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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 So 05.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Definiert wird der folgenraum [mm] \zeta^p, [/mm] mit
[mm] ||x||p:=(\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|^p)^\bruch{1}{p}
[/mm]
und 1 [mm] \le [/mm] p < q < [mm] \infty
[/mm]
a) Finden Sie (mit Beweis) eine konstante c>0, so dass [mm] ||x||_q \le c||x||_p [/mm] für alle x [mm] \in \zeta^p [/mm] gilt und folgern sie [mm] \zeta^p \subseteq \zeta^q
[/mm]
b) Zeigen sie [mm] \zeta^p \not= \zeta^q [/mm] |
Ich dachte mir, dass ich vll die dreiecksungleichung benutzen kann.
Also da die folgen beschränkt sind konvergieren sie folglich gengen eine zahl a
Also ich kenne nur die dreiecksungleichung und hab versucht was zu basteln, aber das kann so nicht stimmen:
Ansatzt: ich dachte mir, die folgen konvergieren paarweise gegen ein a, also
[mm] (\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|^p)^\bruch{1}{p}
[/mm]
= [mm] (\summe_{k=1}^{\infty} |x_k-a_k|^p)^\bruch{1}{p}
[/mm]
[mm] \le (\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|+|a_k|^p)^\bruch{1}{p}
[/mm]
Da kann ich ja schon aufhören, weils keinen sinn macht, oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Definiert wird der folgenraum [mm]\zeta^p,[/mm] mit
>
> [mm]||x||p:=(\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|^p)^\bruch{1}{p}[/mm]
>
> und 1 [mm]\le[/mm] p < q < [mm]\infty[/mm]
>
> a) Finden Sie (mit Beweis) eine konstante c>0, so dass
> [mm]||x||_q \le c||x||_p[/mm] für alle x [mm]\in \zeta^p[/mm] gilt und
> folgern sie [mm]\zeta^p \subseteq \zeta^q[/mm]
>
> b) Zeigen sie [mm]\zeta^p \not= \zeta^q[/mm]
> Ich dachte mir, dass
> ich vll die dreiecksungleichung benutzen kann.
>
> Also da die folgen beschränkt sind konvergieren sie
> folglich gengen eine zahl a
Unsinn !
>
> Also ich kenne nur die dreiecksungleichung und hab versucht
> was zu basteln, aber das kann so nicht stimmen:
>
> Ansatzt: ich dachte mir, die folgen konvergieren paarweise
> gegen ein a, also
>
> [mm](\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|^p)^\bruch{1}{p}[/mm]
>
> = [mm](\summe_{k=1}^{\infty} |x_k-a_k|^p)^\bruch{1}{p}[/mm]
Das ist doch Unfug !
>
>
> [mm]\le (\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|+|a_k|^p)^\bruch{1}{p}[/mm]
>
> Da kann ich ja schon aufhören, weils keinen sinn macht,
> oder ?
So ist es. Dir scheint nicht klar zu sein, was [mm] \zeta^p [/mm] eigentlich ist.
Es ist ( mit [mm] K=\IR [/mm] oder K= [mm] \IC):
[/mm]
[mm] \zeta^p=\{(x_k): x_k \in K (k=1,2,...), \summe_{k=1}^{\infty}|x_k|^p <\infty\}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Di 07.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
Ich habe einen neun Ansatz.
Ich bin nun soweit, dass ich
[mm] \summe_{i=1}^{infty} \bruch{|x_i|^q}{|x_i|^p}\le [/mm] c
mit [mm] \bruch{|x_i|^q}{|x_i|^p}\le [/mm] 1.
Nun müsste ich an der stelle weitermachen.
nun müsste [mm] \summe_{i=1}^{infty} \bruch{|x_i|^q}{|x_i|^p} [/mm] für einen folgenraum konvergieren. Ich habe nun aber keine konkrete Reihe gegeben, wie kann ich da weiter ansetzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mi 08.05.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier
Da ist die Äquivalenz der p-Normen beschriebn. Damit solltest Du weiter kommen. Nun musst Du noch eine Folge konstuieren, die in [mm] \zeta_q [/mm] aber nicht in [mm] \zeta_q [/mm] liegt.
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