Folgerung einer Abschaetzung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Sa 14.11.2009 | | Autor: | azrael1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe vollstaendiger Induktion, dass [mm] 2^{n} [/mm] < n! fuer n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 4, gilt.
Folgern Sie daraus die Abschaetzung [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] < 3 fuer n [mm] \in \IN_{0} [/mm] |
Hallo,
den Induktionsbeweis habe ich direkt hinbekommen, jedoch habe ich keine Ahnung, wie ich daraus nun diese Abschaetzung folgern soll, sprich, was damit gemeint ist und was diese Abschaetzung ueberhaupt ausdruecken soll.
Ausserdem habe ich mich gefragt, ob bei der Abschaetzung nicht k,n [mm] \not= [/mm] 0 dabei stehen muesste.
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Hallo,
ich hab zwar nicht die erste Teilaufgabe durchgerechnet mit der Induktion aber dennoch wollte ich dir ein Tipp geben.
Die Reihe die dort steht kannst du folgern indem zu zeigst dass einmal die Reihe größer 2 aber kleiner 3 ist. Das ist auch kein Wunder denn die Reihe konvergiert gegen e. Man könnte das mit dem Binomischen Lehrsatz untera anderem zeigen aber du sollst ja mit hilfe der ersten Teilaufgabe die Abschätzung zeigen. Poste mal einfach deine Ergebnisse zur 1. Aufgabe.
Zur zweiten Frage: Nein es muss nicht [mm] k,n\not=0 [/mm] vorausgesetz werden. [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] ist ja definiert.
Betrachtest du die ersten Glieder der Reihe dann siehmt man auch dass die Reihe größer als 2 aber kleiner als 3 ist.
[mm] \bruch{1}{0!}+\bruch{1}{1!}=2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{0!}+\bruch{1}{1!}+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+....+\bruch{1}{n!}<3
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Sa 14.11.2009 | | Autor: | azrael1 |
Also den Induktionsbeweis habe ich wie folgt geloest:
IA: n=4 [mm] \Rightarrow 2^{4} [/mm] < 4! [mm] \gdw [/mm] 16 < 24
IV: [mm] 2^{n} [/mm] < n!
IS: [mm] 2^{n+1} [/mm] < (n+1)! [mm] \gdw 2^{2}*2 [/mm] < n!*n+1
Wenn man den letzteren Ausdruck nun auf beiden Seiten durch 2 teilt (was hoffentlich erlaubt ist) erhaelt man [mm] 2^{n} [/mm] < n! * [mm] \bruch{n+1}{2}. [/mm] Da [mm] n\ge4 [/mm] dachte ich, dass der Beweis hier fertig ist, weil der Bruch ja nie kleiner 1 sein kann.
Ich verstehe nun allerdings die Aufgabenstellung immer noch nicht...was bedeutet es denn, wenn ich die Abschaetzung aus diesem Beweis folgern soll. Wo liegt die Verbindung/was muss ich machen???
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 So 15.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ich verstehe nun allerdings die Aufgabenstellung immer noch
> nicht...was bedeutet es denn, wenn ich die Abschaetzung aus
> diesem Beweis folgern soll. Wo liegt die Verbindung/was
> muss ich machen???
du sollst im ersten Teil der Aufgabe zeigen, dass [mm] 2^{n}
[mm] 2^{n}
Jetzt sehen wir uns noch mal die Reihe an: $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] $ - siehst du was?
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}=\bruch{1}{0!}+\bruch{1}{1!}+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\summe^{n}_{k=\red{4}} \bruch{1}{k!}
[/mm]
Jetzt weißt du aus dem ersten Aufgabenteil, dass [mm] \summe^{n}_{k=\red{4}}\bruch{1}{k!}<\summe^{n}_{k=\red{4}}\bruch{1}{2^k}=\summe^{n}_{k=\red{4}}(\bruch{1}{2})^k [/mm] (Stichwort: geom. Reihe, beachte aber den Index; geom. Reihe beginnt bei k=0!)
Du kannst nun
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}=\bruch{1}{0!}+\bruch{1}{1!}+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\summe^n_{k=\red{4}}\bruch{1}{k!}<...<3 [/mm] abschätzen.
Hast du den Zusammenhang erkannt?
Gruß
barsch
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