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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 So 21.02.2010 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | 1)
Ist die Funktion [mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases} [/mm]
stetig?
2.
bestimmen sie [mm] lim\bruch{sin^2x}{x^2}
[/mm]
3.
ist die funktion [mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{1+\bruch{1}{|x|}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases} [/mm] stetig?
4.
bestimmen sie alle häufungspunkte der folge [mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{cos2n^{2}\alpha}{1+cos2n^{2}\alpha} [/mm] mit n element IN, wobei [mm] \alpha [/mm] element [0,1] die eindeutig bestimmte reelle zahl mit [mm] cos\alpha=sin\alpha [/mm] ist |
hallo! :)
ich hab mir mal paar übungsblätter durchgekuckt und mir aufgaben rausgesucht bei denen ich beim besten willen nicht weiß wie ich anfangen sollte!
könnte vill jemand tipps geben wie man soetwas berechnet?
wäre echt super!
danke! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> 1)
> Ist die Funktion [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
> stetig?
Untersuche, ob [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] existiert (links/rechtsseitig) und ob dieser Grenzwert 0 ist oder was anderes.
> 2.
> bestimmen sie [mm]lim\bruch{sin^2x}{x^2}[/mm]
2 mal L'Hospital (falls es um "x gegen Null" geht).
> 3.
> ist die funktion [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{1+\bruch{1}{|x|}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
> stetig?
Siehe 1)
> 4.
> bestimmen sie alle häufungspunkte der folge [mm]y_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{cos2n^{2}\alpha}{1+cos2n^{2}\alpha}[/mm] mit n element
> IN, wobei [mm]\alpha[/mm] element [0,1] die eindeutig bestimmte
> reelle zahl mit [mm]cos\alpha=sin\alpha[/mm] ist
Man sollte wissen, dass Sinus und Kosinus z.B. bei (im Gradmaß) 45° gleich sind.
Gruß Abakus
> hallo! :)
> ich hab mir mal paar übungsblätter durchgekuckt und mir
> aufgaben rausgesucht bei denen ich beim besten willen nicht
> weiß wie ich anfangen sollte!
> könnte vill jemand tipps geben wie man soetwas berechnet?
> wäre echt super!
> danke! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 21.02.2010 | | Autor: | suxul |
> > 1)
> > Ist die Funktion [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
> > stetig?
> Untersuche, ob [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] existiert
> (links/rechtsseitig) und ob dieser Grenzwert 0 ist oder was
> anderes.
also durch das quadrat ist der nenner von [mm] 1/x^2 [/mm] stehts positiv, also geht dieser ausdruck für +/- unendlich gegen 0 und der gesamte ausdruck geht damit gegen 1.
aber wie kann man auf stetigkeit schließen? kann man das nicht mit der epsilon-delta definition wobei delta von einem [mm] x_{0} [/mm] abhängig ist beweisen?
> > 2.
> > bestimmen sie [mm]lim\bruch{sin^2x}{x^2}[/mm]
> 2 mal L'Hospital (falls es um "x gegen Null" geht).
das merkwürdige ist... wir hatten im ganzen semester kein einziges mal lòspital benutzt... ich kenne dieses verfahren nur aus der schule...
kann man es nicht auch anders lösen?
> > 3.
> > ist die funktion [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{1+\bruch{1}{|x|}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
> > stetig?
> Siehe 1)
ist klar, da betrag und quadrat beides x immer positiv sein lässt.
> > 4.
> > bestimmen sie alle häufungspunkte der folge [mm]y_{n}[/mm] =
> > [mm]\bruch{cos2n^{2}\alpha}{1+cos2n^{2}\alpha}[/mm] mit n element
> > IN, wobei [mm]\alpha[/mm] element [0,1] die eindeutig bestimmte
> > reelle zahl mit [mm]cos\alpha=sin\alpha[/mm] ist
>
> Man sollte wissen, dass Sinus und Kosinus z.B. bei (im
> Gradmaß) 45° gleich sind.
:( tut mir leid aber ich weiß trotzdem nicht weiter...:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> > > 1)
> > > Ist die Funktion [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
> > > stetig?
> > Untersuche, ob [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] existiert
> > (links/rechtsseitig) und ob dieser Grenzwert 0 ist oder was
> > anderes.
> also durch das quadrat ist der nenner von [mm]1/x^2[/mm] stehts
> positiv, also geht dieser ausdruck für +/- unendlich gegen
> 0 und der gesamte ausdruck geht damit gegen 1.
Stopp!
[mm] x^2 [/mm] geht gegen 0, also geht [mm] 1/x^2 [/mm] gegen unendlich.
[mm] 1+\bruch{1}{x^2} [/mm] geht erst recht gegen unendlich.
Dann geht aber [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}} [/mm] gegen Null!
Gruß Abakus
> aber wie kann man auf stetigkeit schließen? kann man das
> nicht mit der epsilon-delta definition wobei delta von
> einem [mm]x_{0}[/mm] abhängig ist beweisen?
> > > 2.
> > > bestimmen sie [mm]lim\bruch{sin^2x}{x^2}[/mm]
> > 2 mal L'Hospital (falls es um "x gegen Null" geht).
> das merkwürdige ist... wir hatten im ganzen semester kein
> einziges mal lòspital benutzt... ich kenne dieses
> verfahren nur aus der schule...
> kann man es nicht auch anders lösen?
> > > 3.
> > > ist die funktion [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{1+\bruch{1}{|x|}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
> > > stetig?
> > Siehe 1)
> ist klar, da betrag und quadrat beides x immer positiv
> sein lässt.
> > > 4.
> > > bestimmen sie alle häufungspunkte der folge [mm]y_{n}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{cos2n^{2}\alpha}{1+cos2n^{2}\alpha}[/mm] mit n element
> > > IN, wobei [mm]\alpha[/mm] element [0,1] die eindeutig bestimmte
> > > reelle zahl mit [mm]cos\alpha=sin\alpha[/mm] ist
> >
> > Man sollte wissen, dass Sinus und Kosinus z.B. bei (im
> > Gradmaß) 45° gleich sind.
> :( tut mir leid aber ich weiß trotzdem nicht weiter...:(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > bestimmen sie [mm]lim\bruch{sin^2x}{x^2}[/mm]
> > 2 mal L'Hospital (falls es um "x gegen Null" geht).
> das merkwürdige ist... wir hatten im ganzen semester kein
> einziges mal lòspital benutzt... ich kenne dieses
> verfahren nur aus der schule...
> kann man es nicht auch anders lösen?
Da Du Mathe-Student im Hauptstudium bist ist Dir sicher bekannt, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sinx}{x}=1
[/mm]
ist. Was ist dann wohl
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin^2x}{x^2} [/mm] ??
FRED
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