Folgenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Es seien [mm] \{a_n\} [/mm] und [mm] \{b_n\} [/mm] Folgen mit positiven Gliedern und [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0 [/mm] . Man zeige: [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0 [/mm] . |
Hallo, ich muss bis morgen noch einige Aufgaben lösen, darum meine Frage nach der Richtigkeit meiner Lösung:
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2{a_n}^2}{2a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1}=\frac{0}{1}=0
[/mm]
Ist das wirklich so einfach, oder übersehe ich etwas?
Viele Grüé und vielen Dank
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Hallo Axiom96,
ganz so einfach ist es nicht.
> Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
> und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
> .
> Hallo, ich muss bis morgen noch einige Aufgaben lösen,
> darum meine Frage nach der Richtigkeit meiner Lösung:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2{a_n}^2}{2a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1}=\frac{0}{1}=0[/mm]
>
> Ist das wirklich so einfach, oder übersehe ich etwas?
Es folgt keineswegs, dass man [mm] a_n [/mm] durch [mm] b_n [/mm] ersetzen darf! Über die Folgen selbst ist ja nur bekannt, dass sie Nullfolgen sind, sonst aber nichts, nicht einmal, ob sie monoton sind oder vielleicht alternierend oder...
Leider helfen einem an dieser Stelle auch die Grenzwertsätze nicht weiter und l'Hospital auch nicht (den dürftest Du m.e. noch gar nicht kennen, aber wer weiß).
Hm. Ich lasse die Frage mal halboffen. Die Idee, die ich hatte, als ich auf "antworten" klickte, funktioniert gar nicht.
edit: Das Brett, der Kopf... So gehts:
Es ist ja [mm] \bruch{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\bruch{(a_n+b_n)^2}{a_n+b_n}-\bruch{2a_nb_n}{a_n+b_n}=a_n+b_n-2\bruch{a_nb_n}{a_n+b_n}
[/mm]
Da wir schon wissen, dass [mm] lim_{n\to\infty}a_n+b_n=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n=0+0=0 [/mm] ist, bleibt nur noch zu zeigen, dass auch [mm] lim_{n\to\infty}\bruch{a_nb_n}{a_n+b_n}=0 [/mm] ist.
Jetzt klammert man im Zähler und Nenner [mm] $a_nb_n$ [/mm] aus...
Einziges Problem dieses Ansatzes (leider aber gravierend): das klappt nur, wenn alle [mm] a_n,b_n\not=0 [/mm] sind.
Das wissen wir aber nicht.
Es könnte ja z.B. [mm] a_n=\bruch{1}{n}\sin{\bruch{n\pi}{2}} [/mm] und [mm] b_n=\bruch{2}{n}*(-1)^n*\sin{\bruch{n\pi}{2}} [/mm] sein. Dann hätte man bei allen n=2k ein Problem.
Geht also auch noch nicht ganz auf.
Ende edit.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallio,
> Hallo Axiom96,
>
> ganz so einfach ist es nicht.
>
> > Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
> > und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> > zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
> > .
> > Hallo, ich muss bis morgen noch einige Aufgaben lösen,
> > darum meine Frage nach der Richtigkeit meiner Lösung:
> >
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2{a_n}^2}{2a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1}=\frac{0}{1}=0[/mm]
> >
> > Ist das wirklich so einfach, oder übersehe ich etwas?
>
> Es folgt keineswegs, dass man [mm]a_n[/mm] durch [mm]b_n[/mm] ersetzen darf!
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=\frac{(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^2+(\limes_{n\rightarrow\infty}b_n)^2}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}=\frac{(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^2+(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^2}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2{a_n}^2}{2a_n}
[/mm]
Stutzig bin ich ja auch geworden, sonst hätte ich nicht gefragt. An welcher Stelle genau ist der Denkfehler?
> Über die Folgen selbst ist ja nur bekannt, dass sie
> Nullfolgen sind, sonst aber nichts, nicht einmal, ob sie
> monoton sind oder vielleicht alternierend oder...
Da sie gegen 0 gehen un positiv sind können sie nicht alternieren und müssen monoton sein, oder sehe ich das falsch?
> Leider helfen einem an dieser Stelle auch die
> Grenzwertsätze nicht weiter und l'Hospital auch nicht (den
> dürftest Du m.e. noch gar nicht kennen, aber wer weiß).
Richtig.
> Hm. Ich lasse die Frage mal halboffen. Die Idee, die ich
> hatte, als ich auf "antworten" klickte, funktioniert gar
> nicht.
>
> Grüße
> reverend
>
Gruß
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Hallo nochmal,
> > ganz so einfach ist es nicht.
> >
> > > Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
Ah. Das hatte ich überlesen.
> > > und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> > > zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
> > > .
> > > Hallo, ich muss bis morgen noch einige Aufgaben
> lösen,
> > > darum meine Frage nach der Richtigkeit meiner Lösung:
> > >
> > >
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2{a_n}^2}{2a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1}=\frac{0}{1}=0[/mm]
> > >
> > > Ist das wirklich so einfach, oder übersehe ich etwas?
> >
> > Es folgt keineswegs, dass man [mm]a_n[/mm] durch [mm]b_n[/mm] ersetzen darf!
>
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=\frac{(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^2+(\limes_{n\rightarrow\infty}b_n)^2}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}=\frac{(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^2+(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^2}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2{a_n}^2}{2a_n}[/mm]
>
> Stutzig bin ich ja auch geworden, sonst hätte ich nicht
> gefragt. An welcher Stelle genau ist der Denkfehler?
Das kann nicht stimmen. Du hast hier in den beiden mittleren Teilen ja beide Male [mm] \tfrac{0}{0} [/mm] stehen. Damit kann man nichts zeigen, es ist nicht definiert.
> > Über die Folgen selbst ist ja nur bekannt, dass sie
> > Nullfolgen sind, sonst aber nichts, nicht einmal, ob sie
> > monoton sind oder vielleicht alternierend oder...
> Da sie gegen 0 gehen un positiv sind können sie nicht
> alternieren und müssen monoton sein, oder sehe ich das
> falsch?
> > Leider helfen einem an dieser Stelle auch die
> > Grenzwertsätze nicht weiter und l'Hospital auch nicht (den
> > dürftest Du m.e. noch gar nicht kennen, aber wer weiß).
> Richtig.
> > Hm. Ich lasse die Frage mal halboffen. Die Idee, die ich
> > hatte, als ich auf "antworten" klickte, funktioniert gar
> > nicht.
Mit leduarts Idee komme ich übrigens gerade auch nicht weiter. Vielleicht gehe ich doch erstmal etwas essen...
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 25.08.2012 | | Autor: | reverend |
Lies nochmal die editierte Version meiner ersten Antwort.
Wenn alle Folgenglieder >0 sind, funktioniert der Vorschlag im editierten Teil.
lg
rev
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Sa 25.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du misst ja nur Zeigen, dass es ein N gibt, ab dem die folge [mm] <\epsilon [/mm] ist. nimm N so, dass [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] < [mm] k*\epsilon [/mm] sind
ausserdem an,bn> [mm] \epsilon/2 [/mm] oder [mm] \epsilon/r, [/mm] r>1
Gruss leduart
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Hallo Axiom96,
ich glaube, es ist ganz einfach:
> Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
> und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
Es ist doch [mm]\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\frac{a_n^2}{a_n+b_n}+\frac{b_n^2}{a_n+b_n}\le\frac{a_n^2}{a_n}+\frac{b_n^2}{b_n}[/mm]
denn ich verkleinere beide (nicht-negativen) Nenner, vergrößere also die Brüche
[mm]=a_n+b_n[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom96,
>
> ich glaube, es ist ganz einfach:
>
>
> > Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
> > und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> > zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
>
> Es ist doch
> [mm]\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\frac{a_n^2}{a_n+b_n}+\frac{b_n^2}{a_n+b_n}\le\frac{a_n^2}{a_n}+\frac{b_n^2}{b_n}[/mm]
>
> denn ich verkleinere beide (nicht-negativen) Nenner,
> vergrößere also die Brüche
>
> [mm]=a_n+b_n[/mm] ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Dann habe ich: [mm] $0<\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}\le a_n+b_n$ [/mm] Nach dem Einschließungskriterium gilt deswegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}0=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=0 [/mm] . Habe ich den Gedanken richtig zuende geführt?
Vielen Dank für die Hinweise
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Axiom96,
> >
> > ich glaube, es ist ganz einfach:
> >
> >
> > > Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
> > > und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> > > zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
> >
> > Es ist doch
> >
> [mm]\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\frac{a_n^2}{a_n+b_n}+\frac{b_n^2}{a_n+b_n}\le\frac{a_n^2}{a_n}+\frac{b_n^2}{b_n}[/mm]
> >
> > denn ich verkleinere beide (nicht-negativen) Nenner,
> > vergrößere also die Brüche
> >
> > [mm]=a_n+b_n[/mm] ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Dann habe ich: [mm]0<\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}\le a_n+b_n[/mm]
> Nach dem Einschließungskriterium gilt deswegen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}0=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=0[/mm]
> . Habe ich den Gedanken richtig zuende geführt?
Ja! (Du hast natürlich auch noch ein Rechengesetz verwendet: Die
Summenfolge zweier konvergenter Folgen konvergiert und zwar gegen
die Summe der Grenzwerte. Hier hast Du zwei Nullfolgen, und [mm] $0+0=0\,.$
[/mm]
Also formal könntest Du noch [mm] $\lim (a_n+b_n)=\lim a_n [/mm] + [mm] \lim b_n=0+0=0$
[/mm]
dazuschreiben, wenn Du magst.)
Gruß,
Marcel
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Hallo nochmal,
> > Hallo Axiom96,
> >
> > ich glaube, es ist ganz einfach:
> >
> >
> > > Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
> > > und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> > > zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
> >
> > Es ist doch
> >
> [mm]\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\frac{a_n^2}{a_n+b_n}+\frac{b_n^2}{a_n+b_n}\le\frac{a_n^2}{a_n}+\frac{b_n^2}{b_n}[/mm]
> >
> > denn ich verkleinere beide (nicht-negativen) Nenner,
> > vergrößere also die Brüche
> >
> > [mm]=a_n+b_n[/mm] ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Dann habe ich: [mm]0<\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}\le a_n+b_n[/mm]
> Nach dem Einschließungskriterium gilt deswegen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}0=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=0[/mm]
> . Habe ich den Gedanken richtig zuende geführt? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wahlweise mit dem [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium.
Zu [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es wegen der Konvergenz der Folgen [mm]a_n, b_n[/mm] ja [mm]N_1, N_2[/mm], mit [mm]a_n, b_n<\frac{\varepsilon}{2}[/mm] für [mm] $n\ge N_1$ [/mm] bzw. [mm] $n\ge N_2$
[/mm]
Für [mm]n\ge\max\{N_1,N_2\}[/mm] folgt dann mit der obigen Abschätzung die Beh.
>
> Vielen Dank für die Hinweise
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
> und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
> .
> Hallo, ich muss bis morgen noch einige Aufgaben lösen,
> darum meine Frage nach der Richtigkeit meiner Lösung:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2{a_n}^2}{2a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1}=\frac{0}{1}=0[/mm]
>
> Ist das wirklich so einfach, oder übersehe ich etwas?
>
> Viele Grüé und vielen Dank
ich stelle mal eine "bekloppte" Möglichkeit vor:
[mm] $$(a_n^2+b_n^2)/(a_n+b_n)=(a_n^2-b_n^2)/(a_n+b_n)+2b_n^2/(a_n+b_n)\,.$$
[/mm]
Also kann man ("bekloppterweise") mit der 3en bin. Formel schreiben
[mm] $$\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=a_n-b_n+2\frac{b_n^2}{a_n+b_n}\,.$$
[/mm]
Damit reduziert sich die Aufgabe darauf, nachzuweisen, dass [mm] $b_n^2/(a_n+b_n) \to [/mm] 0$ gilt. Und das kann man genauso tun, wie
Schachuzupus es vorgeschlagen hat!
Deswegen: Eigentlich machen wir das gleiche wie Schachu, aber wir sind
"bekloppt" genug, auch die binomische Formel anzuwenden. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Folgen mit positiven Gliedern
> und [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/mm] . Man
> zeige: [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{a_n+b_n}=0[/mm]
> .
ach, weil's so schön ist:
Auch aus
[mm] $$\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\frac{(a_n+b_n)^2}{a_n+b_n}-2\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}=a_n+b_n-2*\frac{1}{\frac{1}{b_n}+\frac{1}{a_n}}$$
[/mm]
folgt das quasi sofort.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Sa 25.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
das entspricht meinem Vorschlag in meinem ersten Post.
Da hatte ich noch überlesen, dass die Folgenglieder alle positiv sein sollen. Deswegen habe ich später nochmal darauf hingewiesen, dass genau dieser Weg funktioniert:
> [mm]\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\frac{(a_n+b_n)^2}{a_n+b_n}-2\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}=a_n+b_n-2*\frac{1}{\frac{1}{b_n}+\frac{1}{a_n}}[/mm]
Mir scheint es auch noch die eleganteste Lösung, aber das ist ja auch Geschmackssache und von daher nichts, worüber zu streiten es sich lohnt.
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> das entspricht meinem Vorschlag in meinem ersten Post.
> Da hatte ich noch überlesen, dass die Folgenglieder alle
> positiv sein sollen. Deswegen habe ich später nochmal
> darauf hingewiesen, dass genau dieser Weg funktioniert:
>
> >
> [mm]\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}=\frac{(a_n+b_n)^2}{a_n+b_n}-2\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}=a_n+b_n-2*\frac{1}{\frac{1}{b_n}+\frac{1}{a_n}}[/mm]
>
> Mir scheint es auch noch die eleganteste Lösung, aber das
> ist ja auch Geschmackssache und von daher nichts, worüber
> zu streiten es sich lohnt.
okay - ja, jetzt, wo ich mal genauer reingeguckt habe, sehe ich auch, dass
das der von Dir vorgeschlagene Weg ist. Aber ist schon ein wenig bekloppt,
was man hier alles benutzen kann. Der von Dir vorgeschlagene Weg ist
meines Erachtens sehr elegant, aber der von Schachu sieht eigentlich
genauso elegant aus. Mein Weg mit der 3en binomischen Formel ist
eigentlich so ein Mischmasch, daher ein wenig "bekloppt", aber im
Endeffekt führt's wieder auf die gleichen Überlegungen wie bei Schachu.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Sa 25.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> Aber ist schon ein
> wenig bekloppt,
> was man hier alles benutzen kann. Der von Dir
> vorgeschlagene Weg ist
> meines Erachtens sehr elegant, aber der von Schachu sieht
> eigentlich
> genauso elegant aus. Mein Weg mit der 3en binomischen
> Formel ist
> eigentlich so ein Mischmasch, daher ein wenig "bekloppt",
> aber im
> Endeffekt führt's wieder auf die gleichen Überlegungen
> wie bei Schachu.
Stimmt. Viele Wege führen nach Rom, und nur wenn einer viel länger wäre oder z.B. eine Reihe von Fallunterscheidungen benötigte, würde man ihn für weniger elegant halten.
Insofern gibt es da eigentlich keine richtigen Unterschiede. Wie gesagt, Geschmackssache.
Liebe Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > Aber ist schon ein
> > wenig bekloppt,
> > was man hier alles benutzen kann. Der von Dir
> > vorgeschlagene Weg ist
> > meines Erachtens sehr elegant, aber der von Schachu
> sieht
> > eigentlich
> > genauso elegant aus. Mein Weg mit der 3en binomischen
> > Formel ist
> > eigentlich so ein Mischmasch, daher ein wenig "bekloppt",
> > aber im
> > Endeffekt führt's wieder auf die gleichen
> Überlegungen
> > wie bei Schachu.
>
> Stimmt. Viele Wege führen nach Rom, und nur wenn einer
> viel länger wäre oder z.B. eine Reihe von
> Fallunterscheidungen benötigte, würde man ihn für
> weniger elegant halten.
> Insofern gibt es da eigentlich keine richtigen
> Unterschiede. Wie gesagt, Geschmackssache.
in der Tat. Aber momentan überlege ich mir gerade, wie man diese Aussage
noch ganz anders beweisen könnte - vll. kann man auch ganz elegant mit
Funktionen argumentieren. Aber so schwierig ist die Aufgabe ja nicht
unbedingt, dass man das bräuchte. Ich mach's nur "aus Spaß" mal - also
drüber nachdenken. Ob was bei rumkommt, sei mal dahingestellt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Sa 25.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Aber momentan überlege ich mir gerade, wie man
> diese Aussage
> noch ganz anders beweisen könnte - vll. kann man auch
> ganz elegant mit
> Funktionen argumentieren. Aber so schwierig ist die
> Aufgabe ja nicht
> unbedingt, dass man das bräuchte. Ich mach's nur "aus
> Spaß" mal - also
> drüber nachdenken. Ob was bei rumkommt, sei mal
> dahingestellt.
Das habe ich vorhin auch schon kurz überlegt, daher der Hinweis auf l'Hospital. Es ist aber funktionentheoretisch gar nicht so einfach, eine allgemeine Aussage zu finden, die für alle im Positiven verlaufenden Funktionen mit der Asymptote y=0 gelten. Einen eleganten Weg habe ich jedenfalls nicht gesehen. Das heißt aber nichts.
Wenn Du etwas findest, fände ich das bestimmt interessant.
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 So 26.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reverend,
> Hallo nochmal,
>
> > Aber momentan überlege ich mir gerade, wie man
> > diese Aussage
> > noch ganz anders beweisen könnte - vll. kann man auch
> > ganz elegant mit
> > Funktionen argumentieren. Aber so schwierig ist die
> > Aufgabe ja nicht
> > unbedingt, dass man das bräuchte. Ich mach's nur "aus
> > Spaß" mal - also
> > drüber nachdenken. Ob was bei rumkommt, sei mal
> > dahingestellt.
>
> Das habe ich vorhin auch schon kurz überlegt, daher der
> Hinweis auf l'Hospital.
den habe ich nicht gesehen. Aber daran habe ich auch schon gedacht.
Nur:
> Es ist aber funktionentheoretisch
> gar nicht so einfach, eine allgemeine Aussage zu finden,
> die für alle im Positiven verlaufenden Funktionen mit der
> Asymptote y=0 gelten. Einen eleganten Weg habe ich
> jedenfalls nicht gesehen. Das heißt aber nichts.
>
> Wenn Du etwas findest, fände ich das bestimmt
> interessant.
ich frage mich eher folgendes: Man betrachtet anstatt [mm] $(a_n)$ [/mm] Nullfolge
meinetwegen mal [mm] $f(x)\,$ [/mm] mit [mm] $f_{|\IN}(n)=a_n\,,$ [/mm] analoges gelte
zwischen [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] und zudem sollte $f(x) [mm] \to [/mm] 0 [mm] \leftarrow g(x)$
bei $x \to \infty$ gelten.
Das blöde ist doch schon, dass weder $f\,'$ noch $g\,'$ zu existieren brauchen! Daher würde ich mit de l'Hospital nicht weitermachen wollen,
da wird man zu speziell!
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:02 So 26.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> ich frage mich eher folgendes: Man betrachtet anstatt [mm](a_n)[/mm]
> Nullfolge
> meinetwegen mal [mm]f(x)\,[/mm] mit [mm]f_{|\IN}(n)=a_n\,,[/mm] analoges
> gelte
> zwischen [mm]g\,[/mm] und [mm](b_n)[/mm] und zudem sollte [mm]f(x) \to 0 \leftarrow g(x)[/mm]
Schick, mit dem leftarrow.
> bei [mm]x \to \infty[/mm] gelten.
>
> Das blöde ist doch schon, dass weder [mm]f\,'[/mm] noch [mm]g\,'[/mm] zu
> existieren brauchen! Daher würde ich mit de l'Hospital
> nicht weitermachen wollen,
> da wird man zu speziell!
Wenn $f'$ und $g'$ nicht existieren, dann sehe ich nicht mehr, wo der Vorteil eines Ansatzes aus der Funktionalanalysis liegen sollte...
Ich bleibe also gespannt. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 So 26.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > ich frage mich eher folgendes: Man betrachtet anstatt [mm](a_n)[/mm]
> > Nullfolge
> > meinetwegen mal [mm]f(x)\,[/mm] mit [mm]f_{|\IN}(n)=a_n\,,[/mm] analoges
> > gelte
> > zwischen [mm]g\,[/mm] und [mm](b_n)[/mm] und zudem sollte [mm]f(x) \to 0 \leftarrow g(x)[/mm]
>
> Schick, mit dem leftarrow.
>
> > bei [mm]x \to \infty[/mm] gelten.
> >
> > Das blöde ist doch schon, dass weder [mm]f\,'[/mm] noch [mm]g\,'[/mm] zu
> > existieren brauchen! Daher würde ich mit de l'Hospital
> > nicht weitermachen wollen,
> > da wird man zu speziell!
>
> Wenn [mm]f'[/mm] und [mm]g'[/mm] nicht existieren, dann sehe ich nicht mehr,
> wo der Vorteil eines Ansatzes aus der Funktionalanalysis
> liegen sollte...
also in das komplexe Gebiet der Funktionalanalysis will ich doch gar
nicht gehen. Da schießt man dann aber mit mehr als nur einfachen
Kanonen auf Spatzen.
Ich sagte nur, dass man eventuell durch Betrachtung von Funktionen
auch elegant auf das Ergebnis kommen könnte. Beispiel:
Anstatt [mm] $(a_n^2+b_n^2)/(a_n+b_n) \to [/mm] 0$ nachzurechnen, ist es
gleichwertig, nachzuweisen, dass
[mm] $$\exp((a_n^2+b_n^2)/(a_n+b_n) [/mm] ) [mm] \to 1\,.$$
[/mm]
Letzteres ist aber hier nicht trivial. (Jedenfalls nicht, wenn man nicht direkt
[mm] $(a_n^2+b_n^2)/(a_n+b_n) \to [/mm] 0$ benutzen darf oder will!)
Aber vielleicht kann man halt auch andere Funktionen benutzen, oder mehrere
an anderen Stellen, oder irgendwelche, wo man mit einer
geeigneten Abschätzung bzgl. der Funktion gut zurandekommt. Oben weiß
man z.B. ja auch, dass [mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] (die auf [mm] $\IR$ [/mm] definierte) konvex ist.
Solche Überlegungen meinte ich. Diese Aufgabe hier mit Ergebnissen
etwa der Distributionentheorie zu bearbeiten, wäre dann wohl doch
ein klein wenig übertrieben. Da schießt man dann ja mit den neuesten
Laserkanonen auf Spatzen.
Gruß,
Marcel
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