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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Mi 13.04.2005 | | Autor: | djmatey |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
es geht um die Folge
( [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i} [/mm] )
Konvergiert diese und falls ja, wie lautet der Grenzwert?
Der erste Faktor geht ja gegen 0, die harmonische Reihe aber gegen unendlich.
Ich vermute, dass sie monoton fällt und gegen 0 konvergiert - größer gleich 0 sind die Folgenglieder ja sowieso...
Der Nachweis der Monotonie ist mir allerdings noch nicht so recht geglückt :-(
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Danke im Voraus!
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Hallo djmatey,
[mm]\bruch{1}{n} *\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i} \ge \bruch{1}{n+1} *\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i}[/mm]
[mm](n+1) *\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i} \ge n*(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i} + \bruch{1}{n+1})[/mm]
[mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i} \ge \bruch{n}{n+1})[/mm]
Das gilt da die Summenglieder alle positiv und das erste 1. D.H. monoton fallend.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:17 Mi 13.04.2005 | | Autor: | djmatey |
Ach ja - dass ich darauf nicht gekommen bin...
vielen Dank erstmal, fehlt nur noch der Grenzwert 
Die Abschätzung gegen [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{ {i}^{2}} [/mm] hatte ich auch schon - bringt leider nicht viel, da letztere Summe gegen
[mm] \bruch{ {\pi}^{2}}{6} [/mm] konvergiert, also ca. 1,5.
Die Folgenglieder liegen dagegen aber alle zwischen 0 und 1 wegen der Antitonie.
Danke nochmal!
Grtz djmatey
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Hallo djmatey,
Eine Abschätzung bringt doch und zwar folgende:
[mm] 0 \le \bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i} \le \bruch{1}{\wurzel{n}}*\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^\bruch{3}{2}} [/mm]
Links und rechts stehen konvergente Nullfolgen.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Mi 13.04.2005 | | Autor: | djmatey |
Supi, das klappt!
Vielen Dank für die gute Idee!
Grtz djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Mi 13.04.2005 | | Autor: | djmatey |
Die folgende Abschätzung sollte übrigens schon ausreichen:
[mm] \bruch{1}{n} \* \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i} [/mm] <= [mm] \bruch{1}{n} \* \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{ {i}^{ \bruch{3}{2}}} [/mm] <= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n}} \* \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{ {i}^{ \bruch{3}{2}}}
[/mm]
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Hallo djmatey,
> Die folgende Abschätzung sollte übrigens schon ausreichen:
>
> [mm]\bruch{1}{n} \* \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i}[/mm] <=
> [mm]\bruch{1}{n} \* \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{ {i}^{ \bruch{3}{2}}}[/mm]
> <= [mm]\bruch{1}{ \wurzel{n}} \* \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{ {i}^{ \bruch{3}{2}}}[/mm]
>
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Dann wäre ja.
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i}[/mm] [mm] \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{{i}^{\bruch{3}{2}}}[/mm] [/mm]
Das ist wohl nicht richtig. Außerdem brauchst Du die Einschließung also 2 Folgen die eine kleiner die andere größer beide gg 0 konvergent.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mi 13.04.2005 | | Autor: | djmatey |
Ups, da hab' ich noch einen kleinen, aber gravierenden Fehler in meiner Rechnung gefunden - hast Recht, sorry!
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