Folgen vs. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mi 01.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Diesmal keine spezielle Aufgabe, sondern eine allgemeine Frage. Angenommen, man habe eine Folge gegeben und müsste Konvergenz beweisen. Könnte man dann auch mit Kriterien von Reihen arbeiten? z.B. mit dem Majorantenkriterium?
Und dann weiß ich nicht genau, was eigentlich der Unterschied zwischen Reihen und Folgen sein soll. Wär ja gut, wenn man das weiß. Danke schonmal.
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Huhu,
> Diesmal keine spezielle Aufgabe, sondern eine allgemeine
> Frage. Angenommen, man habe eine Folge gegeben und müsste
> Konvergenz beweisen. Könnte man dann auch mit Kriterien
> von Reihen arbeiten? z.B. mit dem Majorantenkriterium?
Andersrum wird nen Schuh draus.
Das Majorantenkriterium für Reihen ist die Anwendung des Majorantenkriteriums für Folgen!
> Und dann weiß ich nicht genau, was eigentlich der
> Unterschied zwischen Reihen und Folgen sein soll. Wär ja
> gut, wenn man das weiß. Danke schonmal.
Hat man an deiner Frage gemerkt 
Also: Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge, nun kann ich mir mithilfe von [mm] a_n [/mm] eine neue Folge definieren, nämlich
[mm] $s_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n a_k$
[/mm]
D.h. ich addiere einfach die ersten n Folgenglieder auf.
Man kann die Folge auch rekursiv definieren:
[mm] $s_0 [/mm] = [mm] a_0, s_n [/mm] = [mm] s_{n-1} [/mm] + [mm] a_n$
[/mm]
Das definiert die gleiche Folge.
[mm] s_n [/mm] ist ja nun eine Folge, die kann konvergieren oder divergieren.
Man definiert nun die Reihe:
[mm] $\summe_{k=1}^\infty a_k [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} s_n$
[/mm]
und sagt, die Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert rechts existiert und divergiert, wenn er nicht existiert.
Man erkennt nun leicht, dass aus dem Majorantenkriterium für die Folge [mm] s_n [/mm] sofort das Majorantenkriterium für Reihen folgt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ah verstehe. Aber man kann z.B. das Majorantenkriterium somit auch auf Folgen anwenden. Wenn man jetzt einfach nur eine Folge gegeben hätte, müsste da ja dann auch gehn?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah verstehe. Aber man kann z.B. das Majorantenkriterium
> somit auch auf Folgen anwenden. Wenn man jetzt einfach nur
> eine Folge gegeben hätte, müsste da ja dann auch gehn?
natürlich geht das, aber man macht es selten.
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine gegebene Folge, so mußt Du eine weitere Folge [mm] (b_n) [/mm] finden mit:
[mm] a_n=\summe_{i=1}^{n}b_i
[/mm]
Jetzt kannst Du das Majorantenkriterium auf die Reihe [mm] \sum b_n [/mm] loslassen
Aber wie gesagt, das ist sehr unüblich und meistens auch nicht zweckmäßig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich geb mal ein Beispiel ok. Da Hab ich dieses Kriterium angewandt und auch was Gutes raus.
Gegeben war die Folge [mm] \bruch{sin(n)}{n(n+1)}
[/mm]
Eine konvergente Majorante wäre ja [mm] \bruch{1}{n(n+1)}, [/mm] da sin(n) [mm] \le [/mm] 1
Ist das hier sinnvoll bzw. darf ich da so anwenden?
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Huhu,
> Gegeben war die Folge [mm]\bruch{sin(n)}{n(n+1)}[/mm]
>
> Eine konvergente Majorante wäre ja [mm]\bruch{1}{n(n+1)},[/mm] da
> sin(n) [mm]\le[/mm] 1
> Ist das hier sinnvoll bzw. darf ich da so anwenden?
ja, bisher stimmt alles. Aber du hast noch nicht die Konvergenz der Folge gezeigt.
Du hast sie ja nach oben abgeschätzt, aber noch nicht nach unten.
Verwende entweder [mm] $-1\le \sin n\le [/mm] 1$ um die Folge einzuschachteln, oder betrachte [mm] \left|\bruch{sin(n)}{n(n+1)}\right| [/mm] (was aber letztlich das gleiche ist)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, verstehe, was du machst, aber warum muss man das machen?
Wenn ich doch zeigen könnte, dass meine Majorante konvergiert (hab ich durch Partialbruchzerlegung gezeigt), muss dann nicht auch die Folge konvergieren?
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Hallo SolRakt,
Deine Folge oszilliert doch um die x-Achse. Es gibt positive und negative Folgenglieder, deren Betrag immer kleiner wird. Du hast aber bisher nur gezeigt, dass die positiven Folgenglieder immer kleiner werden und gegen Null laufen.
Das gleiche musst Du noch für die negativen Folgenglieder tun, z.B. so wie Gonozal vorschlägt.
Letztlich brauchst Du also auch noch eine Minorante für Deine Folge.
Diese gleichzeitige Anwendung von Majoranten- und Minorantenkriterium nennt man "Einschließungskriterium" oder "Sandwich-Lemma".
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so, verstehe. Ist aber grundsätzlich dann fast das gleiche. Ich mein, von den Schritten kann ich da genauso vorgehn.
Bei Reihen bräuchte ich aber zum vergleich nur eine konvergente Majorante finden oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Do 02.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
> Bei Reihen bräuchte ich aber zum vergleich nur eine
> konvergente Majorante finden oder?
Ja.
Gruß
Loddar
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