Folgen von einfach. Funktionen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 20.11.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Gesucht ist jeweils eine Folge von einfachen Funktionen [mm] f_{n}:\IR\to\IR, [/mm] die die genannten Eigenschaften erfüllt.
a) [mm] f_{n} [/mm] konvergiert dem Maß [mm] \lambda [/mm] nach gegen ein [mm] f:\IR\to\overline{\IR}, [/mm] jedoch existiert ein A mit [mm] \lambda(A)>0 [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)\not=f(x) \forall x\in [/mm] A
b) [mm] f_{n} [/mm] konvergiert [mm] \lambda-fast [/mm] überall gegen ein [mm] f:\IR\to\overline{\IR} [/mm] allerdings konvergiert [mm] f_{n} [/mm] nicht dem Maß [mm] \lambda [/mm] nach gegen f |
Hallo!
Also ich hab irgendwie Schwierigkeiten geeignete Funktionenfolgen zu finden. Hab die Sache mit der Konvergenz im Maßsinne auch noch nicht so ganz verstanden...
Ich nehm mir einfach mal eine Funktionenfolge:
[mm] f_{n}(x):=\bruch{1}{n} [/mm]
die konvergiert ja gegen 0, kann man jetzt eine Funktion f definieren, die meinetwegen auf [0,1] nicht 0 ist, aber dennoch [mm] f_{n} [/mm] im Maßsinne dagegen konvergiert?
Das heißt ja, dass für alle [mm] \varepsilon>0
[/mm]
[mm] \lambda(\{x\in\IR||f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon\})\to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty
[/mm]
Was ist mit f(x)=1 für [mm] x\in\IQ [/mm] und f(x)=0 sonst? Dann konvergiert [mm] f_{n} [/mm] auf jeden fall [mm] \lambda-fast [/mm] überall gegen f. Aber wie ist das dann mit Konvergenz im Maßsinne?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $\frac1n$ [/mm] ist kein schlechtes Stichwort; die einfachste Methode funktioniert so:
Wir betrachten [mm] $f_n:\ [0,1]\to \IR$.
[/mm]
Jedes [mm] $f_n$ [/mm] ist eine Indikatorfunktion auf einem Teilintervall von $[0,1]$
Du fängst mit dem Intervall von 0 bis 1/2 an, die nächste ist dann ein 1/3 breites Intervall rechts daneben (also von 1/2 bis 5/6), dann setzt Du da rechts daneben ein 1/4 breites Intervall hin. Das steht rechts über, also schneiden wir bei 1 ab, und setzen den Rest wieder bei 0 an. Dann daneben ein 1/5 breites Intervall, etc.
Für kein [mm] $x\in [/mm] [0,1]$ konvergiert [mm] $f_n(x)$ [/mm] gegen f(x)=0, aber das Maß schon.
Für die b)
Wenn Du ein endliches Maß hast, also [mm] $\mu(\IR)=K<\infty$, [/mm] dann folgt aus Konvergenz fast überall auch Konvergenz dem Maße nach. Also nutz aus, daß Du Zeug in Richtung Unendlichkeit abschieben kannst.
>Was ist mit f(x)=1 für $ [mm] x\in\IQ [/mm] $ und f(x)=0 sonst?
Wie sieht dann [mm] $\{x\in\IR||f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon\}$ [/mm] aus?
ciao
Stefan
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