Folgerungen aus d Primzahlsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Sa 12.11.2011 | | Autor: | swetti |
| Aufgabe | Folgerung aus dem Primzahlsatz:
Zu zeigen ist
Es gibt keine reellen Polynome p(x), q(x) mit [mm] \pi(n)=p(n)/q(n) [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe soll ich zeigen. Ich habe aber sehr große Schwierigkeiten, richtig an die Aufgabe heran zu gehen, da ich nicht wirklich weiß, was genau ich zeigen muss.
Folgendes weiß ich: [mm] \pi(x)=#\{p \le x | p Primzahl \}. [/mm] Das kann ich abschätzen als [mm] \pi(x)= \bruch{x}{log(x)}.
[/mm]
Uns uns wurde der Tipp gegeben, den Beweis über einen Widerspruch zu führen:
Nehme an, es gibt reelle Polynome p(x), q(x), so dass [mm] \pi(n)= \bruch{n}{log(n)}=\bruch{p(n)}{q(n)}. [/mm] Dieses solle man mit der Begründung, dass Polynome anders als der Logarythmus wächst, zum Widerspruch führen.
Leider kann ich aus der Behauptung, dass p und q reell sind, nichts weiter ableiten als dass ihre Koeffizienten bzw. Nullstellen reell sind. Und damit komme ich hier nicht weiter.
Ich wäre für einen Tipp bzw. Lösungsansatz sehr froh, um zu wissen wie ich bei dieser Aufgabe (weiter)verfahren kann.
Vielen Dank im Vorraus, swetti
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo swetti,
stehen Dir ![[]](/images/popup.gif) Landau-Symbole zur Verfügung? Dann ist die Aufgabe leicht zu lösen.
Wenn nicht, wird es etwas schwieriger.
Nach Umformung müsste gelten:
[mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{\bruch{n}{\ln{n}}}{\bruch{p(n)}{q(n)}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{n*q(n)}{p(n)*\ln{n}}=1
[/mm]
Grenzwert über l'Hospital untersuchen. Dann reduzierst Du die Aufgabe darauf, dass [mm] \ln{x} [/mm] nicht beliebig weit durch ein Polynom in x angenähert werden kann. Das ist dann schon einfacher zu lösen...
Grüße
reverend
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