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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 26.10.2010 | | Autor: | maka_XY |
| Aufgabe | Wir betrachten die Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] , die für ein beliebiges aber festes [mm] x_1 [/mm] mit [mm] x_1 \ge [/mm] 0 rekursiv durch
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n*(cos(pi*x_n))^2, n\in\IN
[/mm]
definiert ist.
a) Zeigen Sie mit dem Monotoniekriterium, dass die Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiert.
b) Zeigen Sie, dass der Grenzwert dieser Folge eine nichtnegative ganze Zahl ist.
Hinweis. Ohne Beweis dürfen Sie bei der Lösung von b) folgende Aussage benutzen:
Für alle konvergenten reellen Zahlenfolgen [mm] (a_n) [/mm] gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}cos*a_n [/mm] = cos [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Hab bei Aufgabenteil b) Probleme. a) ist soweit kein Problem. Hab bei b) folgenden Ansatz nur komme irgendwie nicht weiter:
Da [mm] x_n [/mm] nach a) konvergiert existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = a.
Für unendlich grosse n gilt aber auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}
[/mm]
Also lässt sich schreiben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n*(cos(pi*x_n))^2 [/mm] = a
Jetzt versuche ich den Kosinus vorzuziehen:
[mm] \gdw cos*\limes_{n\rightarrow\infty}x_n*(pi*x_n))^2 [/mm] = a
Ist das einfach so möglich?
Nun ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = a:
[mm] \gdw cos*a*(pi*a))^2 [/mm] = a
Da hapert es jetzt bzw. weiß ich gar nicht, ob ich das bis dahin so hätte machen können... würde mich sehr über Hilfe freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Di 26.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Wir betrachten die Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] , die für ein
> beliebiges aber festes [mm]x_1[/mm] mit [mm]x_1 \ge[/mm] 0 rekursiv durch
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_n*(cos(pi*x_n))^2, n\in\IN[/mm]
>
> definiert ist.
>
> a) Zeigen Sie mit dem Monotoniekriterium, dass die Folge
> [mm](x_n)[/mm] konvergiert.
>
> b) Zeigen Sie, dass der Grenzwert dieser Folge eine
> nichtnegative ganze Zahl ist.
> Hinweis. Ohne Beweis dürfen Sie bei der Lösung von b)
> folgende Aussage benutzen:
> Für alle konvergenten reellen Zahlenfolgen [mm](a_n)[/mm] gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}cos*a_n[/mm] = cos
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Hab bei Aufgabenteil b) Probleme. a) ist soweit kein
> Problem. Hab bei b) folgenden Ansatz nur komme irgendwie
> nicht weiter:
>
> Da [mm]x_n[/mm] nach a) konvergiert existiert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] = a.
> Für unendlich grosse n gilt aber auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}[/mm]
>
> Also lässt sich schreiben:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n*(cos(pi*x_n))^2[/mm] = a
>
> Jetzt versuche ich den Kosinus vorzuziehen:
>
> [mm]\gdw cos*\limes_{n\rightarrow\infty}x_n*(pi*x_n))^2[/mm] = a
>
> Ist das einfach so möglich?
Um Himmels Willen.
Da kannst einfach ansetzten
[mm]x_{n}[/mm] = [mm] x_n*(cos(pi*x_n))^2.
[/mm]
Daraus folgt [mm] x_n=0 [/mm] oder [mm] (cos(pi*x_n))^2=1
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Nun ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] = a:
>
> [mm]\gdw cos*a*(pi*a))^2[/mm] = a
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> Da hapert es jetzt bzw. weiß ich gar nicht, ob ich das bis
> dahin so hätte machen können... würde mich sehr über
> Hilfe freuen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Di 26.10.2010 | | Autor: | maka_XY |
Danke war mal wieder viel einfach er als gedacht ~_~
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