Folgen mit gleichen Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Es seien [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}, (b_{n})_{n \in \IN}, (c_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] reelle Folgen, für die [mm] $a_{n} \le c_{n} \le b_{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
Zeige, dass wenn [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] gegen denselben Grenzwert $c [mm] \in \IR$ [/mm] konvergieren, auch [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $c$ konvergieren muss. |
Hallo,
das wäre noch so eine Aufgabe, die ich logisch und nachvollziehbar finde, aber ich bin mir nicht sicher, wie man das wieder mathematisch und Uni-gerecht aufschreibt und beweist...
wenn lim [mm] a_{n} [/mm] = c
und lim [mm] b_{n} [/mm] = c dann lim [mm] c_{n} [/mm] = c
Es muss gelten: [mm] a_{n} \le c_{n} \le b_{n} [/mm]
das heißt, ab einem n [mm] \in \IN [/mm] ist auch [mm] (c_{n}) [/mm] konvergent mit lim [mm] c_{n} [/mm] = c
Also beweise ich doch erstmal [mm] a_{n} \le b_{n} [/mm]
Die Frage ist nur wie? Also eigentlich mehr in welcher Form, denn
beide konvergieren gegen den gleichen Grenzwert...
lim [mm] |b_{n} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] = c ??? für lim n [mm] \to \infty
[/mm]
und dann sage ich [mm] |a_{n} [/mm] - c| < [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] |b_{n} [/mm] - c| < [mm] \varepsilon
[/mm]
und dann einfach weiter umformen?
Über ein wenig unter-die-Arme-greifende-Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Gruß und tausend Dank
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderen Forum gestellt.
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Hallo,
also Moment, wenn für deine Folgen [mm] a_{n}\le b_{n} [/mm] gilt und beide denselben Grenzwert haben, dann gibt es genau einen Wert, den beide gemeinsam haben (oder sich ihm zumindest nähren), nämlich ihren Grenzwert. Für große n gilt dann also [mm] a_{n}=b_{n}=c. [/mm] Folglich ist der von dir beschriebene Limes nicht c, sondern 0. Und wie geht es jetzt weiter? Überleg mal!
Dass [mm] a_{n}\le b_{n} [/mm] gilt, musst du übrigens nicht beweisen. Das ist die Voraussetzung.
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doreen!
Verwende hier doch die Intervallschachtelungen aus Deiner anderen Frage / Aufgabe.
Betrachte hierzu [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_n-c\right| [/mm] \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left|b_n-c\right| [/mm] \ = \ 0$ und die Eindeutigkeit des Grenzwertes bzw. schließe auf [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|c_n-c\right| [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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