Folgenstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:04 So 02.01.2011 | | Autor: | Causal |
| Aufgabe | | http://img.ihack.se/images/8129390842312.png |
Hallo liebe Community,
erstmal frohes neues =)
Bei der Aufgabe happerts bisschen daran, dass ich nicht ganz genau weiß, wie ich mit der Folgenstetigkeit arbeiten soll.
Ich schreibe euch mal auf, wie weit ich gekommen bin:
Ich hab zunächst mit dem rechtsseitigen Grenzwert angefangen. (Die linksseitigen Grenzwertbestimmung können wir außen vor lassen, da das Intervall [0, [mm] \bruch{1}{2}]) [/mm]
also [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{ln(x)} [/mm] = 0 , da
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ln(x) = [mm] -\infty. [/mm] Unser Grenzwert ist in dem Fall unser a, also a = 0.
Aber wie arbeite ich weiter mit der Folgenstetigkeit.
Ich weiß, dass gelten muss:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = a [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = f(a). Aber wie zeige ich das anhand meiner Aufgabe?
Gruß
Causal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Causal,
nutze doch den Formeleditor um die Aufgabenstellung selbst zu TeXen. Das geht fix und ist mehr als zuvorkommend für die Helfenden im Forum.
Zur Folgenstetigkeit:
Eine reellwertige Funktion $ f: D [mm] \subseteq \IR \to \IR [/mm] $ ist stetig im Punkt $ [mm] x_0 \in [/mm] D $ genau dann, wenn für alle Folgen $ [mm] x_n \in [/mm] D $ gilt, dass
$ [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] x_0 \Rightarrow \lim f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] \ \ \ \ \ \ $ $ [mm] (\*) [/mm] $
Für $ x = 0 $ ist $ f(x) = a $ für alle $ x [mm] \in [/mm] I = [0, [mm] \frac{1}{2}] [/mm] $ als konstante Funktion stetig.
Für $ x [mm] \not= [/mm] 0 $ ist $ f(x) = [mm] \dfrac{1}{\ln(x)} [/mm] $ als komposition stetiger Funktionen stetig.
Damit $ f $ auf ganz I stetig ist, muss die Stetigkeit im Punkt $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ erfüllt sein.
Sei $ [mm] x_n [/mm] $ also eine bel. Nullfolge mit $ [mm] x_n \not= [/mm] 0 $ für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $.
Es gilt $ [mm] \lim_{n \to \infty} x_n [/mm] = 0 $ und $ [mm] \lim_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\ln(x_n)} [/mm] = 0 $
Für die Nullfolge $ [mm] x_n' [/mm] = 0 $ für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $ hingegen gilt
$ [mm] \lim_{n \to \infty} x_n' [/mm] = 0 $ und $ [mm] \lim_{n \to \infty}f(x_n') [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] f(0) = a $
Es muss also $ a = 0 $ gewählt werden. Andernfalls gibt es Nullfolgen, für die $ [mm] f(x_n) \to [/mm] f(0) = a [mm] \not= [/mm] 0 $.
Alle Nullfolgen, die sich von rechts der Nahtstelle $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ nähern haben den Grenzwert $ 0 $, die triviale Nullfolge $ [mm] x_n' [/mm] = 0 $ für alle Folgengliedern hingegen hat den Grenzwert $ a $.
Ist dieser $ [mm] \not= [/mm] 0 $, so hast du eine Sprungstelle an der Stelle $ x = 0 $.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 So 02.01.2011 | | Autor: | Causal |
Vielen Dank für deine Bemühungen =)
Und das nächste mal benutze ich den TeX-Editor ;)
Viele Grüße Causal
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