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Hallo zusammen,
ich sitze gerade vor ein paar Folgen, deren Grenzwert ich bestimmen soll bzw. bei denen ich andernfalls begründen soll, warum kein Grenzwert existiert.
Eigentlich bestimm ich dazu ja "einfach" den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] von der Folge. Wenn dieser [mm] \infty [/mm] oder - [mm] \infty [/mm] ist, so existiert kein Grenzwert, da die Folge divergiert.
Die ersten Folgen haben auch noch kein Problem dargestellt, da konnte ich problemlos Grenzwertsätze anwenden.
Nun habe ich allerdings die Folge [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{2^n}
[/mm]
Ich bin nun wie folgt vorgegangen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2^{1/n}}{2^n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (2^{\bruch{1}{n}-n})
[/mm]
Kann ich nun sagen, dass der Exponent für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen - [mm] \infty [/mm] geht und somit die gesamte Folge gegen 0? Oder muss ich anders vorgehen?
Ein weiteres Problem ist die Folge [mm] a_n:= \bruch{a^n}{n!}, a\in \IR
[/mm]
Meine Idee war mit dem Sandwich-Theorem an die Sache ranzugehen, jedoch bekomm ich die Abschätzung nicht wirklich hin.
Meine Vermutung ist, dass die Folge gegen 0 konvergiert...
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist vermutlich schonmal keine falsche Überlegung für eine abschätzung, da das ja eine Nullfolge ist.
[mm] \bruch{a^n}{n!} [/mm] kann ich mir ja auch vorstellen in Pünktchenschreibweise als [mm] \bruch{a*...*a*a*a}{n*...*3*2*1}...
[/mm]
Aber ich bekomms irgendwie nicht hin...
LG Isabelle
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Hallo Isabelle,
> Hallo zusammen,
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> ich sitze gerade vor ein paar Folgen, deren Grenzwert ich
> bestimmen soll bzw. bei denen ich andernfalls begründen
> soll, warum kein Grenzwert existiert.
> Eigentlich bestimm ich dazu ja "einfach" den
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] von der Folge. Wenn dieser
> [mm]\infty[/mm] oder - [mm]\infty[/mm] ist, so existiert kein Grenzwert, da
> die Folge divergiert.
Jo
>
> Die ersten Folgen haben auch noch kein Problem dargestellt,
> da konnte ich problemlos Grenzwertsätze anwenden.
>
> Nun habe ich allerdings die Folge [mm]a_n[/mm] := [mm]\bruch{\wurzel[n]{2}}{2^n}[/mm]
> Ich bin nun wie folgt vorgegangen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2^{1/n}}{2^n})[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (2^{\bruch{1}{n}-n})[/mm]
> Kann ich
> nun sagen, dass der Exponent für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen
> - [mm]\infty[/mm] geht und somit die gesamte Folge gegen 0? Oder
> muss ich anders vorgehen?
Ja, das geht so, alternativ kannst du die Grenzwertsätze nutzen, es gilt [mm]\frac{\sqrt[n]{2}}{2^n} \ \longrightarrow \frac{1}{\infty} \ = \ 0 \ [/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Ein weiteres Problem ist die Folge [mm]a_n:= \bruch{a^n}{n!}, a\in \IR[/mm]
>
> Meine Idee war mit dem Sandwich-Theorem an die Sache
> ranzugehen, jedoch bekomm ich die Abschätzung nicht
> wirklich hin.
> Meine Vermutung ist, dass die Folge gegen 0
> konvergiert... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist vermutlich schonmal keine falsche
> Überlegung für eine abschätzung, da das ja eine
> Nullfolge ist.
> [mm]\bruch{a^n}{n!}[/mm] kann ich mir ja auch vorstellen in
> Pünktchenschreibweise als
> [mm]\bruch{a*...*a*a*a}{n*...*3*2*1}...[/mm]
> Aber ich bekomms irgendwie nicht hin...
Nun, als unteres Sandwichbrötchen kannst du die konstante Folge [mm]0[/mm] nehmen, es ist ja [mm]0\le\left|\frac{a^n}{n!}\right|=\frac{|a|^n}{n!}[/mm]
Für [mm]n![/mm] kannst du dir Abschätzungen überlegen:
Für [mm]n\in\IN, n \ \text{gerade}[/mm] ist
[mm]n!=n(n-1)(n-2)\cdot{}\ldots\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1\ge \frac{n}{2}\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}\ldots\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}1\cdot{}1\cdot{}\ldots\cdot{}1=\left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}[/mm]
Für [mm]n[/mm] ungerade ähnlich.
Damit bekommst du eine obere Brötchenhälfte, die auch gegen 0 konvergiert
Ansonsten kannst du die Fakultät mit der Stirlingformel nähern:
[mm]n!\approx \sqrt{2\pi n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/mm]
Alternativ kannst du - wenn ihr die Exponentialreihe schon hattet - ganz kurz und schmerzllos begründen:
[mm]e^{a}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}[/mm]
Gem. Trivialkriterium ist aufgrund der Konvergenz der Reihe für alle [mm]a\in\IR[/mm] die Folge der Reihenglieder, also [mm]\left(\frac{a^n}{n!}\right)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge
>
> LG Isabelle
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe! Die erste Folge ist mir nun klar. Die Variante mit den GWS gefällt mir noch besser :)
> Ansonsten kannst du die Fakultät mit der Stirlingformel
> nähern:
>
> [mm]n!\approx \sqrt{2\pi n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/mm]
>
>
> Alternativ kannst du - wenn ihr die Exponentialreihe schon
> hattet - ganz kurz und schmerzllos begründen:
>
> [mm]e^{a}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}[/mm]
>
> Gem. Trivialkriterium ist aufgrund der Konvergenz der Reihe
> für alle [mm]a\in\IR[/mm] die Folge der Reihenglieder, also
> [mm]\left(\frac{a^n}{n!}\right)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge
>
Die Exponentialreihe hatten wir leider noch nicht in dieser Vorlesung. Wir haben kaum erst mit Folgen angefangen und haben noch nicht viel an Sätzen oder bereits gezeigten Folgen zur Auswahl...
Ebenso hatten wir auch noch nicht die Stirlingsformel...
> Nun, als unteres Sandwichbrötchen kannst du die konstante
> Folge [mm]0[/mm] nehmen, es ist ja
> [mm]0\le\left{\frac{a^n}{n!}\right|=\frac{|a|^n}{n!}[/mm]
>
> Für [mm]n![/mm] kannst du dir Abschätzungen überlegen:
>
> Für [mm]n\in\IN, n \ \text{gerade}[/mm] ist
>
> [mm]n!=n(n-1)(n-2)\cdot{}\ldots\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1\ge \frac{n}{2}\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}\ldots\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}1\cdot{}1\cdot{}\ldots\cdot{}1=\left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}[/mm]
>
> Für [mm]n[/mm] ungerade ähnlich.
>
> Damit bekommst du eine obere Brötchenhälfte, die auch
> gegen 0 konvergiert
Also werde ich wohl mit dem Sandwich-Theorem arbeiten müssen.
Mal ne ganz blöde Frage, darf ich einfach den Betrag von der Folge nehmen? und diesen betrachten? oder muss ich da noch irgendwas begründen?
Wenn ich jetzt n! für n [mm] \in \IN [/mm] für n ungerade abschätze, hätte ich dann nicht einfach (analog zu n gerade) n! [mm] \le (\bruch{n}{2})^{\bruch{n}{2}}
[/mm]
Für meine gesamte Folge müsste ich dann also wie folgt abschätzen:
0 [mm] \le \bruch{|a|^n}{n!} \le \bruch{1}{(\bruch{n}{2})^{\bruch{n}{2}}
} [/mm] oder ist das falsch?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe! Die erste
> Folge ist mir nun klar. Die Variante mit den GWS gefällt
> mir noch besser :)
>
> > Ansonsten kannst du die Fakultät mit der Stirlingformel
> > nähern:
> >
> > [mm]n!\approx \sqrt{2\pi n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/mm]
>
> >
> >
> > Alternativ kannst du - wenn ihr die Exponentialreihe schon
> > hattet - ganz kurz und schmerzllos begründen:
> >
> > [mm]e^{a}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}[/mm]
> >
> > Gem. Trivialkriterium ist aufgrund der Konvergenz der Reihe
> > für alle [mm]a\in\IR[/mm] die Folge der Reihenglieder, also
> > [mm]\left(\frac{a^n}{n!}\right)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge
> >
> Die Exponentialreihe hatten wir leider noch nicht in dieser
> Vorlesung. Wir haben kaum erst mit Folgen angefangen und
> haben noch nicht viel an Sätzen oder bereits gezeigten
> Folgen zur Auswahl...
> Ebenso hatten wir auch noch nicht die Stirlingsformel...
>
> > Nun, als unteres Sandwichbrötchen kannst du die konstante
> > Folge [mm]0[/mm] nehmen, es ist ja
> > [mm]0\le\left{\frac{a^n}{n!}\right|=\frac{|a|^n}{n!}[/mm]
> >
> > Für [mm]n![/mm] kannst du dir Abschätzungen überlegen:
> >
> > Für [mm]n\in\IN, n \ \text{gerade}[/mm] ist
> >
> > [mm]n!=n(n-1)(n-2)\cdot{}\ldots\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1\ge \frac{n}{2}\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}\ldots\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}1\cdot{}1\cdot{}\ldots\cdot{}1=\left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}[/mm]
>
> >
> > Für [mm]n[/mm] ungerade ähnlich.
> >
> > Damit bekommst du eine obere Brötchenhälfte, die auch
> > gegen 0 konvergiert
>
> Also werde ich wohl mit dem Sandwich-Theorem arbeiten
> müssen.
> Mal ne ganz blöde Frage, darf ich einfach den Betrag von
> der Folge nehmen? und diesen betrachten? oder muss ich da
> noch irgendwas begründen?
Naja, wenn [mm](|a_n|)_{n\in\IN}[/mm] Nullfolge ist, dann doch auch [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt n! für n [mm]\in \IN[/mm] für n ungerade
> abschätze, hätte ich dann nicht einfach (analog zu n
> gerade) n! [mm]\le (\bruch{n}{2})^{\bruch{n}{2}}[/mm]
Nein, zum einen brauchst du [mm]\ge[/mm], zum anderen läuft es wohl auf [mm]n!\ge\left(\frac{n+1}{2}\right)^{\frac{n+1}{2}}[/mm] heraus ...
Schreibs dir für [mm]n=7[/mm] mal hin ...
>
> Für meine gesamte Folge müsste ich dann also wie folgt
> abschätzen:
> 0 [mm]\le \bruch{|a|^n}{n!} \le \bruch{1}{(\bruch{n}{2})^{\bruch{n}{2}} }[/mm]
> oder ist das falsch?
Das [mm]|a|^n[/mm] kannst du wohl nicht gegen 1 abschätzen, wie willst du das machen?
Beachte für n gerade: [mm]\frac{|a|^n}{n!}\le\frac{|a|^n}{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}=\frac{|a|^n}{\left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}\right)^{n}}=\frac{(\sqrt{2}|a|)^n}{\sqrt{n}^n}[/mm]
Was passiert hier für [mm]n\to\infty[/mm] ?
Analog für die andere Teilfolge mit ungeradem n ...
Gruß
schachuzipus
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