Folgengrenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Fr 26.11.2010 | | Autor: | maka_XY |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{3}{n})^{n^2} [/mm] |
Bestimmt ganz einfach nur komme grad nicht drauf. Eingeben ergibt, dass 0 rauskommt.
Es ist ja
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{3}{n})^{n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((1-\bruch{3}{n})^n)^n
[/mm]
nur das bringt mich auch nicht weiter... sry war ein langer tag heute -.- danke schonma für die antworten...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo maka_XY, ein spätes ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
na, dann schaun wir mal.
> Bestimmen Sie den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{3}{n})^{n^2}[/mm]
>
> Bestimmt ganz einfach nur komme grad nicht drauf. Eingeben
> ergibt, dass 0 rauskommt.
Soso.
> Es ist ja
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{3}{n})^{n^2}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((1-\bruch{3}{n})^n)^n[/mm]
>
> nur das bringt mich auch nicht weiter... sry war ein langer
> tag heute -.- danke schonma für die antworten...
Versuch mal dies:
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((1-\bruch{3}{n})^n)^n=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{3}{n})^n\right)^n [/mm] $
Ach ja, und Du müsstest noch herausfinden, warum das so ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Sa 27.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo maka_XY, ein spätes
>
> na, dann schaun wir mal.
>
> > Bestimmen Sie den Grenzwert:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{3}{n})^{n^2}[/mm]
> >
> > Bestimmt ganz einfach nur komme grad nicht drauf. Eingeben
> > ergibt, dass 0 rauskommt.
>
> Soso.
>
> > Es ist ja
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{3}{n})^{n^2}[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((1-\bruch{3}{n})^n)^n[/mm]
> >
> > nur das bringt mich auch nicht weiter... sry war ein langer
> > tag heute -.- danke schonma für die antworten...
>
> Versuch mal dies:
>
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((1-\bruch{3}{n})^n)^n=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{3}{n})^n\right)^n[/mm]
>
> Ach ja, und Du müsstest noch herausfinden, warum das so
> ist.
Ja, und das zu zeigen ist schwieriger, als die eigentliche Aufgabe.....
FRED
>
> Grüße
> reverend
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Sa 27.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] a_n:=(1-\bruch{3}{n})^{n^2}
[/mm]
Dann gilt doch: [mm] \wurzel[n]{a_n} \to 1/e^3
[/mm]
Somit gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] \wurzel[n]{a_n} \le2/e^3 [/mm] für n>m.
Fazit:
0 [mm] \le a_n \le (2/e^3)^n [/mm] für n>m.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 27.11.2010 | | Autor: | sanane |
wie kommt man denn auf [mm] 1/e^3 [/mm] ... ? ..das ist mir nicht schlüssig.. kannst du aufschreiben was du da eingesetzt hast :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wie kommt man denn auf [mm]1/e^3[/mm] ... ? ..das ist mir nicht
> schlüssig.. kannst du aufschreiben was du da eingesetzt
> hast :/
Eine der bekannten Definitionen der e-Funktion:
[mm]\lim_{n\to\infty}\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n =e^x[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 27.11.2010 | | Autor: | sanane |
aber in der aufgabe steht ein ² ... und die definition lautet ja wie du aufgeschrieben hast:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] (x/n))^n= e^x [/mm] ... kann man ² einfach ignorieren quasi ? :/ ...
und wie kommt er auf $ [mm] \le a_n \le (2/e^3)^n [/mm] $ ?? .. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> aber in der aufgabe steht ein ² ... und die definition
> lautet ja wie du aufgeschrieben hast:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm](x/n))^n= e^x[/mm] ... kann man
> ² einfach ignorieren quasi ? :/ ...
>
Nein!
Das hat Fred nicht geschrieben. Er hat geschrieben, dass
[mm] \wurzel[n]{\left(1-\bruch{3}{n}\right)^{n^2}} = \left(1-\bruch{3}{n}\right)^{n} \mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty} = \bruch{1}{e^3} [/mm] .
> und wie kommt er auf [mm]\le a_n \le (2/e^3)^n[/mm] ?? .. :/
Definition der Konvergenz: da
[mm] \limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{3}{n}\right)^{n} = \bruch{1}{e^3} [/mm]
ist, gibt es ein m>0, sodass
[mm] \left|\left(1-\bruch{3}{n}\right)^{n} - \bruch{1}{e^3}\left| < \bruch{1}{e^3} [/mm]
für alle $n>m$.
Auflösen des Betrags ergibt seine Ungleichung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 27.11.2010 | | Autor: | sanane |
aber [mm] (2/e^3)^n [/mm] ist nicht der grenzwert, oder `? :O
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Hallo,
> aber [mm](2/e^3)^n[/mm] ist nicht der grenzwert, oder '? :O
Nein, schon weil da noch das n drinsteht. Aber damit solltest Du ihn finden. Du weißt natürlich, dass [mm] 2
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 27.11.2010 | | Autor: | sanane |
wäre 0 als grenzwert richitg`?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 27.11.2010 | | Autor: | sanane |
ne eigentlich nicht...
ich habe für n große werte eingesetzt .. und es kam immer Null raus :S ...
wenn das falsch ist, dann habe ich es wohl immer noch nicht verstanden :/
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Hallo nochmal,
es ist nicht falsch. Null ist der korrekte Grenzwert.
Wenn Du ihn aber "nur" mit dem Taschenrechner gefunden hast, weißt Du ja nicht, ob z.B. ab [mm] n=2^{75} [/mm] die Werte wieder ansteigen, oder ob sich vielleicht der Wert bei [mm] e^{-337} [/mm] einpendelt und das dann auch der Grenzwert ist. Das würde Dein Taschenrechner aus Genauigkeitsgründen nicht mehr anzeigen können.
Also, wie kannst Du zeigen, dass die Folge gegen 0 läuft?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 27.11.2010 | | Autor: | sanane |
hmmm das stimmt wohl -.-
dann müsste ich über dein tipp gehen...
2 < [mm] e^3 [/mm] ... da ja division vorliegt wird die zahl beliebig klein ... und n im exponenten vergrößert sie vllt geringfügig...
keine ahnung wie ich das anders erklären soll .. tu mir leid :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 So 28.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
0 $ [mm] \le a_n \le (2/e^3)^n [/mm] $ für n>m.
Die folge konstant =0, also die linke Folge ist doch eine Nullfolge, klar ?
Die rechte Folge [mm] (2/e^3)^n [/mm] ist ebenfalls eine Nullfolge.
Was bleibt dann nur für [mm] a_n [/mm] ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 So 28.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> 0 [mm]\le a_n \le (2/e^3)^n[/mm] für n>m.
>
> Die folge konstant =0, also die linke Folge ist doch eine
> Nullfolge, klar ?
>
> Die rechte Folge [mm](2/e^3)^n[/mm] ist ebenfalls eine Nullfolge.
>
> Was bleibt dann nur für [mm]a_n[/mm] ?
Hmmm. Vielleicht eine Doppelnullfolge?
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
> Hmmm. Vielleicht eine Doppelnullfolge?
Eine James-Bond-Folge? 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 So 28.11.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> > Hmmm. Vielleicht eine Doppelnullfolge?
>
> Eine James-Bond-Folge?
Nein ! Eine WC-Nullfoge
FRED
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