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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die folgenden Folgen konvertieren, indem Sie ein geeignetes a [mm] \in \IR [/mm] finden (oder raten) und zeigen, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, so dass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt: [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] |
Ich hab da noch ein kleines Verständnisproblem. Ich versuchs mal zu erklären indem ich ein (y,n)-Koordinatenkreuz male und eine fiktieve Funktion einzeichne die bei n > 0, y [mm] \to \infty [/mm] beginnt und sich dann mit fallender, negativer Steigung an, y = 1 annähert.
Damit ist die Funktion auf jeden Fall schon mal konvergent.
Jetzt habe ich noch das Intervall von [mm] a_{n} \in [/mm] ] a - [mm] \varepsilon [/mm] ; a [mm] +\varepsilon [/mm] [ in dessen Mittel sich wohl a befindet und N [mm] \in \IN [/mm] welches sich im Intervall von ]a ; [mm] \infty [/mm] [ befindet.
Hab ich das soweit richtig verstanden?
Wenn das so ist, dann brauch ich nur ein geeignetes a (d.h. eines bei dem n > y in der Steigung ist). Wo also der Schritt auf der n-Achse größer ist als der auf der Y-Achse. [mm] \bruch{1}{2} [/mm] würde sich da anbieten.
Was meint man mit: "...zeigen, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert..." ?
Etwa das: N - [mm] \varepsilon [/mm] = a [mm] \gdw [/mm] a + [mm] \varepsilon [/mm] = N ?
Vielen Dank im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zunaechst wundere Dich nicht, dass Dir bislang noch niemand geantwortet hat, denn das, was Du geschrieben hast, ist ein ziemliches Durcheinander.
> Zeigen Sie, dass die folgenden Folgen konvertieren, indem
> Sie ein geeignetes a [mm]\in \IR[/mm] finden (oder raten) und
> zeigen, dass für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein N [mm]\in \IN[/mm]
> existiert, so dass für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt: [mm]|a_{n}[/mm] - a| <
> [mm]\varepsilon[/mm]
1. Die Eigenschaft, die Du zeigen sollst, heisst "konvergieren" und nicht "konvertieren". Konvertieren tut jemand anderes, aber Folgen tun so etwas nicht (zumindest habe ich dies noch nie zuvor beobachtet  )
2. Mit mathematische Symbolen sollst Du genau folgendes zeigen: Finde zu der (reellen) Zahlenfolge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine reelle Zahl $a$, so dass die folgende Eigenschaft erfuellt ist:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,N=N(\varepsilon)\in\IN\;\forall\,n\geqslant N:\;\left|a_n-a\right|\leqslant\varepsilon$
[/mm]
Erfuellt die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] diese Eigenschaft, so heisst sie konvergent (gegen $a$), wobei $a$ in diesem Fall auch als Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] genannt wird. Woertlich formuliert besagt diese Quantorenschreibweise: Zujeder noch so kleinen Schranke [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] existiert immer mindestens ein kleinster Folgenindex [mm] $N\in\IN$, [/mm] der von dem Wert [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhaengt, so dass jedes Folgenglied [mm] $a_n$, [/mm] deren Index $n$ groesser (oder gleich) $N$ ist, einen Abstand kleiner (oder gleich) [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vom Punkt $a$ besitzt.
> Ich hab da noch ein kleines Verständnisproblem. Ich
> versuchs mal zu erklären indem ich ein
> (y,n)-Koordinatenkreuz male und eine fiktieve Funktion
> einzeichne die bei n > 0, y [mm]\to \infty[/mm] beginnt und sich
> dann mit fallender, negativer Steigung an, y = 1
> annähert.
>
> Damit ist die Funktion auf jeden Fall schon mal konvergent.
>
> Jetzt habe ich noch das Intervall von [mm]a_{n} \in[/mm] ] a -
> [mm]\varepsilon[/mm] ; a [mm]+\varepsilon[/mm] [ in dessen Mittel sich wohl a
> befindet und N [mm]\in \IN[/mm] welches sich im Intervall von ]a ;
> [mm]\infty[/mm] [ befindet.
>
> Hab ich das soweit richtig verstanden?
>
> Wenn das so ist, dann brauch ich nur ein geeignetes a (d.h.
> eines bei dem n > y in der Steigung ist). Wo also der
> Schritt auf der n-Achse größer ist als der auf der
> Y-Achse. [mm]\bruch{1}{2}[/mm] würde sich da anbieten.
>
>
> Was meint man mit: "...zeigen, dass für jedes [mm]\varepsilon[/mm]
> > 0 ein N [mm]\in \IN[/mm] existiert..." ?
>
> Etwa das: N - [mm]\varepsilon[/mm] = a [mm]\gdw[/mm] a + [mm]\varepsilon[/mm] = N ?
>
> Vielen Dank im Voraus :)
Siehe fuer eine anschauliche Erklaerung auch hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergente_Folge
Gruss
Denny
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