Folgendarst. Wurzel 2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] n_{0} [/mm] = 1; [mm] m_{0}=1;
[/mm]
Man definiere rekursiv die Folgen
[mm] m_{k+1} [/mm] = [mm] m_{k} [/mm] + [mm] 2n_{k}
[/mm]
[mm] n_{k+1} [/mm] = [mm] m_{k} [/mm] + [mm] n_{k};
[/mm]
Man zeige, dass die Folge der Brüche [mm] {\bruch(m_{k})(n_{k})} [/mm] gegen [mm] \Wurzel[2]{2} [/mm] konvergiert.
Wie schnell konvergiert dass Verfahren? |
Hallo,
hab schon recht lang an diesem Beispiel herumgeknobelt, und komme nicht wirklich auf einen guten Ansatz.
Eine Idee wäre, vielleicht eine explizite Darstellung der Folgen zu finden, und dann zu zeigen, dass dass [mm] {\bruch(m_{k})(n_{k})}^2 [/mm] gegen 2 konvergiert.
Die Folge [mm] m_{k} [/mm] liesse sich auch als [mm] m_{k+1} [/mm] = [mm] 2m_{k} [/mm] + [mm] m_{k-1} [/mm] beschreiben, daher dann auch die Idee mit expliziten Darstellung.
Hat jemand einen Tipp? Danke!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren forum gestellt.
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Fehlerhafte Angabe, hab mich beim Eintippen vertan, korrekt sollte in der Angabe stehen:
Man zeige, dass die folge der Brüche ( [mm] \bruch{m_{k}}{n_{k}}) [/mm] gegen [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] konvergiert.
Und weiter unten meinte ich, dass man äquivalent zeigen könnte, dass
( [mm] \bruch{m_{k}}{n_{k}})^2 [/mm] gegen 2 konvergiert
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Hallo,
bei dieser Art von Aufgabe fällt mir nur ein Trick ein:
Wenn du gezeigt hast (über Induktion z.B.), dass die Folgen monoton UND beschränkt sind, dann weißt du automatisch, dass sie konvergieren.
Und damit kannst du einen schönen Trick nutzen:
WENN sie konvergiert, dann geht sowohl [mm] m_{k+1} [/mm] als auch [mm] m_k [/mm] aul auch jede andere Folge mit Gliedern von [mm] m_x [/mm] gegen einen festen Grenzwert, sagen wir m, und alle Folgen mit [mm] n_x [/mm] gegen n gehen, (d.h. m=m+2n (z.B.)).
Weiterhin kannst du auch in der Vorschrift z.B. das [mm] 2n_k [/mm] durch [mm] 2m_{k-1}+n_{k-1} [/mm] ersetzten und das wieder und wieder.
Am Ende komme ich da auf [mm] m_{k+1}=m_{k}+2m_{k-1}+...+1 [/mm] (Muss aber nicht stimmen^^)
Einen genauen Lösungsweg hab ich nocht nicht, aber ich denke mit den beiden Tricks kommst du zum Ziel!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Di 21.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Trick funktioniert nicht so einfach, denn [mm] m_k [/mm] und [mm] n_k [/mm] konvergieren ja nicht einzeln.
der Bruch konvergiert zwar sehr schnell, aber nicht monoton.
Deshalb muss man sich wohl was besseres einfallen lassen.
Gruss leduart
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Also ich denke ich weiss nun, wie es geht, bin aber gerade nicht geschickt genug, den Spass tatsächlich auszurechnen:
Man löst ganz einfach die Rekursion der [mm] m_{k} [/mm] - folge mithilfe einer passenden Generating Function (wie man es a.d. diskreten Mathematik kennt), muss dann eine einfache (für mich unüberwindbare :)) Partialbruchzerlegung lösen.
Ähnliches sollte auch für die Nennerfolge machen lassen, und dann lässt sich sicher einiges kürzen (vermute ich).
mfg,
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