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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Allo an alle!
Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe, und zwar:
Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die die folgenden Reihen konvergieren und für welche x [mm] \in \IR [/mm] diese Reihen absolut konvergieren:
1) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k}
[/mm]
2) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k+1}
[/mm]
Zu 1):
mit Quotientenkriterium:
[mm] |(x^{k}+1^{k}+1^{k}k^{k})| [/mm] = [mm] |(x^{k}+1^{k}+(x^{k}*(k+1)|= |x*k^{k}+1| [/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|x*k^{k}+1|<1 \gdw \limes_{k\rightarrow\infty}|x|*|k^{k}+1|<1 \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}|x|*|1-1^{k}+1| [/mm] = |x|
|x|<! oder -1<x<1
Prüfe Ränder:
x=1 [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{k}} \to [/mm] harmonische Reihe
x=-1 [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k} \to [/mm] konvergiert nach Leibniz
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k}, a_{k}*a_{k+1}= \bruch{(-1)^{k}(-1)^{k+1}}{k*(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{k*(k+1)}<0 [/mm] (Reihe alterniert)
[mm] b_{k}=(-1)^{k}\bruch{(-1)^{k}}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}, [/mm] also [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{k}) \to [/mm] 0 (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)
Ist so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Sa 05.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Ja,
weitestgehend ist das korrekt, die Ergebnisse stimmen auch!
> mit Quotientenkriterium:
> [mm]|(x^{k}+1^{k}+1^{k}k^{k})|[/mm] = [mm]|(x^{k}+1^{k}+(x^{k}*(k+1)|= |x*k^{k}+1|[/mm]
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|x*k^{k}+1|<1 \gdw \limes_{k\rightarrow\infty}|x|*|k^{k}+1|<1 \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}|x|*|1-1^{k}+1|[/mm]
> = |x|
Das schien mir jetzt etwas komplex, aber du das gleiche raus hast, passt es ja.
Kürzer (und übersichtlicher):
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|(\bruch{x^{k+1}}{x^k}*\bruch{k}{k+1})| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|x|*(1-\bruch{1}{k+1}) [/mm] = |x| = [mm] \begin{cases} <1, & \mbox{für } -1 konvergent} \\ >1, & \mbox{für } x<-1 \vee x>1 \mbox{ -> divergent} \\ =1, & \mbox{für } x=-1 \vee x=1 \mbox{ -> unklar} \end{cases}
[/mm]
> |x|<! oder -1<x<1
> Prüfe Ränder:
> x=1 [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{k}} \to[/mm] harmonische
> Reihe
Nur noch das hoch k weglassen ;)
> x=-1 [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k} \to[/mm]
> konvergiert nach Leibniz
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k}, a_{k}*a_{k+1}= \bruch{(-1)^{k}(-1)^{k+1}}{k*(k+1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{-1}{k*(k+1)}<0[/mm] (Reihe alterniert)
> [mm]b_{k}=(-1)^{k}\bruch{(-1)^{k}}{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k},[/mm]
Oder ganz einfach [mm] |\bruch{(-1)^k}{k}|=\bruch{1}{k}
[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{k}) \to[/mm] 0
Ganz wichtig: Nicht die REIHE geht gegen 0, sondern die FOLGE!
> (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)
> Ist so richtig?
Ansonsten alles ok!
Gruß
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Und 2) da habe ich keine Ahnung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Sa 05.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Ach, nicht gleich aufgeben.
Ist doch fast genau das gleiche wie gerade... Bedenke, dass das +1 im Unendlichen nichts mehr ausmacht.
Fang doch erstmal genau wie gerade an und nimm zunächst das Q-Kriterium. Du könntest natürlich auch jeweils gegen deine Ursprungsreihe abschätzen, aber das würde die Sache nicht unbedingt beschleunigen, da es auch so relativ zügig geht.
Es sind auf jeden Fall die gleichen Unterscheidungen wie bei der ersten Reihe zu treffen - versuch es doch mal selbst 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Ok ich versuche, danke
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