Folgenstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 09.08.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
die Definition zur Folgenstetigkeit bereitet mir große Schwierigkeiten.
In Worten ausgedrückt bedeutet die Folgenstetigkeit doch:
Eine in [mm] x_0 [/mm] definierte Funktion f ist dort stetig, wenn für jede gegen [mm] x_0 [/mm] konvergierende Folge die zugehörige Funktionswertefolge ebenfalls konvergent ist und zwar gegen [mm] f(x_0)
[/mm]
oder?
Ich möchte das, was ich verstanden habe, mal anhand eines Beispieles zeigen und würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob das richtig ist.
f(x) = 2x² + x - 1
ich betrachte die Stelle [mm] x_0=2
[/mm]
f(2) = 2*2² + 2 - 1 = 2*4 + 1 = 9
[mm] (x_n) [/mm] sei eine Folge, die gegen 2 konvergiert.
Z.B.
1. [mm] (x_n) [/mm] = [mm] \bruch{(2n+1)}{n}
[/mm]
[mm] f(x_n) [/mm] = [mm] 2*(\bruch{(2n+1)}{n})^2 [/mm] + [mm] \bruch{(2n+1)}{n} [/mm] - 1 = 9 + 9/n + 2/n²
Und nun bilde den Grenzwert der Funktionswertefolge für n -> oo:
lim (9 + 9/n + 2/n²) = 9 + 0 + 0 = 9
Und nun kann man "jede belibige" Folge [mm] (x_n) [/mm] nehmen. Sobald sie nur gegen 2 konvergiert, wird die zugehörige Funktionswertefolge gegen 9 konvergieren.
stimmt das so?
Danke im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> die Definition zur Folgenstetigkeit bereitet mir große
> Schwierigkeiten.
>
> In Worten ausgedrückt bedeutet die Folgenstetigkeit doch:
>
> Eine in [mm]x_0[/mm] definierte Funktion f ist dort stetig, wenn
> für jede gegen [mm]x_0[/mm] konvergierende Folge die zugehörige
> Funktionswertefolge ebenfalls konvergent ist und zwar gegen
> [mm]f(x_0)[/mm]
>
> oder?
Stimmt
>
>
> Ich möchte das, was ich verstanden habe, mal anhand eines
> Beispieles zeigen und würde mich freuen, wenn mir jemand
> sagen kann, ob das richtig ist.
>
> f(x) = 2x² + x - 1
>
>
> ich betrachte die Stelle [mm]x_0=2[/mm]
>
> f(2) = 2*2² + 2 - 1 = 2*4 + 1 = 9
>
> [mm](x_n)[/mm] sei eine Folge, die gegen 2 konvergiert.
>
> Z.B.
> 1. [mm](x_n)[/mm] = [mm]\bruch{(2n+1)}{n}[/mm]
>
> [mm]f(x_n)[/mm] = [mm]2*(\bruch{(2n+1)}{n})^2[/mm] + [mm]\bruch{(2n+1)}{n}[/mm] - 1 =
> 9 + 9/n + 2/n²
>
>
> Und nun bilde den Grenzwert der Funktionswertefolge für n
> -> oo:
> lim (9 + 9/n + 2/n²) = 9 + 0 + 0 = 9
>
>
> Und nun kann man "jede belibige" Folge [mm](x_n)[/mm] nehmen. Sobald
> sie nur gegen 2 konvergiert, wird die zugehörige
> Funktionswertefolge gegen 9 konvergieren.
Beweis: [mm] (x_n) [/mm] konvergiere gegen 2. Dann
[mm] $f(x_n) [/mm] = [mm] 2x_n^2 [/mm] + [mm] x_n [/mm] - 1 [mm] \to [/mm] 2*4+2-1=9$
FRED
>
> stimmt das so?
>
> Danke im voraus
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 09.08.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
sry, aber ich versteh nicht, was du hiermit sagen willst.
>
> Beweis: [mm](x_n)[/mm] konvergiere gegen 2. Dann
>
> [mm]f(x_n) = 2x_n^2 + x_n - 1 \to 2*4+2-1=9[/mm]
>
> FRED
> >
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 09.08.2010 | | Autor: | max3000 |
Du hast ja jetzt eine andere Folge:
[mm] $(f(x_n))_{n\in\IN}$ [/mm]
und da musst du zeigen dass die für alle [mm] (x_n)\in\IN
[/mm]
gegen 9 konvergiert.
Mach das mal mit der Definition.
Für beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] hast du ja ein [mm] n_0\in\IN, [/mm] so dass [mm] |x_n-2|<\epsilon [/mm] für [mm] n>n_0.
[/mm]
Jetzt schätze mal das ab:
[mm] |f(x_n)-9|
[/mm]
so, dass es für alle [mm] n>n_1\in\IN [/mm] dann [mm] <\epsilon [/mm] ist. Das [mm] n_1 [/mm] könnte dann von [mm] n_0 [/mm] abhängen. Aber hauptsache es existiert eins.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Di 10.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> sry, aber ich versteh nicht, was du hiermit sagen willst.
Sorry, wilst Du mich auf den Arm nehmen ?
Ich hab Dir gezeigt: für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen 2 konvergiert, konvergiert die Bildfolge [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen 9 =f(2)
Damit ist f im Punkt [mm] x_0=2 [/mm] stetig
War das nicht Deine Frage ?
Oder hast Du nach dem Paarungsverhalten der Alaska-Wühlmaus gefragt ? Dann schau bitte hier:
http://www.tierdoku.com/index.php?title=Alaska-Wühlmaus
FRED
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> > Beweis: [mm](x_n)[/mm] konvergiere gegen 2. Dann
> >
> > [mm]f(x_n) = 2x_n^2 + x_n - 1 \to 2*4+2-1=9[/mm]
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> > FRED
> > >
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> Lg
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