Folgen? Unterraum? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei U die Menge aller Folgen a [mm] \in \IR^{\IN} [/mm] mit a(n+2)=a(n+1)+a(n) für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen sie, dass U ein Unterraum von [mm] \IR^{\IN} [/mm] ist und bestimmen sie die dimU sowie eine Basis von U. |
Hallo!
Ich habe schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen. Könnt ihr mir helfen?? Was muss ich zeigen und was ist mit a(n+2)=a(n+1)+a(n) gemeint??
Danke.
LG
pythagora
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Hallo pythagora,
> Sei U die Menge aller Folgen a [mm]\in \IR^{\IN}[/mm] mit
> a(n+2)=a(n+1)+a(n) für alle n [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen sie, dass U
> ein Unterraum von [mm]\IR^{\IN}[/mm] ist und bestimmen sie die dimU
> sowie eine Basis von U.
Indizes bekommst du mit dem Unterstrich _ hin, die Indizes selbst setze in geschweifte Klammern, also
a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} ergibt das schön lesbare [mm] $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$
[/mm]
> Hallo!
> Ich habe schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen. Könnt
> ihr mir helfen?? Was muss ich zeigen und was ist mit
> a(n+2)=a(n+1)+a(n) gemeint??
Das sind spezielle Folgen aus der Menge aller (reellwertigen) Folgen [mm] $\IR^{\IN}$, [/mm] die durch diese spezielle Rekursion definiert sind ...
Schreibe dir einfach die 3 Unterraumkriterien mal auf und versuche sie nachzuweisen. Wie sonst sollte man anfangen?
1) [mm] $0\in [/mm] U$, wobei 0 der Nullvektor ist, das ist hier die Nullfolge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=(0)_{\n\in\IN}$.
[/mm]
Für die gilt ja sicher [mm] $\underbrace{a_{n+2}}_{=0}=\underbrace{a_{n+1}}_{=0}+\underbrace{a_{n}}_{=0}$
[/mm]
2) Für 2 bel. Folgen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN}\in [/mm] U$ ist auch die Folge [mm] $(a_n+b_n)_{n\in\IN}\in [/mm] U$
Rechne das geradeheraus nach, benutze dazu die rekursiven Definitionen von [mm] $(a_n),(b_n)$
[/mm]
3) Für [mm] $\lambda\in\IR, (a_n)_{n\in\IN}\in [/mm] U$ ist [mm] $(\lambda\cdot{}a_n)_{n\in\IN}\in [/mm] U$
Auch hier geradeheraus ausrechnen ...
Um Dimension und Basis kümmern wir uns, wenn du das hast, ok?
> Danke.
> LG
> pythagora
Gruß
schachuzipus
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Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort
>
> Indizes bekommst du mit dem Unterstrich _ hin, die Indizes
> selbst setze in geschweifte Klammern, also
Auf den augabenblatt stehen die n+1 und co aber nicht im Index!?!? Beudeutet das dann was anderes??
> Das sind spezielle Folgen aus der Menge aller
> (reellwertigen) Folgen [mm]\IR^{\IN}[/mm], die durch diese spezielle
> Rekursion definiert sind ...
Was ist mit speziellen Folgen denn gemeint?? Wie kann ich mir das vorstellen?
LG
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Fr 08.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst dir selbst beliebige solche Folgen basteln in dem du a(1) und a(2) willkürlich vorgibst. z. Bsp a(0)=1, a(2)=1
dann hast du die Folge 0,1,1,2,3,5,8..
oder a(0)=-4, a(1)=-5 usw.
Manch Leute schreiben Folgenglieder mit Indizes, andere in Klammern, das ist dasselbe.
Gruss leduart
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Ok, vielen Dank, jetzt weiß ich schonmal wie eine Folge aussieht, aber jetzt soll ich da ja die 3 unterraumkriterien zeigen nicht wahr. Zeige ich das an der Formel a(n+2)=a(n+1)+a(n)?? Müsste doch oder nicht??
Und was hat es mit [mm] \IR^{\IN} [/mm] auf sich?? muss ich da bei den Kritierien was beachten?? wenn ja, was??
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Hallo nochmal,
> Ok, vielen Dank, jetzt weiß ich schonmal wie eine Folge
> aussieht, aber jetzt soll ich da ja die 3
> unterraumkriterien zeigen nicht wahr. Zeige ich das an der
> Formel a(n+2)=a(n+1)+a(n)?? Müsste doch oder nicht??
Ja, das habe ich doch in meiner ersten Antwort geschrieben ...
Ich habe es dir für den Nullvektor vorgemacht, die anderen beiden Kriterien folgen nach dem gleichen Schema.
Weißt du, wie man 2 Folgen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] addiert?, was also [mm] $(a_n+b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist?
Damit ist 2) ein Klacks, du musst es nur umformen und in die passende Form bringen ...
>
> Und was hat es mit [mm]\IR^{\IN}[/mm] auf sich??
Das ist die Menge der reellwertigen Folgen (also Abbilldungen von [mm] $\IN\to\IR$).
[/mm]
Auch das hatte ich oben geschrieben. Hast du's nicht gelesen??
> muss ich da bei den
> Kritierien was beachten?? wenn ja, was??
Noch mehr verrate ich nicht, du hast es nun fast komplett vorgerechnet bekommen bzw. eine genaue Anleitung bekommen, es ist nicht schwer, mach's mal zuende.
LG
schachuzipus
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Hey^^
>
> Ja, das habe ich doch in meiner ersten Antwort geschrieben
Hab das aber leider ohne beispiel nicht verstanden... jetzt verstehe ich aber auch, was du geschrieben hast^^
>
> Ich habe es dir für den Nullvektor vorgemacht, die anderen
> beiden Kriterien folgen nach dem gleichen Schema.
Ok, ich probiers mal, darf ich schreiben und fragen ob dass dann richtig ist??
> Weißt du, wie man 2 Folgen [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] addiert?, was also [mm](a_n+b_n)_{n\in\IN}[/mm]
> ist?
leider nicht... kannst du mir helfen??
> >
> > Und was hat es mit [mm]\IR^{\IN}[/mm] auf sich??
>
> Das ist die Menge der reellwertigen Folgen (also
> Abbilldungen von [mm]\IN\to\IR[/mm]).
>
> Auch das hatte ich oben geschrieben. Hast du's nicht
> gelesen??
reellwertigen Folgen kannte ich nicht, danke für den Teil in Klammern --> (also Abbilldungen von [mm]\IN\to\IR[/mm]) <-- das verstehe ich
> Noch mehr verrate ich nicht, du hast es nun fast komplett
> vorgerechnet bekommen bzw. eine genaue Anleitung bekommen,
Nein,nein ich möchte ja auch nicht die Lösung wissen, sondern das selber machen und lernen und verstehen wie das geht^^
LG
pythagora
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Hallo nochmal,
> Hey^^
>
> >
> > Ja, das habe ich doch in meiner ersten Antwort geschrieben
> Hab das aber leider ohne beispiel nicht verstanden... jetzt
> verstehe ich aber auch, was du geschrieben hast^^
> >
> > Ich habe es dir für den Nullvektor vorgemacht, die anderen
> > beiden Kriterien folgen nach dem gleichen Schema.
> Ok, ich probiers mal, darf ich schreiben und fragen ob
> dass dann richtig ist??
> > Weißt du, wie man 2 Folgen [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] und
> > [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] addiert?, was also [mm](a_n+b_n)_{n\in\IN}[/mm]
> > ist?
> leider nicht... kannst du mir helfen??
Hmm, du kannst eine Folge als unendlich langen Vektor auffassen.
Wie man Vektoren addiert, weißt du aber sicher ...
Komponentenweise!
Was gibt das für 2) ?
>
> > >
> > > Und was hat es mit [mm]\IR^{\IN}[/mm] auf sich??
> >
> > Das ist die Menge der reellwertigen Folgen (also
> > Abbilldungen von [mm]\IN\to\IR[/mm]).
> >
> > Auch das hatte ich oben geschrieben. Hast du's nicht
> > gelesen??
> reellwertigen Folgen kannte ich nicht, danke für den Teil
> in Klammern --> (also Abbilldungen von [mm]\IN\to\IR[/mm]) <-- das
> verstehe ich
>
> > Noch mehr verrate ich nicht, du hast es nun fast komplett
> > vorgerechnet bekommen bzw. eine genaue Anleitung bekommen,
> Nein,nein ich möchte ja auch nicht die Lösung wissen,
> sondern das selber machen und lernen und verstehen wie das
> geht^^
Das ist löblich, dann versuche nun, das für 2) schonmal umzusetzen.
Bei 3) geht's dann ganz ähnlich, das [mm] $\lambda$ [/mm] wird wieder komponentenweise ranmultipliziert ...
>
> LG
> pythagora
>
Gruß
schachuzipus
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Hey^^
ich hab da ne Idee:
Es gilt
[mm] a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \in [/mm] U
[mm] b_{n+2}=b_{n+1}+b_{n} \in [/mm] U
Ich löse nach an und bn auf und addiere diese:
[mm] a_{n}+b_{n}=a_{n+2}-a_{n+1}+b_{n+2}-b_{n+1}
[/mm]
Wenn ich das umstelle erhalte ich:
[mm] a_{n}+b_{n}+a_{n+1}+b_{n+1}=a_{n+2}+b_{n+2}
[/mm]
Ist das so richtig?? Das ist doch komponentenweise und daher in U, oder??
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Ok, super vielen Dank somit wäre ein Teil der Aufgabe schon mal erledigt..
ich schreibe gleich noch nummer 3 auf, aber kannst du mir auch noch bei der sache mit dimU helfen und bei der Basis??
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Hallo,
Um dim(U) zu bestimmen, solltest du eine Basis von U bestimmen. Dann ist
dim(U) = Anzahl der Elemente der Basis.
Um eine Basis von U zu bestimmen, musst du überlegen: Die Bedingung für die Folgen [mm] $(a_{n})_{n\in\IN}\in [/mm] U$ lautet:
[mm] $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ (n\in\IN$).
[/mm]
Welche Folgenglieder von [mm] $(a_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] sind damit noch nicht bestimmt? Bzw.: Welche Folgenglieder von [mm] $(a_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] müssen bekannt sein, damit die Folge eindeutig bestimmt ist?
Wenn du diese Überlegungen gemacht hast, solltest du darauf kommen, dass es zwei Folgen gibt, die alle anderen erzeugen können. Dann sollte der Nachweis folgen, dass diese zwei Folgen wirklich eine Basis von U bilden.
Grüße,
Stefan
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> Welche Folgenglieder von [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] sind damit noch
> nicht bestimmt? Bzw.: Welche Folgenglieder von
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] müssen bekannt sein, damit die Folge
> eindeutig bestimmt ist?
Ein eine folge eindeutig zu bestimmen brauhe ih doch eigentlich nur eine "vorgabe" für a(n) und kann dann mit der formel a(n+2)=a(n+1)+a(n) die folge eindeutig bestimmen oder nicht??
> Wenn du diese Überlegungen gemacht hast, solltest du
> darauf kommen, dass es zwei Folgen gibt, die alle anderen
> erzeugen können.
Die eine Folge ist also an ?? und meinst du mit der anderen folge den "abstand" zwischen den einträgen; also bei a(n+2)=a(n+1)+a(n) addiere ich ja immer die zwei vorigen einträge zu einem neuen (dritten eintrag)???
LG
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Hallo,
> > Welche Folgenglieder von [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] sind damit noch
> > nicht bestimmt? Bzw.: Welche Folgenglieder von
> > [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] müssen bekannt sein, damit die Folge
> > eindeutig bestimmt ist?
> Ein eine folge eindeutig zu bestimmen brauhe ih doch
> eigentlich nur eine "vorgabe" für a(n) und kann dann mit
> der formel a(n+2)=a(n+1)+a(n) die folge eindeutig bestimmen
> oder nicht??
Ja, du brauchst eine "Vorgabe" für [mm] a_{n}, [/mm] aber wie sieht die aus?
Nochmal die Frage: Welche Folgenglieder von [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] müssen bekannt sein, damit die Folge eindeutig bestimmt ist?
Es gibt zwei konkrete, "besonders leichte" Folgenglieder, mit welchen dann die Folge aufgrund der Vorgabe [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] eindeutig bestimmt ist. Noch ein Tipp: Diese Vorgabe gilt für alle [mm] n\in\IN, [/mm] wie lautet also die Vorgabe für n = 1, das erste n, für das sie gelten soll? Welche zwei Folgenglieder kann man also beliebig wählen?
> > Wenn du diese Überlegungen gemacht hast, solltest du
> > darauf kommen, dass es zwei Folgen gibt, die alle anderen
> > erzeugen können.
> Die eine Folge ist also an ?? und meinst du mit der anderen
> folge den "abstand" zwischen den einträgen; also bei
> a(n+2)=a(n+1)+a(n) addiere ich ja immer die zwei vorigen
> einträge zu einem neuen (dritten eintrag)???
Nein, du kannst zwei konkrete Folgen angeben (wirklich konkret, zum Beispiel so konkret wie 5,6,7,8,9,10,...)
Grüße,
Stefan
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hallo
> Ja, du brauchst eine "Vorgabe" für [mm]a_{n},[/mm] aber wie sieht
> die aus?
> Nochmal die Frage: Welche Folgenglieder von
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] müssen bekannt sein, damit die Folge
> eindeutig bestimmt ist?
> Es gibt zwei konkrete, "besonders leichte" Folgenglieder,
> mit welchen dann die Folge aufgrund der Vorgabe [mm]a_{n+2}[/mm] =
> [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n}[/mm] eindeutig bestimmt ist. Noch ein Tipp:
> Diese Vorgabe gilt für alle [mm]n\in\IN,[/mm] wie lautet also die
> Vorgabe für n = 1, das erste n, für das sie gelten soll?
> Welche zwei Folgenglieder kann man also beliebig wählen?
Bei n=1 hääte ich doch zum einen n=1 als erstes folgeglied ung das zweite (bzw. das erste weil es vor der 1 steht) müsste doch die Null sein.. oder? Ich kann ja mit 0 und 1 die folge 0,1,1,2,3,5,8,... (fibonacci^^) bestimmen .. leige ich richtig mit meiner annahme, dass es die Folgeglieder 0 und n=... sind???
LG
pythagora
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Hallo!
Man kann sich leicht überlegen, dass durch Angabe zweier beliebiger Folgenglieder (zum Beispiel auch [mm] a_{5} [/mm] und [mm] a_{6}) [/mm] sofort das passende [mm] (a_{n})\in [/mm] U bestimmt ist.
Praktischer ist aber eben, einzusehen, dass durch [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] jede Folge aus U eindeutig bestimmt ist. Denn wenn [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] fest gewählt sind, ergeben sich durch die Bedingung [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] sofort alle restlichen Folgenglieder eine Folge [mm] (a_{n})\in [/mm] U.
--> Die beiden Folgen [mm] (a_{n}),(b_{n})\in [/mm] U mit
[mm] a_{0} [/mm] = 1 und [mm] a_{1} [/mm] = 0
und
[mm] b_{0} [/mm] = 0 und [mm] b_{1} [/mm] = 1
sind eine Basis von U. Den Nachweis führst du aber jetzt  !
Grüße
Stefan
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Hey
> --> Die beiden Folgen [mm](a_{n}),(b_{n})\in[/mm] U mit
>
> [mm]a_{0}[/mm] = 1 und [mm]a_{1}[/mm] = 0
>
> und
>
> [mm]b_{0}[/mm] = 0 und [mm]b_{1}[/mm] = 1
Dass 0 und 1 die basis sind, sehe ich ein, so habe ich ja auch gedacht, aber was meinst du mit a(0)=1 und a(1)=0?? Ich dachte die folge müsste aufgrund der formel immer größer werden??? wenn ich aber mit a(0)=1 anfange erhalte ich doch so eine folge: 1 0 2 2 ... ist das denn möglich?? und wenn ja wieso muss ich das sozusagen nochmal mit 1 und null machen?? warum reicht es nicht nur 0 und 1 zu nehemen als basis?? damit ist eine folge doch auch definiert
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Hallo pythagora,
> Hey
> > --> Die beiden Folgen [mm](a_{n}),(b_{n})\in[/mm] U mit
> >
> > [mm]a_{0}[/mm] = 1 und [mm]a_{1}[/mm] = 0
> >
> > und
> >
> > [mm]b_{0}[/mm] = 0 und [mm]b_{1}[/mm] = 1
> Dass 0 und 1 die basis sind, sehe ich ein, so habe ich ja
> auch gedacht, aber was meinst du mit a(0)=1 und a(1)=0??
> Ich dachte die folge müsste aufgrund der formel immer
> größer werden??? wenn ich aber mit a(0)=1 anfange erhalte
> ich doch so eine folge: 1 0 2 2 ... ist das denn
> möglich?? und wenn ja wieso muss ich das sozusagen nochmal
> mit 1 und null machen?? warum reicht es nicht nur 0 und 1
> zu nehemen als basis?? damit ist eine folge doch auch
> definiert
Du solltest dir klar machen, dass auch eine Basis von U nicht aus Zahlen, sondern aus Folgen zu bestehen hat (weil auch die Basiselemente ja Element von U sein müssen!). So wie das bei dir klingt, ist dir das nicht klar.
Deine "Erkenntnis", die Folge müsse für wachsendes n immer größer werden, ist falsch und begründest du womöglich nur mit der Kenntnis der Fibonacci-Folge. Bei den ersten drei, vier Glieder können da aufgrund der Definition [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1}+a_{n} [/mm] durchaus Unregelmäßigkeiten auftreten.
Die Definition des Raumes U lautet: [mm] $U:=\{(a_{n})\in\IR^{\IN}: a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \forall n\in\IN\}$. [/mm] Das heißt, jede Folge, für die ich mir ein beliebiges [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] auswähle und die restlichen Folgenglieder mit Hilfe der Vorschrift [mm] $a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}$ [/mm] berechne, ist Element von U.
So ist zum Beispiel auch die Folge (-1),(-1),(-2),(-3),... (negative Fibonacci-Folge!) oder die Folge 0,0,0,0,0,0,... ein Element von U! Du hast aber dahingehend Recht, dass die Folge 0,0,0,0,... die einzige aus U ist, die nicht "immer weiter wächst" oder "immer weiter fällt".
Wir wissen also, dass eine Folge eindeutig durch ihre ersten beiden Folgenglieder bestimmt ist, [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1}. [/mm] Es reicht also nicht aus, nur die Folge [mm] (a_{n})\in [/mm] U mit [mm] a_{0} [/mm] = 0 und [mm] a_{1} [/mm] = 1 als Basis zu nehmen! Denn nur mit dieser Folge kann ich zum Beispiel eine Folge, die mit [mm] a_{0} [/mm] = 1 beginnt, gar nicht konstruieren! (Das Erzeugnis von [mm] (a_{n}) [/mm] erhält man ja durch Multiplikation aller möglichen Skalare [mm] \lambda\in\IR [/mm] ).
Das ganze Basen-Problem des Raumes U ist eigentlich äquivalent zu dem, eine Basis den [mm] \IR^{2} [/mm] zu finden (Denn es können [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] beliebig sein, sozusagen kann der Vektor [mm] (a_{0},a_{1}) [/mm] beliebig sein). Und eine Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] sind nunmal die beiden Einheitsvektoren (0,1) und (1,0).
Grüße,
Stefan
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Hey,
es ist mit schon ein bisschen klarer geworden, danke dafür.
also ist eine Folge im Prinzip eine "zahlenkette" und mit 01 bzw. 10 als basis kann ich alle zahlen die in irgendeiner folge vorkommen erzeugen; aber was ist z.B. mit a(0)=2 und a(1)=5 das würde doch nicht durch 01 bzw 10 erzeugt werden, oder?? oder könnte ich in diesem Fall gar nicht a(0)=2 und a(1)=5 wählen um eine folge zu bekommen??
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Hallo,
> Hey,
> es ist mit schon ein bisschen klarer geworden, danke
> dafür.
> also ist eine Folge im Prinzip eine "zahlenkette" und mit
> 01 bzw. 10 als basis kann ich alle zahlen die in
> irgendeiner folge vorkommen erzeugen; aber was ist z.B. mit
> a(0)=2 und a(1)=5 das würde doch nicht durch 01 bzw 10
> erzeugt werden, oder?? oder könnte ich in diesem Fall gar
> nicht a(0)=2 und a(1)=5 wählen um eine folge zu bekommen??
Natürlich kannst du mit den beiden Folgen [mm] (a_{n}),(b_{n}) [/mm] mit
[mm] $a_{0} [/mm] = 0$ und [mm] $a_{1} [/mm] = 1$
und
[mm] $b_{0} [/mm] = 1$ und [mm] $b_{1} [/mm] = 0$
auch die Folge [mm] (c_{n}) [/mm] mit [mm] $c_{0} [/mm] = 2$ und [mm] $c_{1} [/mm] = 5$ erzeugen!
[mm] $(c_{n}) [/mm] = [mm] 2*(b_{n}) [/mm] + [mm] 5*(a_{n})$,
[/mm]
denn das bedeutet nichts anderes als: Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] 2*b_{n} [/mm] + [mm] 5*a_{n}$,
[/mm]
und du siehst, das funktioniert, wenn du für n Null bzw. Eins einsetzt.
Grüße,
Stefan
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> Natürlich kannst du mit den beiden Folgen [mm](a_{n}),(b_{n})[/mm]
> mit
>
> [mm]a_{0} = 0[/mm] und [mm]a_{1} = 1[/mm]
>
> und
>
> [mm]b_{0} = 1[/mm] und [mm]b_{1} = 0[/mm]
>
> auch die Folge [mm](c_{n})[/mm] mit [mm]c_{0} = 2[/mm] und [mm]c_{1} = 5[/mm]
> erzeugen!
>
> [mm](c_{n}) = 2*(b_{n}) + 5*(a_{n})[/mm],
>
> denn das bedeutet nichts anderes als: Für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> gilt:
>
> [mm]c_{n} = 2*b_{n} + 5*a_{n}[/mm],
>
> und du siehst, das funktioniert, wenn du für n Null bzw.
> Eins einsetzt.
also müsste ich sowas bekommen:
wenn a(0)=2 und a(1)=5, würde die folge doch mit 2 und 5 beginnen oder und nach der "funktion" würde 2+5 die nächste zahl sein, also
2 5 7 12... oder??
Zu Beweis:
Ich habe eine Idee, bin mir aber nich ganz sicher ob das so geht; also per definition bilden die vektoren [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] genau dann eine Basis, wenn gilt: jedes a [mm] \in [/mm] V besitzt eine Darstellung a= [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} a_{i} [/mm] mit eingeutig bestimmten koeffizienten [mm] \alpha_{1},...,\alpha_{n}.
[/mm]
Wenn ich das jetzt alles richtig verstanden habe, so ist sich eine Folge [mm] c_{n} [/mm] eine Linearkombination aus den zwei "Startziffern" und durch die basis (a und b) lassen sich daraus alle gleider einer folge erzeugen (--> [mm] c_{n} [/mm] = [mm] 2*b_{n} [/mm] + [mm] 5*a_{n}).
[/mm]
Ist meine Idee so in ordnung??
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Hallo,
> > Natürlich kannst du mit den beiden Folgen [mm](a_{n}),(b_{n})[/mm]
> > mit
> >
> > [mm]a_{0} = 0[/mm] und [mm]a_{1} = 1[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]b_{0} = 1[/mm] und [mm]b_{1} = 0[/mm]
> >
> > auch die Folge [mm](c_{n})[/mm] mit [mm]c_{0} = 2[/mm] und [mm]c_{1} = 5[/mm]
> > erzeugen!
> >
> > [mm](c_{n}) = 2*(b_{n}) + 5*(a_{n})[/mm],
> >
> > denn das bedeutet nichts anderes als: Für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> > gilt:
> >
> > [mm]c_{n} = 2*b_{n} + 5*a_{n}[/mm],
> >
> > und du siehst, das funktioniert, wenn du für n Null bzw.
> > Eins einsetzt.
> also müsste ich sowas bekommen:
> wenn a(0)=2 und a(1)=5, würde die folge doch mit 2 und 5
> beginnen oder und nach der "funktion" würde 2+5 die
> nächste zahl sein, also
> 2 5 7 12... oder??
>
> Zu Beweis:
> Ich habe eine Idee, bin mir aber nich ganz sicher ob das
> so geht; also per definition bilden die vektoren
> [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] genau dann eine Basis, wenn gilt: jedes a
> [mm]\in[/mm] V besitzt eine Darstellung a= [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} a_{i}[/mm]
> mit eingeutig bestimmten koeffizienten
> [mm]\alpha_{1},...,\alpha_{n}.[/mm]
> Wenn ich das jetzt alles richtig verstanden habe, so ist
> sich eine Folge [mm]c_{n}[/mm] eine Linearkombination aus den zwei
> "Startziffern" und durch die basis (a und b) lassen sich
> daraus alle gleider einer folge erzeugen (--> [mm]c_{n}[/mm] =
> [mm]2*b_{n}[/mm] + [mm]5*a_{n}).[/mm]
> Ist meine Idee so in ordnung??
Ich finde das eigentlich okay. Du solltest aber noch ein Stück formaler darauf aufmerksam machen, dass diese Setzung eindeutig ist.
Also, du behauptest, für beliebiges [mm] (c_{n}) [/mm] gibt es eine eindeutige Linearkombination aus [mm] (b_{n}) [/mm] = (1,0,...) und [mm] (a_{n}) [/mm] = (0,1,...), und zwar lautet sie:
[mm] $(c_{n}) [/mm] = [mm] c_{1}*(b_{n}) [/mm] + [mm] c_{2}*(a_{n})$.
[/mm]
Nun musst du verifizieren, dass das überhaupt stimmt. Der obige Ausdruck ist äquivalent zu: Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] c_{1}*b_{n}+ c_{2}*a_{n}$
[/mm]
Zuerst zeigst du, dass die Aussage für n = 1 und n= 2 gilt. Dann kannst du damit argumentieren, dass sowohl [mm] (c_{n}) [/mm] als auch [mm] (c_{1}*b_{n} [/mm] + [mm] c_{2}*a_{n}) [/mm] ja Folgen in U sind, also die restlichen Glieder eindeutig bestimmt sind, woraus natürlich unmittelbar folgt, wenn die ersten beiden gleich sind, dass auch der Rest gleich ist.
Damit hast du nun im übrigen nachgewiesen, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt.
Du kannst nun eben noch wahlweise die Eindeutigkeit der Darstellung oder die lineare Unabhängigkeit zeigen, um den Beweis zu vervollständigen.
Eindeutigkeit würde so gehen: Nimm an, es gäbe noch weitere Koeffizienten [mm] d_{1} [/mm] und [mm] d_{2} [/mm] sodass
[mm] $(c_{n}) [/mm] = [mm] d_{1}*(b_{n}) [/mm] + [mm] d_{2}*(a_{n})$
[/mm]
Du musst folgern, dass dann [mm] d_{1} [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] und [mm] d_{2} [/mm] = [mm] c_{2} [/mm] gilt (sehr einfach, betrachte einfach wieder n = 1 und n= 2).
Grüße,
Stefan
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Hey,
danke, du hilfst mir wirklich sehr...
Aber ich hätte da noch Fragen, ich hoffe, dass das ok ist??
> Zuerst zeigst du, dass die Aussage für n = 1 und n= 2
> gilt. Dann kannst du damit argumentieren, dass sowohl
> [mm](c_{n})[/mm] als auch [mm](c_{1}*b_{n}[/mm] + [mm]c_{2}*a_{n})[/mm] ja Folgen in U
also setzte ich [mm] c_{n} [/mm] einmal gleich 1 und dann nochmal gleich 2 ?? und zeige dass man das durch [mm] c_{1}*b_{n} [/mm] + [mm] c_{2}*a_{n} [/mm] audrücken kann??
> sind, also die restlichen Glieder eindeutig bestimmt sind,
> woraus natürlich unmittelbar folgt, wenn die ersten beiden
> gleich sind, dass auch der Rest gleich ist.
wenn die ersten beiden gleich sind ist auch der rest gleich?? meinst du ich soll induktion machen??
> Damit hast du nun im übrigen nachgewiesen, dass es sich um
> ein Erzeugendensystem handelt.
>
> Du kannst nun eben noch wahlweise die Eindeutigkeit der
> Darstellung oder die lineare Unabhängigkeit zeigen, um den
> Beweis zu vervollständigen.
>
> Eindeutigkeit würde so gehen: Nimm an, es gäbe noch
> weitere Koeffizienten [mm]d_{1}[/mm] und [mm]d_{2}[/mm] sodass
>
> [mm](c_{n}) = d_{1}*(b_{n}) + d_{2}*(a_{n})[/mm]
>
> Du musst folgern, dass dann [mm]d_{1}[/mm] = [mm]c_{1}[/mm] und [mm]d_{2}[/mm] = [mm]c_{2}[/mm]
> gilt (sehr einfach, betrachte einfach wieder n = 1 und n=
> 2).
aber reicht es denn wenn ich nur 1 und 2 nehme?? geht das weil ich durch 1 und 2 alle nachfolgenden zahlen erreiche??
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Hallo,
> Aber ich hätte da noch Fragen, ich hoffe, dass das ok
> ist??
Selbst wenn es nicht okay wäre - was soll ich dagegen tun, außer zu antworten
Es ist immer gut zu fragen, weil es bedeutet, dass du es verstehen willst. (Zumindestens soweit, dass man es vernünftig aufschreiben kann )
> > Zuerst zeigst du, dass die Aussage für n = 1 und n= 2
> > gilt. Dann kannst du damit argumentieren, dass sowohl
> > [mm](c_{n})[/mm] als auch [mm](c_{1}*b_{n}[/mm] + [mm]c_{2}*a_{n})[/mm] ja Folgen in U
> also setzte ich [mm]c_{n}[/mm] einmal gleich 1 und dann nochmal
> gleich 2 ?? und zeige dass man das durch [mm]c_{1}*b_{n}[/mm] +
> [mm]c_{2}*a_{n}[/mm] audrücken kann??
Aufpassen! Mache dir noch einmal klar, dass der Raum U aus vielen verschiedenen Folgen besteht, zum Beispiel (1,2,3,5,8,...) oder (0,0,0,0,0,...) oder (0,1/2,1/2,1,3/2,...), ....
Wir wollen nun zeigen, dass sich jede Folge [mm] (c_{n}) [/mm] aus U durch die eine Linearkombination der Folgen [mm] (a_{n}),(b_{n}) [/mm] darstellen lässt.
Ich meine nicht, dass du [mm] "c_{n} [/mm] einmal gleich 1 und dann nochmal gleich 2" setzt, sondern n!
Wir zeigen also zunächst, dass mit der oben angegebenen Linearkombination auf jeden Fall die ersten beiden Folgenglieder der Folge [mm] (c_{n}) [/mm] und der Folge [mm] (c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n}) [/mm] übereinstimmen:
n = 1:
[mm] c_{1}*b_{1} [/mm] + [mm] c_{2}*a_{1} [/mm] = [mm] c_{1}*1 [/mm] + [mm] c_{2}*0 [/mm] = [mm] c_{1}
[/mm]
stimmt also!
n = 2 genauso.
Und nun muss man nur noch argumentieren, dass dann die Folgenglieder der Folge [mm] (c_{n}) [/mm] und der Folge [mm] (c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n}) [/mm] immer übereinstimmen, also für jedes [mm] n\in\IN.
[/mm]
> > sind, also die restlichen Glieder eindeutig bestimmt sind,
> > woraus natürlich unmittelbar folgt, wenn die ersten beiden
> > gleich sind, dass auch der Rest gleich ist.
> wenn die ersten beiden gleich sind ist auch der rest
> gleich?? meinst du ich soll induktion machen??
Brauchst du nicht, das ist unmittelbar einsichtig, wie ich schon geschrieben habe.
Sollte das bei dir nicht der Fall sein, so solltest du dir klar machen:
Wenn ich zwei Folgen [mm] (c_n) [/mm] und [mm] (d_n) [/mm] aus U habe und [mm] c_1=d_1 [/mm] sowie [mm] c_2=d_2 [/mm] gilt; so gilt, weil die beiden Folgen aus U sind:
[mm] c_3 [/mm] = [mm] c_2+c_1 [/mm] = [mm] d_2+d_1 [/mm] = [mm] d_3
[/mm]
und so weiter für jedes [mm] n\in\IN. [/mm] Es ist also eine Induktion, die intuitiv klar ist.
> > Damit hast du nun im übrigen nachgewiesen, dass es sich um
> > ein Erzeugendensystem handelt.
> >
> > Du kannst nun eben noch wahlweise die Eindeutigkeit der
> > Darstellung oder die lineare Unabhängigkeit zeigen, um den
> > Beweis zu vervollständigen.
> >
> > Eindeutigkeit würde so gehen: Nimm an, es gäbe noch
> > weitere Koeffizienten [mm]d_{1}[/mm] und [mm]d_{2}[/mm] sodass
> >
> > [mm](c_{n}) = d_{1}*(b_{n}) + d_{2}*(a_{n})[/mm]
> >
> > Du musst folgern, dass dann [mm]d_{1}[/mm] = [mm]c_{1}[/mm] und [mm]d_{2}[/mm] = [mm]c_{2}[/mm]
> > gilt (sehr einfach, betrachte einfach wieder n = 1 und n=
> > 2).
> aber reicht es denn wenn ich nur 1 und 2 nehme?? geht das
> weil ich durch 1 und 2 alle nachfolgenden zahlen
> erreiche??
Was meinst du damit? Die Elemente von U sind Folgen, keine Folgenglieder, keine Zahlen. Und es reicht dann logischerweise nicht, nur die Folge [mm] (c_n) [/mm] mit [mm] c_1 [/mm] = 1 und [mm] c_2 [/mm] = 2 zu betrachten, denn es gibt noch viel mehr Folgen in U, z.B. eine mit [mm] c_1 [/mm] = 3 und [mm] c_2 [/mm] = 7.
Grüße,
Stefan
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Hallo
> Ich meine nicht, dass du [mm]"c_{n}[/mm] einmal gleich 1 und dann
> nochmal gleich 2" setzt, sondern n!
> Wir zeigen also zunächst, dass mit der oben angegebenen
> Linearkombination auf jeden Fall die ersten beiden
> Folgenglieder der Folge [mm](c_{n})[/mm] und der Folge
> [mm](c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n})[/mm] übereinstimmen:
>
> n = 1:
>
> [mm]c_{1}*b_{1}[/mm] + [mm]c_{2}*a_{1}[/mm] = [mm]c_{1}*1[/mm] + [mm]c_{2}*0[/mm] = [mm]c_{1}[/mm]
>
> stimmt also!
>
> n = 2 genauso.
also ist n=1 das erste Folgenglieg aus [mm] c_{n} [/mm] und wird mit [mm] c_{1} [/mm] bezwichnet, stimmt das??
> Und nun muss man nur noch argumentieren, dass dann die
> Folgenglieder der Folge [mm](c_{n})[/mm] und der Folge
> [mm](c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n})[/mm] immer übereinstimmen, also für
> jedes [mm]n\in\IN.[/mm]
also erreiche ich durch an bzw. bn alle ungeraden bzw geraden zahlen und wenn die diese dann mit 1 und 2 aus cn verknüpfe erhalte ich wiederum zahlen, welche dann die jeweiligen folgen cn sind, ist das so richtig??
> Was meinst du damit? Die Elemente von U sind Folgen, keine
> Folgenglieder, keine Zahlen. Und es reicht dann
> logischerweise nicht, nur die Folge [mm](c_n)[/mm] mit [mm]c_1[/mm] = 1 und
> [mm]c_2[/mm] = 2 zu betrachten, denn es gibt noch viel mehr Folgen
> in U, z.B. eine mit [mm]c_1[/mm] = 3 und [mm]c_2[/mm] = 7.
da durch an und bn die geraden zahlen (folgen) dargestellt werden, kann ich die 3 und die 7 aus cn damit "herstellen" [mm] (c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n}) [/mm] und erhalte dadurch dann die folge, stimmt das so??
LG
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Hallo!
> also ist n=1 das erste Folgenglieg aus [mm]c_{n}[/mm] und wird mit
> [mm]c_{1}[/mm] bezwichnet, stimmt das??
Ja, das erste Folgenglied von der Folge [mm] (c_{n}) [/mm] wird mit [mm] c_{1} [/mm] bezeichnet.
Aber nicht "n=1" ist das erste Folgenglied, sondern [mm] c_{1} [/mm] ist das erste Folgenglied!
Man setzt eben nur n = 1, um das erste Folgenglied zu erhalten (weil dann [mm] c_{n} [/mm] zu [mm] c_{1} [/mm] wird).
> > Und nun muss man nur noch argumentieren, dass dann die
> > Folgenglieder der Folge [mm](c_{n})[/mm] und der Folge
> > [mm](c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n})[/mm] immer übereinstimmen, also für
> > jedes [mm]n\in\IN.[/mm]
> also erreiche ich durch an bzw. bn alle ungeraden bzw
> geraden zahlen und wenn die diese dann mit 1 und 2 aus cn
> verknüpfe erhalte ich wiederum zahlen, welche dann die
> jeweiligen folgen cn sind, ist das so richtig??
Du meinst: Mit [mm] b_{n} [/mm] = (1,0,...) kannst du alle Folgen erzeugen, deren erstes Folgenglied [mm] c_{1} [/mm] ungleich 0 ist;
mit [mm] a_{n} [/mm] = (0,1,...) kannst du alle Folgen erzeugen, deren zweites Folgenglied [mm] c_{2} [/mm] ungleich 0 ist.
Wenn du nun also [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] als Folgen zur Verfügung hast, kannst du damit beliebige Folgen bilden, die der Regel [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] genuegen.
Du solltest dir klar machen, dass [mm] (b_{n}) [/mm] nicht die Form (1,0,a,0,b,0,c,0,d,0,...) hat, sondern so aussieht: (1,0,1,1,2,3,5,...).
Bei dir klingt es mit den ungeraden und geraden Zahlen so, als würdest du das denken.
> > Was meinst du damit? Die Elemente von U sind Folgen, keine
> > Folgenglieder, keine Zahlen. Und es reicht dann
> > logischerweise nicht, nur die Folge [mm](c_n)[/mm] mit [mm]c_1[/mm] = 1 und
> > [mm]c_2[/mm] = 2 zu betrachten, denn es gibt noch viel mehr Folgen
> > in U, z.B. eine mit [mm]c_1[/mm] = 3 und [mm]c_2[/mm] = 7.
> da durch an und bn die geraden zahlen (folgen) dargestellt
> werden, kann ich die 3 und die 7 aus cn damit "herstellen"
> [mm](c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n})[/mm] und erhalte dadurch dann die
> folge, stimmt das so??
Ja, das klingt schon besser.
Wenn du eine beliebige Folge [mm] c_{n} [/mm] aus U wählst, so kannst du sie aus [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] durch die Linearkombination
[mm] c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n}
[/mm]
bilden. Im Falle [mm] c_{1} [/mm] = 3 und [mm] c_{2} [/mm] = 7 sieht das also so aus:
3*(1,0,1,1,2,3,5,...) + 7*(0,1,1,2,3,5,8,...) = (3,7,10,17,27,44,71,...)
und wie du siehst, kommt genau die Folge [mm] c_{n} [/mm] raus, weil es aufgrund der sehr starken Bedingung [mm] c_{n+2} [/mm] = [mm] c_{n+1} [/mm] + [mm] c_{n} [/mm] gar keine andere Möglichkeit mehr für die Folgenglieder mit n > 2 von [mm] c_{n} [/mm] gibt.
Grüße,
Stefan
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Hey
> Ja, das erste Folgenglied von der Folge [mm](c_{n})[/mm] wird mit
> [mm]c_{1}[/mm] bezeichnet.
> Aber nicht "n=1" ist das erste Folgenglied, sondern [mm]c_{1}[/mm]
> ist das erste Folgenglied!
> Man setzt eben nur n = 1, um das erste Folgenglied zu
> erhalten (weil dann [mm]c_{n}[/mm] zu [mm]c_{1}[/mm] wird).
Aber ich setze doch bei [mm] (c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n}) [/mm] c1 und c2 gleich den beiden n, um die beliebige folge zu bekommen.
Zb. bei 0 4
an*c1+bn*c2 --> an*4 + bn*0 --> 0 4 4 8 12...
Oder nicht
inzwischen versuche ich das mal formal zu beweisen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Sa 09.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hey,
ich hab hier mal einen Versuch...
LG
Pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Hey
> > Ja, das erste Folgenglied von der Folge [mm](c_{n})[/mm] wird mit
> > [mm]c_{1}[/mm] bezeichnet.
> > Aber nicht "n=1" ist das erste Folgenglied, sondern
> [mm]c_{1}[/mm]
> > ist das erste Folgenglied!
> > Man setzt eben nur n = 1, um das erste Folgenglied zu
> > erhalten (weil dann [mm]c_{n}[/mm] zu [mm]c_{1}[/mm] wird).
> Aber ich setze doch bei [mm](c_{1}*b_{n}+c_{2}*a_{n})[/mm] c1 und
> c2 gleich den beiden n, um die beliebige folge zu
> bekommen.
> Zb. bei 0 4
> an*c1+bn*c2 --> an*4 + bn*0 --> 0 4 4 8 12...
> Oder nicht
Hallo,
ich verstehe nicht so recht, was Du hier meinst.
Vielleicht dies:
Du hast die Folge [mm] (c_n) [/mm] mit [mm] c_1:=0, c_2:=4 [/mm] und [mm] c_{n+2}:=c_n+c_{n+1}
[/mm]
Es ist [mm] (c_n)=c_1*(b_n)+c_2*(a_n), [/mm] das stimmt ja, Du kannst es folgengliedweise nachprüfen.
Eine Ursache Deiner Verwirrung mag sein, daß Du nicht gründlich unterscheidest zwischen der Folge [mm] (d_n) [/mm] und ihrem n-ten Folgenglied [mm] d_n.
[/mm]
Zu Deiner Lösung:
ich verstehe nicht, wieso Du sie als Anhang postest, statt sie hier einzutippen. Das ist für diejenigen, die Dir helfen möchten extrem unpraktisch, also nicht sehr entgegenkommend.
Man kann ja nichts dazwischenschreiben, kopieren, markieren...
Die Lösung ist wirr, die Ursache scheint mir auch zu sein, daß Du mit den Begriffen, z.B. Basis, nicht richtig vertraut bist.
Zeigen willst Du ja dies:
Es ist [mm] ((a_n), (b_n)) [/mm] mit
[mm] a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_n+a_{n+1}
[/mm]
[mm] b_1:=1, b_2:=0, b_{n+2}:=b_n+b_{n+1}
[/mm]
eine Basis des Raumes U.
Zu tun ist dazu folgendes:
1. Du mußt zeigen, daß Du mit [mm] (a_n), (b_n) [/mm] jedes Element des Raumes U erzeugen kannst,
also jedes [mm] (c_n)\in [/mm] U schreiben als [mm] (c_n)=\lambda (a_n)+\mu (b_n).
[/mm]
Sei also [mm] (c_n)\in [/mm] U.
Jetzt rechne vor, daß [mm] (c_n)=c_1(b_n)+c_2(a_n),
[/mm]
daß also
[mm] c_1=c_1b_1+c_2a_1
[/mm]
[mm] c_2=c_1b_2+c_2a_2
[/mm]
und [mm] c_{n+2}=c_1b_{n+2}+c_2a_{n+2}
[/mm]
Damit wäre "Erzeugendensystem" gezeigt.
2. [mm] ((a_n),(b_n)) [/mm] ist linear unabhängig.
Dazu mußt Du zeigen, daß aus [mm] \lambda*(a_n)+\mu*(b_n)=(0,0,0,...) [/mm] folgt, daß [mm] \lambda=\mu=0.
[/mm]
Damit hast Du dann die lineare Unabhängigkeit.
Gruß v. Angela
>
> inzwischen versuche ich das mal formal zu beweisen...
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Hallo
> Du hast die Folge [mm](c_n)[/mm] mit [mm]c_1:=0, c_2:=4[/mm] und
> [mm]c_{n+2}:=c_n+c_{n+1}[/mm]
>
> Es ist [mm](c_n)=c_1*(b_n)+c_2*(a_n),[/mm] das stimmt ja, Du kannst
> es folgengliedweise nachprüfen.
>
> Eine Ursache Deiner Verwirrung mag sein, daß Du nicht
> gründlich unterscheidest zwischen der Folge [mm](d_n)[/mm] und
> ihrem n-ten Folgenglied [mm]d_n.[/mm]
Bei meinem, zugegeben, verwirrenden Satz ging es darum , ab auch diese Folge erzeugt werden kann und dass ich quasi 0 und 4 als koeffizienten vor die basis setze und dadruch die gewünschte folge erhalte.
> Zeigen willst Du ja dies:
>
> Es ist [mm]((a_n), (b_n))[/mm] mit
> [mm]a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_n+a_{n+1}[/mm]
> [mm]b_1:=1, b_2:=2, b_{n+2}:=b_n+b_{n+1}[/mm]
>
> eine Basis des Raumes U.
Aber ist nicht
[mm] a_1:=0, a_2:=1, [/mm]
[mm] b_1:=1, b_2:=0, [/mm]
meine basis??
> Zu tun ist dazu folgendes:
> 1. Du mußt zeigen, daß Du mit [mm](a_n), (b_n)[/mm] jedes Element
> des Raumes U erzeugen kannst,
> also jedes [mm](c_n)\in[/mm] U schreiben als [mm](c_n)=\lambda (a_n)+\mu (b_n).[/mm]
ich dachte ich würde durch [mm] (c_n)=\lambda (a_n)+\mu (b_n) [/mm] folgen erzeugen und nicht elemente!?!?
> Damit hast Du dann die lineare Unabhängigkeit.
Lineare Unabhängigkeit ist also, neben dem Beweis, dass alle elemente erreicht werden, alles was ich für den beweis der Basis/Basen brauche, oder??
LG
pythagora
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> > Zeigen willst Du ja dies:
> >
> > Es ist [mm]((a_n), (b_n))[/mm] mit
> > [mm]a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_n+a_{n+1}[/mm]
> > [mm]b_1:=1, b_2:=2, b_{n+2}:=b_n+b_{n+1}[/mm]
>
> >
> > eine Basis des Raumes U.
> Aber ist nicht
> [mm]a_1:=0, a_2:=1,[/mm]
> [mm]b_1:=1, b_2:=0,[/mm]
> meine basis??
Hallo,
was meinst Du damit?
Dein Unterraum enthält als Elemente Folgen.
Also besteht Deine Basis auch aus Folgen.
Nämlich, wie schon festgestellt, aus den beiden oben rekursiv definierten Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n).
[/mm]
>
> > Zu tun ist dazu folgendes:
> > 1. Du mußt zeigen, daß Du mit [mm](a_n), (b_n)[/mm] jedes
> Element
> > des Raumes U erzeugen kannst,
> > also jedes [mm](c_n)\in[/mm] U schreiben als [mm](c_n)=\lambda (a_n)+\mu (b_n).[/mm]
>
> ich dachte ich würde durch [mm](c_n)=\lambda (a_n)+\mu (b_n)[/mm]
> folgen erzeugen und nicht elemente!?!?
Du erzeugst in der Tat Folgen.
Daß die rechte und linke Seite übereinstimmen, die Folge rechts also dieselbe ist wie die links, zeigst Du, indem Du zeigst, daß sämtliche Folgenglieder der rechten mit denen der linken Folge übereinstimmen.
>
> > Damit hast Du dann die lineare Unabhängigkeit.
> Lineare Unabhängigkeit ist also, neben dem Beweis, dass
> alle elemente erreicht werden, alles was ich für den
> beweis der Basis/Basen brauche, oder??
Ja.
Gruß v. Angela
> LG
> pythagora
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:10 Sa 09.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo!
also ich denke, dass [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] mit [mm] a_{0}=0 [/mm] und [mm] a_{1}=1 [/mm] sowie [mm] b_{0}=1 [/mm] und [mm] b_{1}=0 [/mm] die Basis ergeben, denn durch [mm] (c_{m}=c_{1}\cdot{}a_{n}+c_{2}\cdot{}b_{n}) [/mm] kann ich ja somit alle möglichen folgen bekommen, oder nicht??
Allerdings macht mir der Beweis schwierigkeiten, ich habe das schon für ein paar folgen probiert und es geht, aber wie mache ich das allgemein?
Hat jemand einen Tipp für mich?? Ich würde mich sehr freuen..
LG
pythagora
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> Hallo!
> also ich denke, dass [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] mit [mm]a_{0}=0[/mm] und
> [mm]a_{1}=1[/mm] sowie [mm]b_{0}=1[/mm] und [mm]b_{1}=0[/mm] die Basis ergeben, denn
> durch [mm](c_{m}=c_{1}\cdot{}a_{n}+c_{2}\cdot{}b_{n})[/mm] kann ich
> ja somit alle möglichen folgen bekommen, oder nicht??
> Allerdings macht mir der Beweis schwierigkeiten, ich habe
> das schon für ein paar folgen probiert und es geht, aber
> wie mache ich das allgemein?
>
> Hat jemand einen Tipp für mich?? Ich würde mich sehr
> freuen..
Hallo,
ich hatte Dir doch schon recht genau hingeschrieben, wie der Beweis anzufangen ist.
Beziehe Dich bitte direkt darauf und sag, an welcher Stelle Du ratlos bist.
Gruß v. Angela
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Hallo
danke erstmal für die antwort^^
> Zeigen willst Du ja dies:
>
> Es ist [mm]((a_n), (b_n))[/mm] mit
> [mm]a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_n+a_{n+1}[/mm]
> [mm]b_1:=1, b_2:=2, b_{n+2}:=b_n+b_{n+1}[/mm]
genau hier ist bei mir das problem, ich dachte, dass ich mit [mm] a_1:=0, a_2:=1 [/mm] und mit [mm] a_1:=1, a_2:=0 [/mm] alle Folgen erzeugen würde!?! So habe ich es auch von anderen hier erklärt bekommen!?! Kannst du mir helfen??
> Zu tun ist dazu folgendes:
> 1. Du mußt zeigen, daß Du mit [mm](a_n), (b_n)[/mm] jedes Element
> des Raumes U erzeugen kannst,
> also jedes [mm](c_n)\in[/mm] U schreiben als [mm](c_n)=\lambda (a_n)+\mu (b_n).[/mm]
>
> Sei also [mm](c_n)\in[/mm] U.
> Jetzt rechne vor, daß [mm](c_n)=c_1(b_n)+c_2(a_n),[/mm]
> daß also
>
> [mm]c_1=c_1b_1+c_2a_1[/mm]
> [mm]c_2=c_1b_2+c_2a_2[/mm]
> und [mm]c_{n+2}=c_1b_{n+2}+c_2a_{n+2}[/mm]
ich verstehe nicht wieso das so gilt?? woher weiß ich, dass das geht (also auf die letzten 3 Zeilen bezogen)?? Warum ist z:b. [mm] c_1=c_1b_1+c_2a_1??
[/mm]
LG
pythagora
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> Hallo
> danke erstmal für die antwort^^
>
> > Zeigen willst Du ja dies:
> >
> > Es ist [mm]((a_n), (b_n))[/mm] mit
> > [mm]a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_n+a_{n+1}[/mm]
> > [mm]b_1:=1, b_2:=2, b_{n+2}:=b_n+b_{n+1}[/mm]
>
> genau hier ist bei mir das problem, ich dachte, dass ich
> mit [mm]a_1:=0, a_2:=1[/mm] und mit [mm]b_1:=1, b_2:=0[/mm] alle Folgen
> erzeugen würde!?! So habe ich es auch von anderen hier
> erklärt bekommen!?! Kannst du mir helfen??
Hallo,
[mm] a_1:=0, a_2:=1 [/mm] sind doch nur zwei Gleider der Folge [mm] (a_n).
[/mm]
Die Vorschrift, wie man die anderen Folgengleider dieser Folge erhält, ist [mm] a_{n+2}:=a_n+a_{n+1}.
[/mm]
Ebenso für [mm] (b_n).
[/mm]
Und mit diesen beiden Folgen, mit [mm] (a_n)=(0,1,1,2,3,5,8,13,...) [/mm] und [mm] (b_n)=(1,0,1,1,2,3,5,8,...), [/mm] kannst Du tatsächlich alle Folgen [mm] (c_n)\in [/mm] U erzeugen.
Was dazu zu tun ist, beschreibe ich hier:
>
> > Zu tun ist dazu folgendes:
> > 1. Du mußt zeigen, daß Du mit [mm](a_n), (b_n)[/mm] jedes
> Element
> > des Raumes U erzeugen kannst,
> > also jedes [mm](c_n)\in[/mm] U schreiben als [mm](c_n)=\lambda (a_n)+\mu (b_n).[/mm]
>
> >
> > Sei also [mm](c_n)\in[/mm] U.
> > Jetzt rechne vor, daß [mm](c_n)=c_1(b_n)+c_2(a_n),[/mm]
> > daß also
> >
> > [mm]c_1=c_1b_1+c_2a_1[/mm]
> > [mm]c_2=c_1b_2+c_2a_2[/mm]
> > und [mm]c_{n+2}=c_1b_{n+2}+c_2a_{n+2}[/mm]
> > und [mm]c_{n+2}=c_1b_{n+2}+c_2a_{n+2}[/mm]
> ich verstehe nicht wieso das so gilt?? woher weiß ich,
> dass das geht (also auf die letzten 3 Zeilen bezogen)??
> Warum ist z:b. [mm]c_1=c_1b_1+c_2a_1??[/mm]
Das mußt Du ausrechnen:
Nach Def. der Addition von Folgen ist doch [mm] c_1(b_n)+c_2(a_n)=(c_1b_n+c_2a_n).
[/mm]
Wir wollen also zeigen: [mm] (c_n)=(c_1b_n+c_2a_n),
[/mm]
d.h. es ist [mm] c_n=c_1b_n+c_2a_n [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Achso, ich glaube, jetzt wird mir klar, was ich versäumt habe zu sagen:
wir machen eine Induktion, weil wir bei der rekursiven Definition der Folgen nicht nur auf den Vorgänger, sondern auch auf den Vorvorgänger zurückgreifen, müssen wir den Induktionsanfang für zwei aufeinanderfolgende Zahlen machen.
Induktionsanfang:
Jetzt gucken wir, ob die Aussage für n=1 und n=2 stimmt.
[mm] c_1b_1+c_2a_1=c_1*1+c_2*0=c_1. [/mm] Stimmt also.
[mm] c_2 [/mm] rechnet man genauso nach.
Induktionsvoraussetzung:
es gelte
[mm] c_n=c_1b_n +c_2a_n
[/mm]
und
[mm] c_{n+1}=c_1b_{n+1}+c_2a_{n+1} [/mm] für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
Induktionsschluß:
Beh..
Dann ist [mm] c_{n+2}=c_1b_{n+2}+c_2a_{n+2} [/mm]
Bew.:
Da [mm] (c_n)\in [/mm] U ist
[mm] c_{n+1}=c_{n+1}+c_n
[/mm]
= nun die Induktionsvoraussetzung und dann weiter.
Gruß v. Angela
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Hallo,
> > > Zeigen willst Du ja dies:
> > >
> > > Es ist [mm]((a_n), (b_n))[/mm] mit
> > > [mm]a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_n+a_{n+1}[/mm]
> > > [mm]b_1:=1, b_2:=2, b_{n+2}:=b_n+b_{n+1}[/mm]
>
> >
> > genau hier ist bei mir das problem, ich dachte, dass ich
> > mit [mm]a_1:=0, a_2:=1[/mm] und mit [mm]b_1:=1, b_2:=0[/mm] alle Folgen
> > erzeugen würde!?! So habe ich es auch von anderen hier
> > erklärt bekommen!?! Kannst du mir helfen??
>
> Hallo,
>
> [mm]a_1:=0, a_2:=1[/mm] sind doch nur zwei Gleider der Folge [mm](a_n).[/mm]
> Die Vorschrift, wie man die anderen Folgengleider dieser
> Folge erhält, ist [mm]a_{n+2}:=a_n+a_{n+1}.[/mm]
> Ebenso für [mm](b_n).[/mm]
das ist klar aber ich meinte
> > > [mm]b_1:=1, b_2:=2, b_{n+2}:=b_n+b_{n+1}[/mm]
ich glaube aber nach dem, was Du gerde geschrieben hast meinstest du
[mm] b_1:=1, b_2:=0 [/mm] ...
> Und mit diesen beiden Folgen, mit
> [mm](a_n)=(0,1,1,2,3,5,8,13,...)[/mm] und
> [mm](b_n)=(1,0,1,1,2,3,5,8,...),[/mm] kannst Du tatsächlich alle
> Folgen [mm](c_n)\in[/mm] U erzeugen.
> Was dazu zu tun ist, beschreibe ich hier:
>
> >
> > > Zu tun ist dazu folgendes:
> > > 1. Du mußt zeigen, daß Du mit [mm](a_n), (b_n)[/mm] jedes
> > Element
> > > des Raumes U erzeugen kannst,
> > > also jedes [mm](c_n)\in[/mm] U schreiben als [mm](c_n)=\lambda (a_n)+\mu (b_n).[/mm]
>
> >
> > >
> > > Sei also [mm](c_n)\in[/mm] U.
> > > Jetzt rechne vor, daß [mm](c_n)=c_1(b_n)+c_2(a_n),[/mm]
> > > daß also
> > >
> > > [mm]c_1=c_1b_1+c_2a_1[/mm]
> > > [mm]c_2=c_1b_2+c_2a_2[/mm]
> > > und [mm]c_{n+2}=c_1b_{n+2}+c_2a_{n+2}[/mm]
> > > und [mm]c_{n+2}=c_1b_{n+2}+c_2a_{n+2}[/mm]
>
>
> > ich verstehe nicht wieso das so gilt?? woher weiß ich,
> > dass das geht (also auf die letzten 3 Zeilen bezogen)??
> > Warum ist z:b. [mm]c_1=c_1b_1+c_2a_1??[/mm]
>
> Das mußt Du ausrechnen:
>
> Nach Def. der Addition von Folgen ist doch
> [mm]c_1(b_n)+c_2(a_n)=(c_1b_n+c_2a_n).[/mm]
>
> Wir wollen also zeigen: [mm](c_n)=(c_1b_n+c_2a_n),[/mm]
>
> d.h. es ist [mm]c_n=c_1b_n+c_2a_n[/mm] für alle [mm]n\in \IN.[/mm]
>
>
> Achso, ich glaube, jetzt wird mir klar, was ich versäumt
> habe zu sagen:
>
> wir machen eine Induktion, weil wir bei der rekursiven
> Definition der Folgen nicht nur auf den Vorgänger, sondern
> auch auf den Vorvorgänger zurückgreifen, müssen wir den
> Induktionsanfang für zwei aufeinanderfolgende Zahlen
> machen.
>
> Induktionsanfang:
>
> Jetzt gucken wir, ob die Aussage für n=1 und n=2 stimmt.
>
> [mm]c_1b_1+c_2a_1=c_1*1+c_2*0=c_1.[/mm] Stimmt also.
>
> [mm]c_2[/mm] rechnet man genauso nach.
>
>
> Induktionsvoraussetzung:
>
> es gelte
> [mm]c_n=c_1b_n +c_2a_n[/mm]
> und
> [mm]c_{n+1}=c_1b_{n+1}+c_2a_{n+1}[/mm] für ein [mm]n\in \IN[/mm]
>
> Induktionsschluß:
> Beh..
> Dann ist [mm]c_{n+2}=c_1b_{n+2}+c_2a_{n+2}[/mm]
>
> Bew.:
> Da [mm](c_n)\in[/mm] U ist
>
> [mm]c_{n+1}=c_{n+1}+c_n[/mm]
>
> = nun die Induktionsvoraussetzung und dann weiter.
Ok, ich versuchs mal..
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> ich glaube
> aber nach dem, was Du gerde geschrieben hast meinstest du
> [mm]b_1:=1, b_2:=0[/mm] ...
Oh, natürlich!
Tut mir leid, daß ich Dich damit verwirrt habe.
Gruß v Angela
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Kein Problem, hat sich ja jetzt geklärt; das hatte meine Gedanken nur über den Haufen geworfen; ich hab den Induktionsbeweis gemacht, allerdings hab ich leider keine Zeit den hier einzutippen, d.h. ich schreibe das immer in Word, aber ich würde gerne wissen, ob das so geht. SORRY...
Kannst Du trotzdem mal gucken, ob das so stimmt, oder ob da nch irgendwo ne Lücke ist??? Vielen lieben Dank..
Ich muss dann ja nur nich lineare unabhängigkeit zeigen und dann habe ich die Basis, oder?? ist es eigentlich eine Basis oder sind es 2, weil ich doch eigentlich [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] habe??
LG
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Kein Problem, hat sich ja jetzt geklärt; das hatte meine
> Gedanken nur über den Haufen geworfen; ich hab den
> Induktionsbeweis gemacht, allerdings hab ich leider keine
> Zeit den hier einzutippen, d.h. ich schreibe das immer in
> Word, aber ich würde gerne wissen, ob das so geht.
> SORRY...
> Kannst Du trotzdem mal gucken, ob das so stimmt, oder ob
> da nch irgendwo ne Lücke ist??? Vielen lieben Dank..
Hallo,
ich habe drübergeguckt, die Rechnungen als solche stimmen soweit, es sieht so aus, als hättest Du es jetzt verstanden.
Anzumerken wären nur ein paar Kleinigkeiten.
>
> Ich muss dann ja nur nich lineare unabhängigkeit zeigen
> und dann habe ich die Basis, oder??
ja.
> ist es eigentlich eine
> Basis oder sind es 2, weil ich doch eigentlich [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]
> habe??
Es ist eine Basis, welche aus den beiden Vektoren [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] besteht.
Damit kennst Du auch die Dimension des Raumes U.
Gruß v. Angela
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Hallo
> ich habe drübergeguckt, die Rechnungen als solche stimmen
> soweit, es sieht so aus, als hättest Du es jetzt
> verstanden.
jaaa^^, vielen dank nochmal
> Anzumerken wären nur ein paar Kleinigkeiten.
>
> >
> > Ich muss dann ja nur nich lineare unabhängigkeit zeigen
> > und dann habe ich die Basis, oder??
>
> ja.
gut, ich arbeite dran
>
> > ist es eigentlich eine
> > Basis oder sind es 2, weil ich doch eigentlich [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]
> > habe??
>
> Es ist eine Basis, welche aus den beiden Vektoren [mm](a_n)[/mm] und
> [mm](b_n)[/mm] besteht.
>
> Damit kennst Du auch die Dimension des Raumes U.
dim(U) = Anzahl der Elemente der Basis, ja?
Und die elemente sind [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] oder 0 und 1?? Also sind die vektoren die Elemente der basis ??oder die Elemente in den vektoren??
LG
pythagora
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> > > ist es eigentlich eine
> > > Basis oder sind es 2, weil ich doch eigentlich [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]
> > > habe??
> >
> > Es ist eine Basis, welche aus den beiden Vektoren [mm](a_n)[/mm] und
> > [mm](b_n)[/mm] besteht.
> >
> > Damit kennst Du auch die Dimension des Raumes U.
> dim(U) = Anzahl der Elemente der Basis, ja?
Ja.
> Und die elemente sind [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] oder 0 und 1?? Also sind
> die vektoren die Elemente der basis ??oder die Elemente in
> den vektoren??
Hallo,
paß auf: wenn die Elemente Deines Vektorraumes Türklinken sind, dann besteht auch die Basis des Vektorraumes aus Türklinken.
Sind die Elemente Deines Vektorraumes Katzen, dann besteht auch die Basis aus Katzen.
Sind die Elemente Deines Vektorraumes Folgen, dann besteht auch die Basis aus Folgen.
Deine Basiselemente sind weder [mm] a_n [/mm] (also das n-te Folgenglied von [mm] a_n) [/mm] noch [mm] b_n [/mm] (das n-te Folgenglied von [mm] b_n), [/mm] nicht die Zahl 0 und auch nicht die Zahl 1.
Die beiden Elemente Deiner Basis sind die beiden Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n), [/mm] welche durch
[mm] a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_{n+1}+a_n [/mm]
und (für [mm] (b_n) [/mm] entsprechend )
definiert sind.
Diese Definition ist die Bastelanleitung für die beiden Folgen, wir haben sie ja vorhin schonaml aufzählend geschrieben:
[mm] (b_n)=(1,0,1,1,2,3,5,8,...).
[/mm]
[mm] (a_n)= [/mm] entsprechend.
Gruß v. Angela
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Hallo,
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> > > > ist es eigentlich eine
> > > > Basis oder sind es 2, weil ich doch eigentlich [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]
> > > > habe??
> > >
> > > Es ist eine Basis, welche aus den beiden Vektoren [mm](a_n)[/mm] und
> > > [mm](b_n)[/mm] besteht.
> > >
> > > Damit kennst Du auch die Dimension des Raumes U.
> > dim(U) = Anzahl der Elemente der Basis, ja?
>
> Ja.
>
> > Und die elemente sind [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] oder 0 und 1?? Also sind
> > die vektoren die Elemente der basis ??oder die Elemente in
> > den vektoren??
>
> Hallo,
>
> paß auf: wenn die Elemente Deines Vektorraumes Türklinken
> sind, dann besteht auch die Basis des Vektorraumes aus
> Türklinken.
>
> Sind die Elemente Deines Vektorraumes Katzen, dann besteht
> auch die Basis aus Katzen.
>
> Sind die Elemente Deines Vektorraumes Folgen, dann besteht
> auch die Basis aus Folgen.
>
>
> Deine Basiselemente sind weder [mm]a_n[/mm] (also das n-te
> Folgenglied von [mm]a_n)[/mm] noch [mm]b_n[/mm] (das n-te Folgenglied von
> [mm]b_n),[/mm] nicht die Zahl 0 und auch nicht die Zahl 1.
>
> Die beiden Elemente Deiner Basis sind die beiden Folgen
> [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n),[/mm] welche durch
>
> [mm]a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_{n+1}+a_n[/mm]
> und (für [mm](b_n)[/mm] entsprechend )
> definiert sind.
> Diese Definition ist die Bastelanleitung für die beiden
> Folgen, wir haben sie ja vorhin schonaml aufzählend
> geschrieben:
>
> [mm](b_n)=(1,0,1,1,2,3,5,8,...).[/mm]
> [mm](a_n)=[/mm] entsprechend.
>
Also sind die Elemente der Basis [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] und dim(U) wäre somit 2, sehe ich das richtig???
Wenn ja, muss ich das mit der dimension noch irgendwie formal zeigen?? denn eigentlich weiß ich ja schon wie viele elemente es sind, oder??
LG
pythagora
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> > Die beiden Elemente Deiner Basis sind die beiden Folgen
> > [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n),[/mm] welche durch
> >
> > [mm]a_1:=0, a_2:=1, a_{n+2}:=a_{n+1}+a_n[/mm]
> > und (für [mm](b_n)[/mm] entsprechend )
> > definiert sind.
> > Diese Definition ist die Bastelanleitung für die
> beiden
> > Folgen, wir haben sie ja vorhin schonaml aufzählend
> > geschrieben:
> >
> > [mm](b_n)=(1,0,1,1,2,3,5,8,...).[/mm]
> > [mm](a_n)=[/mm] entsprechend.
> >
> Also sind die Elemente der Basis [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] und dim(U)
> wäre somit 2, sehe ich das richtig???
> Wenn ja, muss ich das mit der dimension noch irgendwie
> formal zeigen?? denn eigentlich weiß ich ja schon wie
> viele elemente es sind, oder??
Hallo,
wenn Du gezeigt hast, daß [mm] ((a_n), (b_n)) [/mm] eine Basis ist, brauchst Du nur noch zu sagen: also ist die Dimension von U gleich 2.
Zeigen mußt Du dann nichts mehr.
Gruß v. Angela
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Hey^^
ich hab jetzt das dritte Kriterium gemacht, ist das so richtig??
Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich beim blauen Punkt oder beim roten beginnen soll?? Welcher anfang ist besser??
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
dein Beweis hat die richtige Beweisidee, aber die Notation und das Vorgehen "nimmt dir keiner ab". Damit meine ich, dass du es zu umständlich machst und auch diverse Schreibweisen wie
[mm] \lambda*(a_{n} [/mm] = [mm] a_{n-2}-a_{n-1}) \in [/mm] U
weder besonders schön, und in diesem Fall nicht mal richtig sind, du weißt doch noch gar nicht, dass die betreffende Folge in U drin ist.
Der Beweis ist sehr einfach:
Sei [mm] $(a_{n})\in [/mm] U, [mm] \lambda\in \IR$. [/mm] Wegen [mm] (a_{n})\in [/mm] U gilt
[mm] $a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda*a_{n+2} [/mm] = [mm] \lambda*(a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}) \overset{Distr.}{=} \lambda*a_{n+1} [/mm] + [mm] \lambda*a_{n}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Das bedeutet aber gerade, dass [mm] (\lambda*a_{n}) [/mm] = [mm] \lambda*(a_{n})\in [/mm] U.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Fr 08.01.2010 | | Autor: | pythagora |
ok, danke, so ist es wirklich übersichtlicher, das sah bei mir auch irgendwie umständlich aus^^
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hey, noch mal ein kurzer einwurf..
> 1) [mm]0\in U[/mm], wobei 0 der Nullvektor ist, das ist hier die
> Nullfolge [mm](a_n)_{n\in\IN}=(0)_{\n\in\IN}[/mm].
>
> Für die gilt ja sicher
> [mm]\underbrace{a_{n+2}}_{=0}=\underbrace{a_{n+1}}_{=0}+\underbrace{a_{n}}_{=0}[/mm]
wieso zeige ich, dass die 0 in U ist ?? ich muss doch eigentlich zeigen, dass U nicht leer ist oder?? Ist die Nullfolge immer in U, deshalb??
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Hey..soweit ich weiß muss der Nullvektor immer in einem Unterraum vorhanden sein. In deinem Fall muss, dass die Nullfolge sein..deshalb musst du das nachweisen
LG Schmetterfee
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> hey, noch mal ein kurzer einwurf..
>
>
> > 1) [mm]0\in U[/mm], wobei 0 der Nullvektor ist, das ist hier die
> > Nullfolge [mm](a_n)_{n\in\IN}=(0)_{\n\in\IN}[/mm].
> >
> > Für die gilt ja sicher
> >
> [mm]\underbrace{a_{n+2}}_{=0}=\underbrace{a_{n+1}}_{=0}+\underbrace{a_{n}}_{=0}[/mm]
> wieso zeige ich, dass die 0 in U ist ?? ich muss doch
> eigentlich zeigen, dass U nicht leer ist oder??
Hallo,
zunächst einmal kommt es wirklich nur darauf an, daß U nichtleer ist.
Dafür könnte ich auch die Folge (7, 5, 12,17,29,46,...) ins Feld führen, das wäre genauso richtig wie mit der Nullfolge zu wedeln.
Da aber die Null in jedem VR enthalten sein muß (warum?), ist es geschickt, wenn man die Bedingung "nichtleer" gleich mit dem Nullvektor prüft - falls er nämlich nicht drin ist, kann man sich den Rest der Unterraumbetrachtungen gleich sparen.
Gruß v. Angela
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