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| Aufgabe | Für welche x [mm] \varepsilon [/mm] R gilt:
[mm] \bruch{3x+1}{x-2} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*x^{n}
[/mm]
Geben Sie das Bildungsgesetz für die [mm] a_{n} [/mm] , n ∈ [mm] N_{0}, [/mm] an.
Mein Lösungsansatz: [mm] \bruch{x(3+ \bruch{1}{x})}{x(1-\bruch{2}{x})}
[/mm]
wenn x gegen unendlich geht würde [mm] \bruch{3}{1} [/mm] übrig bleiben. |
Guten Tag zusammen,
wie bekomme ich das x heraus und wie ist das mit dem Bildungsgesetz zu verstehen?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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Hallo,
> Für welche x [mm]\varepsilon[/mm] R gilt:
> [mm]\bruch{3x+1}{x-2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*x^{n}[/mm]
>
> Geben Sie das Bildungsgesetz für die [mm]a_{n}[/mm] , n ∈ [mm]N_{0},[/mm]
> an.
>
> Mein Lösungsansatz: [mm]\bruch{x(3+ \bruch{1}{x})}{x(1-\bruch{2}{x})}[/mm]
>
> wenn x gegen unendlich geht würde [mm]\bruch{3}{1}[/mm] übrig
> bleiben.
> Guten Tag zusammen,
>
> wie bekomme ich das x heraus und wie ist das mit dem
> Bildungsgesetz zu verstehen?
Diese Aufgabe hast du gründlich missverstanden. Machen wir es mal so: ich sage dir, wie es gemeint ist. Wenn du das nachvollziehen kannst ist es gut, wenn nicht (wovon wohl auszugehen ist?) dann musst du auf jeden Fall erst einmal die Grundlagen der Potenzreihen, also der sog. Taylor-Reihen, durcharbeiten. Hast du geeignete Unterlagen?
Also. Du sollst:
- die gegebene Funktion um den Entwicklungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] in eine Potenzreihe entwickeln.
- den Konvergenzradius dieser Potenzreihe bestimmen.
Ich schlage vor, dass du in deiner sicherlich anstehenden Rückfrage noch ganz genau erläuterst, was bei dir in Sachen Analysis 1-Wissen der Stand der Dinge ist. Sonst wird es hier schwierig, zielführend zu helfen.
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | Neuer Lösungsansatz: also [mm] x_{0} [/mm] = 0
[mm] \bruch{3x+1}{x-2} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}\cdot{}x^{n}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^n}{(-2)^{n+1}} [/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{(-2)^{n+1}}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{(-2)^{n+2}}
[/mm]
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{n+2}}{2^{n+1}}
[/mm]
=2 |
Guten Tag Diophant,
also mein wissen hinsichtlich der Taylor-Reihen ist eher dürftig.
Ist dieser Lösungsansatz sinnvoller?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo,
> Neuer Lösungsansatz: also [mm]x_{0}[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{3x+1}{x-2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}\cdot{}x^{n}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^n}{(-2)^{n+1}}[/mm]
>
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^n}{(-2)^{n+1}}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{(-2)^{n+2}}[/mm]
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{n+2}}{2^{n+1}}[/mm]
>
> =2
> Guten Tag Diophant,
>
> also mein wissen hinsichtlich der Taylor-Reihen ist eher
> dürftig.
>
> Ist dieser Lösungsansatz sinnvoller?
Das sieht schonmal viel besser aus!
Deine Reihe stimmt noch nicht ganz. Wie hast du die denn bestimmt (Lösungsweg fehlt...)? Du scheinst den Zähler des Bruches nicht beachtet zu haben.
Ich komme auf:
[mm] $\frac{3x+1}{x-2} [/mm] = [mm] \frac{3*(x-2)+7}{x-2} [/mm] = 3 + [mm] \frac{7}{x-2} [/mm] = 3 - [mm] \frac{7}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}} [/mm] = 3 - [mm] \frac{7}{2}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n$.
[/mm]
Wie lautet also [mm] $a_n$ [/mm] wirklich?
Deine Rechnung für den Konvergenzradius stimmt (ausgehend von deiner nicht ganz richtigen Reihe), und die Rechnung sieht auch für die richtige Reihe fast genauso aus.
Viele Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}\cdot{}x^{n}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] 3-\bruch{7}{2}\summe_{n=0}^{\infty} {(\bruch{x}{2})}^n
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] |
Guten Abend steppenhahn,
stimmt der Wert für [mm] a_{n}?
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}\cdot{}x^{n}[/mm]
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]3-\bruch{7}{2}\summe_{n=0}^{\infty} {(\bruch{x}{2})}^n[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> Guten Abend steppenhahn,
>
> stimmt der Wert für [mm]a_{n}?[/mm]
>
Für n=0 stimmt der Wert.
Alle anderen Werte stimmen nicht.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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Guten Abend Mathe Power,
aus deiner Antwort schlussfolgere ich das [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] nicht des Rätsels Lösung ist... Und bitte dich wiederrum mir evtl einen Tipp zu geben....
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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Hallo,
wir hatten oben:
[mm] \frac{3x+1}{x-2} = 3 - \frac{7}{2}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n [/mm].
Wir wollen:
[mm]\frac{3x+1}{x-2} = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}[/mm].
Du musst also die beiden Ausdrücke (die beiden unendlichen Summen) auf der rechten Seite vergleichen!
Dazu formen wir als erstes die obere Formel noch etwas mehr um, sodass sie wie die untere aussieht:
[mm]3 - \frac{7}{2}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n = (3-\frac{7}{2}) + \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{7}{2}\right)\cdot \frac{1}{2^{n}} *x^{n}[/mm]
Kannst du nun die [mm] $a_n$ [/mm] ablesen?
Es gibt den Spezialfall $n=0$ zu beachten! Dein Endergebnis sollte also so aussehen:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \begin{cases}
..., & n = 0\\
..., & n \ge 1
\end{cases}
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | Erneuter Versuch:
[mm] \begin{cases}-\bruch{1}{2} , & n = 0\\ 3, & n \ge 1 \end{cases}
[/mm]
[mm] a_{n}= -\bruch{7}{4} [/mm] oder [mm] -\bruch{7}{2} [/mm] |
Guten Abend Stefan,
schon mal vielen Dank für deine ganze mühe mit mir.
Liege ich jetzt evtl richtig?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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Hallo,
> Erneuter Versuch:
>
> [mm]\begin{cases}-\bruch{1}{2} , & n = 0\\
3, & n \ge 1 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]a_{n}= -\bruch{7}{4}[/mm] oder [mm]-\bruch{7}{2}[/mm]
Was meinst du damit?
> Liege ich jetzt evtl richtig?
Nein, leider nicht.
Der Fall [mm]n = 0[/mm] stimmt, aber für [mm]n\ge 1[/mm] ist es falsch.
[mm]\frac{3x+1}{x-2} = 3 - \frac{7}{2}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n = \red{(3-\frac{7}{2})} + \sum_{n=1}^{\infty}\blue{\left(-\frac{7}{2}\right)\cdot \frac{1}{2^{n}}} \cdot{}x^{n} \overset{!}{=} \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n} = \red{a_0} + \sum_{n=1}^{\infty}\blue{a_n} x^{n}[/mm]
ich hätte also gern gesehen:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \begin{cases}
-\frac{1}{2}, & n = 0\\
\left(-\frac{7}{2}\right)\cdot \frac{1}{2^{n}}, & n \ge 1
\end{cases}.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | | Aber um r zu berechnen nehme ich für [mm] a_{n} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ? |
Die r Berechnung hatte ja gepasst oder ?
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Hallo,
> Aber um r zu berechnen nehme ich für [mm]a_{n}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> ?
> Die r Berechnung hatte ja gepasst oder ?
Deine [mm] $a_n$ [/mm] waren da nicht ganz richtig, aber das Prinzip war OK.
Du hattest oben auch nicht [mm] $a_n [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}$ [/mm] benutzt!
Am besten du berechnest einfach nochmal
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] = ...$
und schaust, wogegen das konvergiert, wenn du
[mm] a_n [/mm] = [mm] \begin{cases} -\frac{1}{2}, & n = 0\\ \left(-\frac{7}{2}\right)\cdot \frac{1}{2^{n}}, & n \ge 1 \end{cases}
[/mm]
benutzt.
Beachte, dass du nur die Formel für [mm] $n\ge [/mm] 1$ benutzen musst, weil dich ja am Ende der Grenzübergang $n [mm] \to \infty$ [/mm] interessiert.
Viele Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | Berechnung von r:
[mm] A_{n} [/mm] = [mm] -\bruch{7}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1^n}{2^{n+1}} [/mm]
[mm] A_{n+1} [/mm] = [mm] -\bruch{7}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1^{n+1}}{2^{n+2}} [/mm] |
Guten morgen,
Bevor ich r komplett berechne stimmt das bis hier her ?
Mit freundlichen grüßen
J.dean
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 So 17.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnung von r:
>
> [mm]A_{n}[/mm] = [mm]-\bruch{7}{2}[/mm] * [mm]\bruch{1^n}{2^{n+1}}[/mm]
>
>
> [mm]A_{n+1}[/mm] = [mm]-\bruch{7}{2}[/mm] * [mm]\bruch{1^{n+1}}{2^{n+2}}[/mm]
> Guten morgen,
>
> Bevor ich r komplett berechne stimmt das bis hier her ?
Nein. Für n [mm] \ge [/mm] 1 ist
[mm]a_{n}=-\bruch{7}{2}*\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
Damit ist
[mm]a_{n+1}=-\bruch{7}{2}*\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
FRED
>
>
> Mit freundlichen grüßen
>
> J.dean
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 So 17.03.2013 | | Autor: | JamesDean |
Vielen dank Fred.
Mit freundlichen grüßen
J.dean
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| Aufgabe | Nur um sicher zu gehen:
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}
[/mm]
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-7*4^{n+1}}{-7*4^n}
[/mm]
r = 4 |
Guten Tag,
nur um auf nummer sich zu gehen. Jetzt müsste der Wert für [r] stimmen oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 17.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Nur um sicher zu gehen:
>
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}[/mm]
>
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-7*4^{n+1}}{-7*4^n}[/mm]
>
> r = 4
> Guten Tag,
>
> nur um auf nummer sich zu gehen. Jetzt müsste der Wert
> für [r] stimmen oder ?
Nein.
Wo kommt plötzlich die 4 her ????
Es ist
r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}| \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
Zeig Deine Rechnungen !
FRED
>
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| Aufgabe | Excuse Me,
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-\bruch{7}{2}}{-\bruch{7}{2}}*\bruch{2^{n+1}}{2^n}
[/mm]
r = 2 |
Hey,
ist der Wert [r] jetzt korrekt?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 So 17.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Excuse Me,
oh please !
>
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-\bruch{7}{2}}{-\bruch{7}{2}}*\bruch{2^{n+1}}{2^n}[/mm]
>
> r = 2
> Hey,
>
> ist der Wert [r] jetzt korrekt?
Ja, aber warum schreibst Du [r] ? Gewöhne Dir an Beträge zu schreiben !
FRED
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 So 17.03.2013 | | Autor: | JamesDean |
ok, in der Zukunft Betragsstriche!!!
Thank you ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 So 17.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> ok, in der Zukunft Betragsstriche!!!
>
> Thank you ...
Please, please
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mo 18.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Edit: gestrichen
FRED
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