Folgen, Menge Komplexen Zahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | Sei [mm] (s_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IC [/mm] und sei [mm] (o_n) [/mm] durch [mm] o_n=\bruch{1}{n}(s_1+s_2+\cdots+s_n) [/mm] für alle natürlichen Zahlen n gegeben. Zeigen sie, dass
a) Die Folge [mm] (o_n) [/mm] konvergiert gegen s, falls [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n=s [/mm] gilt.
b) Folgt die Konvergenz von [mm] (s_n) [/mm] aus der Konvergenz von [mm] (o_n) [/mm] oder existiert ein Gegenbeispiel zu dieser Behauptung? |
Hallo Hilfe:
Wieso ist es wichtig, dass die Folgen in [mm] \IC [/mm] snd? Was verändert sich?
zu a) wie wirkt sich die konvergenz von [mm] s_n [/mm] auf [mm] o_n [/mm] aus?
zu b) Ist das Gegenbeispiel, dass [mm] s_n [/mm] eine konstante Folge ist? Also [mm] s_n=s
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
> Wieso ist es wichtig, dass die Folgen in [mm]\IC[/mm] snd? Was
> verändert sich?
Eigentlich nicht viel. Die "normale" Definition mit
[mm]|a_n - a| < \varepsilon[/mm] bleibt identisch, andererseits kann man auch einfach Real- und Imaginärteil gertrennt betrachten und es muss gelten:
[mm]Re(a_n) \to Re(a)[/mm] und [mm]Im(a_n) \to Im(a)[/mm]
Also eigentlich nix wildes, nur wenn man etwas für [mm] \IC [/mm] zeigen kann, warum sollte man es dann nicht tun 
> zu a) wie wirkt sich die konvergenz von [mm]s_n[/mm] auf [mm]o_n[/mm] aus?
Erstmal vorweg: Bist du sicher, dass deine Definition von [mm] o_n [/mm] korrekt ist?
Irgendwie stimmt der Satz dann nämlich nicht (wähle [mm] s_n [/mm] = 1).
> zu b) Ist das Gegenbeispiel, dass [mm]s_n[/mm] eine konstante Folge
> ist? Also [mm]s_n=s[/mm]
Fürs Gegenbeispiel brauchst du also eine Folge, die nicht konvergiert, das tut sie in deinem Beispiel aber.
Wie oben beschrieben würde eine Konstante Folge aber den Satz aus a) widerlegen, insofern ist die ganze Aufgabe komisch.
Generell kannst du fürs Gegenbeispiel natürlich eine Folge aus [mm] \IR [/mm] nehmen, da jede Folge in [mm] \IR [/mm] automatisch eine Folge in [mm] \IC [/mm] ist.
Anbieten tun sich bei solchen Aufgaben dann immer Sprungfolgen die nur zwischen bestimmten Werten hin und herhüpfen, weil man die gut abschätzen kann.
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
[mm] (o_n) [/mm] idt definitiv richtig so:
[mm] o_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{n}(s_1+s_2+\cdots+s_n)
[/mm]
wäre dann [mm] s_n=1 [/mm] nicht gleich das Gegenbeispiel zu b?
|
|
|
| |
|
Ah entschuldige!
Ich hatte einen Denkfehler drin, [mm] o_n [/mm] konvergiert natürlich, wenn [mm] s_n [/mm] konstant 1 ist. Verzeihung.
Dann ist [mm] o_n [/mm] ebenfalls konstant 1..... nunja, weiter im Text.
> wäre dann [mm]s_n=1[/mm] nicht gleich das Gegenbeispiel zu b?
Und nein, weil du ja ein Gegenbeispiel zur Umkehrung von a) finden sollst. Die Umkehrung von a) wäre: Wenn [mm] o_n [/mm] konvergiert, konvergiert auch [mm] s_n.
[/mm]
Insofern müsstest du ein [mm] s_n [/mm] finden, so dass [mm] o_n [/mm] konvergiert, [mm] s_n [/mm] aber NICHT.
Also kannst du keine konstante Folge nehmen, denn die konvergiert gegen den konstanten Wert.
Hast denn für a) eine Beweisidee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
Um ehrlich zu sein habe ich noch keine Idee für a), aber ich arbeite gerade daran...wenn ich was habe erfährst du es als erster...
|
|
|
| |
|
Versuche mal zu zeigen, dass [mm] o_n [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Was weisst du dann über [mm] o_n?
[/mm]
Wäre meine erste Idee gewesen, aber wenn du eine andere hast, nur zu 
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
das [mm] (o_n) [/mm] ein CAUCHY-Folge ist, kann ich ja schon alleine Sagen, weil [mm] (o_n) [/mm] ja konvergent sein soll.
oder meinst du das genau andersherum? Soll ich beweisen, dass es eine Cauchy-Folge ist und daraus schließen, [mm] dass(o_n) [/mm] konvergent ist?
|
|
|
| |
|
Naja, du sollst ja zeigen, dass aus der Konvergenz von [mm] s_n [/mm] die Konvergenz von [mm] o_n [/mm] folgt.
Einfacher dürfte es imho aber sein, dass [mm] o_n [/mm] Cauchy ist und daraus dann messerscharf schliessen, dass sie konvergiert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
also Definiion von Cauchy-Folgen ist:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N\in\IN: \forall \bruch{n,m\in\IN}{n,m>N}:|o_n [/mm] - [mm] o_m|<\varepsilon
[/mm]
d.h. [mm] |\bruch{1}{n}(s_1+s_2+\cdots+s_n)-\bruch{1}{m}(s_1+s_2+\cdots+s_m)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{m})(s_1+s_2+\cdots+s_n)-(\bruch{1}{m})(s_(n+1)+s_(n+2)+\cdots+s_m)|<\varepsilon
[/mm]
wirklich weiter komme ich nicht
|
|
|
| |
|
Hm.... es geht doch einfacher, du sollst ja zeigen, dass [mm] o_n [/mm] GEGEN s konvergiert (hatte ich übersehen), das geht meistens direkt über die Definition, also sollst du zeigen, dass gilt:
[mm]\forall\varepsilon\text{ }\exists n_0\text{ }\forall n\ge n_0:\text{ }|o_n - s| < \varepsilon[/mm]
Betrachten wir also:
[mm]|o_n - s| = |\frac{1}{n}(s_1 + \cdots + s_n) - s| = \frac{1}{n}|s_1 + \ldots + s_n - ns|
\le \frac{1}{n}(|s_1 - s| + |s_2 - s| + \ldots + |s_n - s|) = \frac{1}{n}\summe_{k=1}^{n}|s_k-s|[/mm]
Weil ich dich ein bissl verwirrt hab, helf ich nen bissl mehr.
Wir wissen: [mm]s_n \to s[/mm]
Zu gegebenem [mm] \varepsilon [/mm] wähle [mm] n_0 [/mm] so, dass ab [mm] n_0 [/mm] gilt [mm]|s_n - s| < \varepsilon[/mm]
Setze [mm]c := \max_{1\le k \le n0}|s_k - s|[/mm]
Dann gilt:
[mm]|o_n - s| \le \frac{1}{n}\summe_{k=1}^{n}|s_k-s| [/mm]
[mm]= \bruch{1}{n} \left(\summe_{k=1}^{n_0-1}|s_k-s| + \summe_{k=n_0}^{n}|s_k-s|\right)[/mm]
[mm]\le \frac{1}{n}\left(\summe_{k=1}^{n_0-1}c + \summe_{k=n_0}^{n}\varepsilon\right)[/mm]
[mm]=\frac{n_0*c}{n} + \frac{(n-n0)\varepsilon}{n}[/mm]
Schaffst die restliche Begründungen alleine?
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
super...danke dir
|
|
|
|
