbleibendes Problem: die Finger zu paaren. Gemeint ist ja wohl Übereinstimmen oder Nicht-Übereinstimmen der Abdrücke ganz bestimmter Finger (rechter Daumen, ..., linker Daumen, ...)
> Nun ja, habe diese obige Aussage auch mal so
> interpretiert:
>
> "Alle Menschen haben unterschiedliche Fingerabdrücke"
>
> Das sähe dann so aus: [mm]\forall F:(F\; ist\; Fingerabdruck\; eines\; Menschen \Rightarrow \neg(F=f_i))[/mm]
>
> Das [mm]F=F_i[/mm] soll aussagen, dass der Fingerabdruck nicht mit
> den anderen Abdrücken übereinstimmt... geht das so?
Man müsste wahrscheinlich ein dreistelliges Prädikat haben. $F(a,f,x)$ würde z.B bedeuten: $a$ ist Abdruck von Fingerbezeichner $f$ (rechter Daumen, rechter Zeigefinger, ...) des Menschen $x$. Dann könnte man, allerdings wieder unter Verwendung von Gleichheit, schreiben:
[mm]\forall x,y: x\text{ ist Mensch }\wedge y\text{ ist Mensch } \wedge [\forall a,f: F(a,f,x)\Leftrightarrow F(a,f,y)]\Rightarrow x=y[/mm]
> Naja, mein Problem ist eben, dass ich diese Ausdrücke heute
> zum ersten mal gehört habe, und noch nicht richtig weiß,
> wie man das genau anwenden soll.
In blosser Prädikatenlogik lässt sich auch nicht alles, sicherlich nicht alles auf sehr natürliche Weise, formulieren.
Gerade für solche Anzahlaussagen wirds problematisch. Aber zu sagen: 'für alle Menschen $x,y: [mm] A(x,y)\Rightarrow [/mm] x=y$, scheint mir nahe genug bei der ursprünglichen Formulierung: 'für keine zwei (d.h. zwei verschiedene) Menschen $x,y$ gilt $A(x,y)$'
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Di 04.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> >
> > Für das mit dem "höchstens einen Apfel" hab ich es mir mal
> > ganz einfach gemacht:
> >
> > sei x: Anzahl der grünen Äpfel
> > [mm]x\le 1 ; x\in \IN^0[/mm]
>
> Ugh! - Wie wärs statt dessen mit:
> [mm]\forall x, y: x \text{ ist grüner Apfel }\wedge y \text{ ist grüner Apfel } \Rightarrow x=y[/mm]
>
> Wobei ich annehme, dass es sich um eine Prädikatenlogik mit
> Gleichheit handelt.
Naja, ich meine: Das ist doch prinzipiell richtig oder nicht? Entspricht zwar wohl nicht der Prädikatenlogik, aber prinzipiell ist das doch richtig...Das sagt das doch gerade aus, dass es höchsten einen grünen Apfel gibt.
Aber warum sollte mir deine Aussage sagen, dass es höchstens einen grünen Apfel gibt?
Das sagt mir doch nur folgendes:
"Für alle x und y gilt: X ist ein Grüner Apfel, Y ist ein grüner Apfel. Daraus folgt ,dass X=Y.
Dass gibt mir doch so gesehen ein Wahrer wert, da X ein grüner Apfel ist und Y auch. Und daraus folgt, dass X=Y ist. Das ist soweit richtig, aber was sagt mir das über die Anzahl aus? Das verstehe ich nicht richtig.
>
>
> > und bei dem dritten stört mich die Formulierung:
> >
> > Ich habe das mal umformuliert: Für alle Menschen gilt, dass
> > sie an min. 1 Finger einen anderen Fingerabdruck als alle
> > anderen haben.
> >
> > Das dann formalisiert:
> >
> > [mm]\forall M: (M \; ist \; Mensch \wedge \exists F:(F\; ist\; Fingerabdruck\; \wedge \neg(F=F_i))[/mm]
>
> >
> > Wobei [mm]F_i[/mm] für die Fingerabdrücke der anderen Menschen ist.
>
> Ich würde diese Negation [mm]\neg \exists \ldots[/mm] durch [mm]\forall \neg\ldots[/mm]
> ersetzen: dann hätte man 'für alle Menschen [mm]x,y[/mm] folgt aus
> [mm]x\neq y[/mm], dass es einen Finger von [mm]x[/mm] und einen Finger von [mm]y[/mm]
> gibt, deren Fingerabdruck verschieden ist'. Dies scheint
> mir leichter Formalisierbar. Verbleibendes Problem: die
> Finger zu paaren. Gemeint ist ja wohl Übereinstimmen oder
> Nicht-Übereinstimmen der Abdrücke ganz bestimmter Finger
> (rechter Daumen, ..., linker Daumen, ...)
>
> > Nun ja, habe diese obige Aussage auch mal so
> > interpretiert:
> >
> > "Alle Menschen haben unterschiedliche Fingerabdrücke"
> >
> > Das sähe dann so aus: [mm]\forall F:(F\; ist\; Fingerabdruck\; eines\; Menschen \Rightarrow \neg(F=f_i))[/mm]
>
> >
> > Das [mm]F=F_i[/mm] soll aussagen, dass der Fingerabdruck nicht mit
> > den anderen Abdrücken übereinstimmt... geht das so?
>
> Man müsste wahrscheinlich ein dreistelliges Prädikat haben.
> [mm]F(a,f,x)[/mm] würde z.B bedeuten: [mm]a[/mm] ist Abdruck von
> Fingerbezeichner [mm]f[/mm] (rechter Daumen, rechter Zeigefinger,
> ...) des Menschen [mm]x[/mm]. Dann könnte man, allerdings wieder
> unter Verwendung von Gleichheit, schreiben:
> [mm]\forall x,y: x\text{ ist Mensch }\wedge y\text{ ist Mensch } \wedge [\forall a,f: F(a,f,x)\Leftrightarrow F(a,f,y)]\Rightarrow x=y[/mm]
Sry, aber das verstehe ich noch nicht sonderlich. Mir fehlt dort momentan die "Greifbahrkeit" der Sachen...
>
> > Naja, mein Problem ist eben, dass ich diese Ausdrücke heute
> > zum ersten mal gehört habe, und noch nicht richtig weiß,
> > wie man das genau anwenden soll.
>
> In blosser Prädikatenlogik lässt sich auch nicht alles,
> sicherlich nicht alles auf sehr natürliche Weise,
> formulieren.
> Gerade für solche Anzahlaussagen wirds problematisch.
> Aber zu sagen: 'für alle Menschen [mm]x,y: A(x,y)\Rightarrow x=y[/mm],
> scheint mir nahe genug bei der ursprünglichen Formulierung:
> 'für keine zwei (d.h. zwei verschiedene) Menschen [mm]x,y[/mm] gilt
> [mm]A(x,y)[/mm]'
Also ist meine Prädikatenlogik soweit erstmal richtig? Weil die sagt ja aus, dass es für Alle Fingerabdrücke eines Menschen gilt, dass sie ungleich der von anderen Menschen sind. Das drückt die Aufgabe m.E. auch aus?!
LG
Kroni
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Hallo Kroni!
> Naja, ich meine: Das ist doch prinzipiell richtig oder
> nicht? Entspricht zwar wohl nicht der Prädikatenlogik, aber
> prinzipiell ist das doch richtig...Das sagt das doch gerade
> aus, dass es höchsten einen grünen Apfel gibt.
Genau - es entspricht nicht der Prädikatenlogik. 
> Aber warum sollte mir deine Aussage sagen, dass es
> höchstens einen grünen Apfel gibt?
>
> Das sagt mir doch nur folgendes:
>
> "Für alle x und y gilt: X ist ein Grüner Apfel, Y ist ein
> grüner Apfel. Daraus folgt ,dass X=Y.
>
> Dass gibt mir doch so gesehen ein Wahrer wert, da X ein
> grüner Apfel ist und Y auch. Und daraus folgt, dass X=Y
> ist. Das ist soweit richtig, aber was sagt mir das über die
> Anzahl aus? Das verstehe ich nicht richtig.
Das sagt dir folgendes: wenn x und y beides Äpfel sind, dann sind das gar nicht zwei verschiedene Objekte, sondern sie sind gleich, also nur ein Objekt. Und das heißt doch im Prinzip, dass es nur eins gibt, denn jedes andere, dass auch ein Apfel wäre, wäre ja wieder dasselbe Objekt. Also kann es nur eins geben.
Ist vllt anfangs ein bisschen schwierig zu verstehen - ich weiß aber nicht, wie ich es besser erklären soll. Vllt musst du es dir auch einfach ein paar Mal durchlesen.
Die letzte Aufgabe ist mir im Moment zu lang - die soll besser jemand anders bearbeiten und kontrollieren.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Kroni,
vllt noch eine kurze Ergänzung zu Bastianes Bemerkung zu (2)
Die Aussage, so wie Somebody sie aufgeschrieben hat, besagt zweierlei
(a) Es gibt (überhaupt mal) einen grünen Apfel [mm] \red{\text{= Existenz}}
[/mm]
(b) Wenn es 2 grüne Äpfel gibt, so sind sie gleich [mm] \red{\text{= Eindeutigkeit}}
[/mm]
Diese Aufteilung der Aussage in Existenz und Einddeutigkeit wird die bei Beweisen noch oft genug über den Weg laufen.
(Da es ohne Existenz keine Eindeutigkeit gibt, ist diese Aufteilung sinnvoll)
Ein Bsp. aus der linearen Algebra
"Zeige, dass dich der Vektor v eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren [mm] b_1,....b_n [/mm] darstellen lässt"
Da musst du zeigen, dass es überhaupt erstmal eine Darstellung
von v als LK der [mm] b_i [/mm] gibt [EXISTENZ] [mm] \underline{und}
[/mm]
dass, wenn es zwei Darstellungen gibt, beide identisch sind [EINDEUTIGKEIT]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Di 04.09.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Kroni,
>
> vllt noch eine kurze Ergänzung zu Bastianes Bemerkung zu
> (2)
>
> Die Aussage, so wie Somebody sie aufgeschrieben hat, besagt
> zweierlei
>
> (a) Es gibt (überhaupt mal) einen grünen Apfel [mm]\red{\text{= Existenz}}[/mm]
Hi,
Okay, das sagt mir also das X ist ein grüner Apfel und Y ist ein Grüner Apfel, dass diese Existenz da ist.
>
> (b) Wenn es 2 grüne Äpfel gibt, so sind sie gleich
> [mm]\red{\text{= Eindeutigkeit}}[/mm]
Das sagt mir also das [mm] $\Rightarrow [/mm] x=y$ ?
Okay, und damit sagt mir das: Falls es grüne Äpfel gibt, dann sind diese Objekte gleich sind. Also dass es dann immer ein Objekt ist. Das sagt mir dann, dass es höchstens eins gibt...
Verstehe ich das soweit richtig?
>
>
>
> Diese Aufteilung der Aussage in Existenz und Einddeutigkeit
> wird die bei Beweisen noch oft genug über den Weg laufen.
Hm, okay. =)
>
> (Da es ohne Existenz keine Eindeutigkeit gibt, ist diese
> Aufteilung auch si
Okay.
LG
Kroni
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 04.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
sry, hatte vorhin meine Antwort leider versehentlich im Bearbeiten Modus gestellt ..
> Hallo Kroni!
>
> > Naja, ich meine: Das ist doch prinzipiell richtig oder
> > nicht? Entspricht zwar wohl nicht der Prädikatenlogik, aber
> > prinzipiell ist das doch richtig...Das sagt das doch gerade
> > aus, dass es höchsten einen grünen Apfel gibt.
>
> Genau - es entspricht nicht der Prädikatenlogik.
>
> > Aber warum sollte mir deine Aussage sagen, dass es
> > höchstens einen grünen Apfel gibt?
> >
> > Das sagt mir doch nur folgendes:
> >
> > "Für alle x und y gilt: X ist ein Grüner Apfel, Y ist ein
> > grüner Apfel. Daraus folgt ,dass X=Y.
> >
> > Dass gibt mir doch so gesehen ein Wahrer wert, da X ein
> > grüner Apfel ist und Y auch. Und daraus folgt, dass X=Y
> > ist. Das ist soweit richtig, aber was sagt mir das über die
> > Anzahl aus? Das verstehe ich nicht richtig.
>
> Das sagt dir folgendes: wenn x und y beides Äpfel sind,
> dann sind das gar nicht zwei verschiedene Objekte, sondern
> sie sind gleich, also nur ein Objekt. Und das heißt doch im
> Prinzip, dass es nur eins gibt, denn jedes andere, dass
> auch ein Apfel wäre, wäre ja wieder dasselbe Objekt. Also
> kann es nur eins geben.
Hm okay, ich wiederhole:
Beides sind grüne Äpfel. Daraus folgt, dass x=y. Und da x und y die selben Eigenschaften haben, sieht man es so gesehen als ein Objekt an.
Aber was genau ist mit der Aussage "es gibt höchstens eins". Dann müsste man ja noch abedecken, dass es keins gibt.
Das daraus folgt sagt ja, dass wenn die erste Aussage nicht zutrifft, also X und Y keine grünen Äpfel sind, dass man dann über X=Y keine Aussage machen kann.
Sagt das dann also auch automatisch aus, dass es auch keine grünen Äpfel geben könnte?
>
>
>
>
> Ist vllt anfangs ein bisschen schwierig zu verstehen - ich
> weiß aber nicht, wie ich es besser erklären soll. Vllt
> musst du es dir auch einfach ein paar Mal durchlesen.
>
>
>
Hm, die ganze Sache ist für das erste mal hören sehr sehr verwirrend und schwer zu verstehen, finde ich. Naja, da muss man sich wohl onch ein paar mal öfters mit beschäftige, ehe man das versteht und richtig weiß, wie man so etwas anwenden kann/muss...
>
> Die letzte Aufgabe ist mir im Moment zu lang - die soll
> besser jemand anders bearbeiten und kontrollieren.
>
>
>
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
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Hi,
> Hm okay, ich wiederhole:
>
> Beides sind grüne Äpfel. Daraus folgt, dass x=y. Und da x
> und y die selben Eigenschaften haben, sieht man es so
> gesehen als ein Objekt an.
> Aber was genau ist mit der Aussage "es gibt höchstens
> eins".
Das heißt: "Es gibt einen grünen Apfel [mm] \underline{und}
[/mm]
wenn es zwei grüne Äpfel gibt, so sind sie gleich"
>Dann müsste man ja noch abedecken, dass es keins
> gibt.
> Das daraus folgt sagt ja, dass wenn die erste Aussage nicht
> zutrifft, also X und Y keine grünen Äpfel sind, dass man
> dann über X=Y keine Aussage machen kann.
Die Aussage ist von der Struktur eine Implikation, dh von der Art
[mm] p\Rightarrow [/mm] q, wobei p,q Aussagen sind
Die ist nur dann falsch, wenn p wahr ist und q falsch ist,
sonst ist sie wahr
Hattet ihr schon Wertetabellen im Vorkurs? Da wird das schön durchge"x"t
Vllt. hast du schon von der bekannten Aussage gehört:
"Wenn es regnet, ist die Straße nass"
Was ist, wenn es nicht regnet? Kann man dann eine Aussage darüber treffen, ob die Straße nass ist? Nein, ich könnte sie ja mit der Gießkanne gegossen haben  ...
Das soll heißen, dass, wenn es NICHT regnet, ist die Aussage wahr.
Was, wenn es regnet? Wenn die Straße nass ist, ist die Aussage offensichtlich wahr
Wenn die Straße aber nicht nass ist,.... oha, dann ist's falsch
Hoffe, ich konnte die innewohnende Problematik ein klein wenig verdeutlichen
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Di 04.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das Problem mit dem Regen in den Wikibooks. Die Wahrheitstabellen hatten wir schon, aber muss das ganze noch ein wenig mehr verinnerlichen.
Dass mit dem "es regnet nicht" war auch für mich erst einmal irreführend, aber ist klar, wenn die Vorraussetzung, aus der etwas folgen kann nicht stimmt, dann kann ich so gesehen auch nichts über die daraus folgende Aussage sagen, also gibt das ganze dann so gesehen ein "wahr".
Das Beispiel mit dem "es regnet nicht, aber die Erde ist nass" ist gut, ich wäre aber für einen Wasserschlauch anstatt einer Gießkanne*G*
Ja, ich denke, wenn ich mich da noch etwas länger mit beschäftige sollte das so gesehen irgendwann mal "logisch" werden*g*
LG und erst einmal Danke für eure Auskunft, wobei mich ja die Sache mit den Abdrücken auch noch interessiert*g*
Kroni
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> Hi,
>
> > >
> > > Für das mit dem "höchstens einen Apfel" hab ich es mir mal
> > > ganz einfach gemacht:
> > >
> > > sei x: Anzahl der grünen Äpfel
> > > [mm]x\le 1 ; x\in \IN^0[/mm]
> >
> > Ugh! - Wie wärs statt dessen mit:
> > [mm]\forall x, y: x \text{ ist grüner Apfel }\wedge y \text{ ist grüner Apfel } \Rightarrow x=y[/mm]
>
> >
> > Wobei ich annehme, dass es sich um eine Prädikatenlogik
> mit
> > Gleichheit handelt.
>
> Naja, ich meine: Das ist doch prinzipiell richtig oder
> nicht? Entspricht zwar wohl nicht der Prädikatenlogik, aber
> prinzipiell ist das doch richtig...Das sagt das doch gerade
> aus, dass es höchsten einen grünen Apfel gibt.
>
> Aber warum sollte mir deine Aussage sagen, dass es
> höchstens einen grünen Apfel gibt?
>
> Das sagt mir doch nur folgendes:
>
> "Für alle x und y gilt: X ist ein Grüner Apfel, Y ist ein
> grüner Apfel. Daraus folgt ,dass X=Y.
>
> Dass gibt mir doch so gesehen ein Wahrer wert, da X ein
> grüner Apfel ist und Y auch. Und daraus folgt, dass X=Y
> ist. Das ist soweit richtig, aber was sagt mir das über die
> Anzahl aus? Das verstehe ich nicht richtig.
Angemessen Formalisieren bedeutet doch: die umgangsprachliche Aussage muss genau dann gelten, wenn die formalisierte Aussage gilt.
Untersuche also folgende zwei Fälle:
1.Fall: Die umgangssprachliche Aussage gilt (1 a. Fall: es gibt keinen grünen Apfel, 1b. Fall: es gibt genau einen grünen Apfel)
und
2. Fall: Die umgangsprachliche Aussage gilt nicht (d.h. es gibt mehr als einen grünen Apfel, also zumindest zwei Äpfel x,y mit [mm] $x\neq [/mm] y$.
Allgemein: die Aussage 'es gibt höchstens ein $x$ mit der Eigenschaft $A(x)$' kann man meiner Meinung nach mit [mm] $\forall [/mm] x,y: [mm] A(x)\wedge A(y)\Rightarrow [/mm] x=y$ genaus formalisieren wie die Aussage, 'es gibt keine zwei verschiedene $x,y$ mit $A(x)$'.
Was die Fingerabruckproblematik betrifft. Mit dem Prädikat $F(x,y) := $ '$x$ und $y$ besitzen dieselben Fingerabdrücke', kann man meiner Meinung nach die Aussage, dass 'keine zwei verschiedene $x,y$ dieselben Fingerabdrücke haben' analog mit Hilfe von [mm] $\forall [/mm] x,y: [mm] F(x,y)\Rightarrow [/mm] x=y$ formalisieren.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Formalisiere:
Keine zwei Menschen haben an allen Fingern die gleichen Abdrücke.
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Hi,
habe das ganze oben mal umgeschrieben:
Zwei Menschen haben an min. einem Finger unterschiedliche Abdrücke.
Das ganze formalisiert:
[mm]\forall x,y :(\text{x ist ein Mensch, y ist ein Mensch} => \exists F_x,F_y :(F_x \; \text{ist ein Fingerabdruck von x}, F_y \text{ist ein Fingerabdruck von y} => \neg(F_x=F_y))[/mm]
Kann man das so in etwas formulieren?
LG
Kroni
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> Formalisiere:
>
> Keine zwei Menschen haben an allen Fingern die gleichen
> Abdrücke.
>
>
> Hi,
>
> habe das ganze oben mal umgeschrieben:
>
> Zwei Menschen haben an min. einem Finger unterschiedliche
> Abdrücke.
>
> Das ganze formalisiert:
>
> [mm]\forall x,y :(\text{x ist ein Mensch, y ist ein Mensch} => \exists F_x,F_y :(F_x \; \text{ist ein Fingerabdruck von x}, F_y \text{ist ein Fingerabdruck von y} => \neg(F_x=F_y))[/mm]
>
> Kann man das so in etwas formulieren?
Ich fürchte nein: denn Du hast nicht ausgeschlossen, dass $x=y$ ist. Setze einmal diesen Fall in Deine Formalisierung der fraglichen Aussage ein. Dann besagt die quantifizierte Aussage, dass $x$ zu sich selbst verschiedene Fingerabdrücke hat: dies ist doch wohl kaum, was Du möchtest. (Dass ein Mensch mehr als einen Finger hat und deshalb die verkürzte Rede vom "Fingerabdruck von $x$" nicht so ganz richtig ist, lassen wir mal beiseite.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe zwar null Ahnung von Prädikatenlogik und Formalisieren, aber der Satz "Keine zwei Menschen haben an allen Fingern die gleichen Abdrücke" ist schon von Sprachlichen her nicht eindeutig formuliert.
Sie könnte bedeuten:
1) Es gibt nicht mehr als einen Menschen, der an allen seinen zehn Fingern denselben Abdruck hat.
2) Wenn zwei Menschen an neun Fingern denselben Abdruck haben, dann haben sie am zehnten Finger mit Sicherheit einen unterschiedlichen Abdruck.
3) Wenn es zwei Menshen gibt, die an allen Fingern denselben Abdruck haben, dann muss es mindestens einen weiteren Menschen geben, der ebenfalls diesen Abdruck hat.
So, nun könnt ihr ja mal alle drei Aussagen prädikatenlogikmäßig formalisieren und dabei die Unterschiede sehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schön, dass es noch jemanden gibt, der das ganze als uneindeutig ansieht*g*
Wie das ganze in präd.Logik ausschaut, weiß ich leider auch nicht genau, aber mal sehen, ob ich mich daran versuche.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Somebody |
> Ich habe zwar null Ahnung von Prädikatenlogik und
> Formalisieren, aber der Satz "Keine zwei Menschen haben an
> allen Fingern die gleichen Abdrücke" ist schon von
> Sprachlichen her nicht eindeutig formuliert.
>
> Sie könnte bedeuten:
>
> 1) Es gibt nicht mehr als einen Menschen, der an allen
> seinen zehn Fingern denselben Abdruck hat.
>
> 2) Wenn zwei Menschen an neun Fingern denselben Abdruck
> haben, dann haben sie am zehnten Finger mit Sicherheit
> einen unterschiedlichen Abdruck.
>
> 3) Wenn es zwei Menshen gibt, die an allen Fingern
> denselben Abdruck haben, dann muss es mindestens einen
> weiteren Menschen geben, der ebenfalls diesen Abdruck hat.
>
> So, nun könnt ihr ja mal alle drei Aussagen
> prädikatenlogikmäßig formalisieren und dabei die
> Unterschiede sehen.
Mir fehlt leider die dazu nötige Motivation. Aber eines möchte ich noch geschrieben haben: Der Versuch einer Formalisierung zielt oft gerade darauf ab, etwaige Mehrdeutigkeiten einer Aussage auszuschliessen (bzw. aufzudecken). So gesehen darf es als Erfolg gelten, im Rahmen eines Formalisierungsversuches eine Mehrdeutigkeit aufgedeckt zu haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Aber eines möchte ich noch geschrieben haben:
> Der Versuch einer Formalisierung zielt oft gerade
> darauf ab, etwaige Mehrdeutigkeiten einer Aussage
> auszuschliessen (bzw. aufzudecken).
> So gesehen darf es als Erfolg gelten, im
> Rahmen eines Formalisierungsversuches eine
> Mehrdeutigkeit aufgedeckt zu haben.
Damit triffst du den Nagel auf den Kopf:
Während die menschliche Sprache durch ihre Ungenauigkeiten oftmals zu Mehrdeutigkeiten führt - und manche Komiker es sogar bewusst auf solche Irreführungen abgesehen haben - , soll man durch Formalisierung zu eindeutigen Aussagen kommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das klingt logisch, dass dann durch eine Formalisierung eine Eindeutigkeit erzeugt werden soll.
Aber wenn die deutsche Sprache schon so uneindeutig ist, und man dann eine Formalisierung daraus machen soll, ist das schon merkwürdig, weil man muss sich dann ja schon für etwas entscheiden....
Naja, mal sehen. Aber ich denke, mit ein wenig mehr Erfahrung in der Sache kommt man mit der ganzen Sache besser klar.
LG
Kroni
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Kroni |
> > Formalisiere:
> >
> > Keine zwei Menschen haben an allen Fingern die gleichen
> > Abdrücke.
> >
> >
> > Hi,
> >
> > habe das ganze oben mal umgeschrieben:
> >
> > Zwei Menschen haben an min. einem Finger unterschiedliche
> > Abdrücke.
> >
> > Das ganze formalisiert:
> >
> > [mm]\forall x,y :(\text{x ist ein Mensch, y ist ein Mensch} => \exists F_x,F_y :(F_x \; \text{ist ein Fingerabdruck von x}, F_y \text{ist ein Fingerabdruck von y} => \neg(F_x=F_y))[/mm]
>
> >
> > Kann man das so in etwas formulieren?
>
> Ich fürchte nein: denn Du hast nicht ausgeschlossen, dass
> [mm]x=y[/mm] ist. Setze einmal diesen Fall in Deine Formalisierung
> der fraglichen Aussage ein. Dann besagt die quantifizierte
> Aussage, dass [mm]x[/mm] zu sich selbst verschiedene Fingerabdrücke
> hat: dies ist doch wohl kaum, was Du möchtest.
Hi,
ja, da muss ich dir recht geben, dass das nicht so passt. Würde es theoretisch reichen, wenn ich vor der Ganzen Aussage [mm] $\neg(x=y)$ [/mm] mit einer und-Verknüpfung packe? Dann ist dieser Fall ja ausgeschlossen!
(Dass ein
> Mensch mehr als einen Finger hat und deshalb die verkürzte
> Rede vom "Fingerabdruck von [mm]x[/mm]" nicht so ganz richtig ist,
> lassen wir mal beiseite.)
Ja, das stimmt schon. Da könnte man dann ja noch den Index i oder so da hinpacken, der dann besagt, dass damit alle Fingerabdrücke der Menschen gemeint ist?!
LG
KRoni
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> > > Formalisiere:
> > >
> > > Keine zwei Menschen haben an allen Fingern die gleichen
> > > Abdrücke.
> > >
> > >
> > > Hi,
> > >
> > > habe das ganze oben mal umgeschrieben:
> > >
> > > Zwei Menschen haben an min. einem Finger unterschiedliche
> > > Abdrücke.
> > >
> > > Das ganze formalisiert:
> > >
> > > [mm]\forall x,y :(\text{x ist ein Mensch, y ist ein Mensch} => \exists F_x,F_y :(F_x \; \text{ist ein Fingerabdruck von x}, F_y \text{ist ein Fingerabdruck von y} => \neg(F_x=F_y))[/mm]
>
> >
> > >
> > > Kann man das so in etwas formulieren?
> >
> > Ich fürchte nein: denn Du hast nicht ausgeschlossen, dass
> > [mm]x=y[/mm] ist. Setze einmal diesen Fall in Deine Formalisierung
> > der fraglichen Aussage ein. Dann besagt die quantifizierte
> > Aussage, dass [mm]x[/mm] zu sich selbst verschiedene Fingerabdrücke
> > hat: dies ist doch wohl kaum, was Du möchtest.
> Hi,
>
> ja, da muss ich dir recht geben, dass das nicht so passt.
> Würde es theoretisch reichen, wenn ich vor der Ganzen
> Aussage [mm]\neg(x=y)[/mm] mit einer und-Verknüpfung packe? Dann ist
> dieser Fall ja ausgeschlossen!
Ja, das könnte reichen. Im Grunde hast Du dann aber nur eine Art Kontraposition der Idee [mm]\forall x,y: F(x,y)\Rightarrow x=y[/mm] (die Dir offenbar nicht so recht gefällt), also [mm]\forall x,y: x\neq y\Rightarrow \neg F(x,y)[/mm]. Wobei $F(x,y)$ genau dann wahr sein soll, wenn (die Menschen) $x,y$ dieselben Fingerabdrücke haben (was immer damit genau gemeint ist).
Diese Möglichkeit hat man in der Prädikatenlogik ja im Sinne einer Notlösung immer: ein geeignetes primitives Prädikat, hier $F$, einzuführen, das die in der Prädikatenlogik selbst schwer zu formalisierenden Teile erledigt, und nur die syntaktische Grobstruktur der Aussage wirklich zu formalisieren. Bei vielen mittels Prädikatenlogik formalisierbaren Theorien muss man auch so vorgehen: man denke an die Mengenlehre.
(Das "ist Mensch"-Prädikat habe ich kurzerhand weggelassen: das kann man natürlich auch dazubasteln.)
Eine andere Möglichkeit, in einer Prädikatenlogik mit Funktionstermen, ist $F(x) := $ 'der Fingerabdruck von $x$' zu verwenden und dann [mm]\forall x,y: F(x)=F(y)\Rightarrow x=y[/mm] bzw. die dazu äquivalente Kontraposition [mm] $\forall [/mm] x,y: [mm] x\neq y\Rightarrow F(x)\neq [/mm] F(y)$ zu schreiben. (Im Grunde besagt dies einfach, dass $F: [mm] x\mapsto [/mm] F(x)$ injektiv ist.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
im Grunde genommen ist die Lösung ja jetzt gar nicht so schwer. Man muss sich den Satz ja prinzipiell nur richtig zurechtbasteln.
Okay, aber ich habe mir zu dem "ohne Absicherung" noch folgendes überlegt:
Mein erster Ausdruck besagte ja auch, dass es für alle Menschen gilt, dass diese mindestens einen Fingerbadruck haben, der zum anderen Menschen nicht passt.
Angenommen, x und y seien die selben Menschen, dann stimmt die Aussage ja auch, da ja nicht ALLE Fingerabdrücke bei einem Menschen übereinstimmen.
Wenn man jetzt annimmt, dass (Fxi = FyI) meint, dass irgendein Fingerabdruck des anderen zu irgendeinem anderen passt.
Aber deine Sache ist natürlich deutlich einfacher =)
LG
Kroni
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