Folgenkriterium der Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Ernesto |
Salut miteinander , ich habe gerade mit der epsilon - delta definiiton die stetigkeit von
[mm] x^2 [/mm] bewiesen-
Nun muss ich das ganze noch mit dem Folgenkriterium beweisen.
Sei also f : R - > R mit f(x) := [mm] x^2 [/mm]
aber wei zeigt man das hier . ich kenne die Definition, aber anwenden kann ich das nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ernesto!
Wenn du die Stetigkeit mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] gezeigt hast, dann bekommst du die Folgenstetigkeit automatisch mitgeliefert!
Denn du weißt ja bereits:
Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und alle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Jetzt sei [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] eine gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergente Folge. Zu zeigen ist: es gibt ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $|f(x_n) -f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Daraus brauchst du aber nur [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so zu wählen (und das kannst du wegen der Konvergenz von [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$), [/mm] dass
[mm] $|x_n [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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