Folgen Konvergenz & Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Prüfen sie auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert der Folgen an.
a)
[mm] \bruch{2(2n + 3) n^n (3n-1)^3}{3(2n - 5)^2 (n + e)^n (4n + 5)^2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | b)
[mm] \wurzel{n^4 - 6n^3 + 7n + 5} [/mm] - [mm] n^2 [/mm] + 3n |
Hi zusammen,
vorne Weg. Ich komme mit Folgen einfach nicht zurecht.
Sie ganz leichten, wo man nur mit n hoch irgendwas dividiert bekomme ich noch hin aber dann hörts auch schon auf.
Ich habe bei a) mal also mögliches aufgelöst (^3 und ^2 usw.). Weiter hat mich das jedoch nicht.
Ich denke mal irgendwas muss mit [mm] n^n [/mm] und [mm] (n+e)^n [/mm] passieren und dann könnte es einfacher werden. Nur was weiß ich nicht.
zu b)
Hier habe ich nicht mal den kleinsten Ansatz.
Habe ich im Internet nach Beispielaufgaben gesucht, an Hand denen ich mir das ganze selbst bei bringen könnte. Jedoch wie man sieht ohne Erfolg.
Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen was ich zu machen habe um zukünftig solche Aufgaben lösen zu können ?
Danke schonmal für die Hilfe im voraus
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Hallo Bindl!
Erweitere den Ausdruck mit [mm] $\left( \ \wurzel{n^4 - 6n^3 + 7n + 5} \ \red{+} \ n^2 \ \red{-} \ 3n \ \right)$ [/mm] und fasse zusammen.
Im neu entstehenden Nenner dann [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern und kürzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
das hatte ich schon gemacht.
Dann habe ich folgendes:
[mm] \bruch{n^4 - 6n^3 + 7n + 5 - n^4 - 3n^3 + 3n^3 + 9n^2}{\wurzel{n^4 - 6n^3 + 7n +5} + n^2 +3n}
[/mm]
[mm] =\bruch{-6n^3 + 9n^2 + 7n + 5}{bleibt}
[/mm]
Wieso klammer ich da im Nenner [mm] n^2 [/mm] aus ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Hi,
>
> das hatte ich schon gemacht.
> Dann habe ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{n^4 - 6n^3 + 7n + 5 - n^4 - 3n^3 + 3n^3 + 9n^2}{\wurzel{n^4 - 6n^3 + 7n +5} + n^2 +3n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-6n^3 + 9n^2 + 7n + 5}{bleibt}[/mm]
>
> Wieso klammer ich da im Nenner [mm]n^2[/mm] aus ?
Weil du [mm] \sqrt{n^2}=? [/mm] benutzen sollst!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Habe mit dem Hinweiß nicht was anfangen können aber ich versuch mal was.
Nenner:
[mm] n^2(\wurzel{n^2 - 6n + \bruch{7}{n}+ \bruch{5}{n^2}} [/mm] + 1 + [mm] \bruch{3}{n}
[/mm]
Denke mal das wird nicht richtig sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Habe mit dem Hinweiß nicht was anfangen können aber ich
> versuch mal was.
>
> Nenner:
> [mm]n^2(\wurzel{n^2 - 6n + \bruch{7}{n}+ \bruch{5}{n^2}}[/mm] + 1 +
> [mm]\bruch{3}{n}[/mm]
>
> Denke mal das wird nicht richtig sein.
Zunächst einmal gilt:
[mm] \sqrt{n^4-6n^3+7n+5}-n^2+3n=\sqrt{n^4-6n^3+7n+5}-(n^2-3n)=\sqrt{n^4-6n^3+7n+5}-(n^2-3n)*\frac{\sqrt{n^4-6n^3+7n+5}+(n^2-3n)}{\sqrt{n^4-6n^3+7n+5}+(n^2-3n)}=\ldots=\frac{-9n^2+7n+5}{\sqrt{n^4-6n^3+7n+5}+n^2-3n}
[/mm]
Jetzt nochmal du!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Ok das [mm] -n^2+3n [/mm] = [mm] -(n^2-3n) [/mm] habe ich nicht beachtet.
Jetzt habe ich auch im Zähler [mm] -9n^2 [/mm] + 7n + 5
[mm] \bruch{-9n^2 + 7n + 5}{n^2(\wurzel{n^2 - 6n + \bruch{7}{n} + \bruch{5}{n}} -1 + \bruch{3}{n}}
[/mm]
Jetzt mit [mm] n^2 [/mm] kürzen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Also nachdem ich im Nenner nochmal [mm] n^2 [/mm] ausklammer habe ich folgendes:
[mm] \bruch{-9n^2 - 7n + 5}{1 + n^2 - 3n} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(-9 - \bruch{7}{n} + \bruch{5}{n^2})}{n^2(1 - \bruch{3}{n} + \bruch{1}{n^2})}
[/mm]
[mm] =\bruch{-9}{1} [/mm] = -9
Ist das richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Also nachdem ich im Nenner nochmal [mm]n^2[/mm] ausklammer habe ich
> folgendes:
>
> [mm]\bruch{-9n^2 - 7n + 5}{1 + n^2 - 3n}[/mm] = [mm]\bruch{n^2(-9 - \bruch{7}{n} + \bruch{5}{n^2})}{n^2(1 - \bruch{3}{n} + \bruch{1}{n^2})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-9}{1}[/mm] = -9
>
> Ist das richtig ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
1. Im Zähler muss stehen: [mm] -9n^2+7n+5
[/mm]
2. Wo ist die Wurzel hin?
3. Da fehlen wieder Grenzwertbeschreibungen!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Ok Ich habe auch [mm] -9n^2 [/mm] + 7n + 5 habe - geschrieben
aus
[mm] \wurzel{1 - 6/n + 7/n^3 + 5/n^4} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] - 3n
kann ich doch für n-> unendlich 1 + [mm] n^2 [/mm] - schreiben oder nicht ?
Ich weiß nicht genau wie ich das zu schreiben habe damit es auch alle "Regeln" befolgt.
Kannst du es mir einmal an Hand dieser Aufgabe hier zeigen ?
Ich glaube mein Gedanke zum lösen der Aufgabe ist doch gar nicht so falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Ok Ich habe auch [mm]-9n^2[/mm] + 7n + 5 habe - geschrieben
>
> aus
> [mm]\wurzel{1 - 6/n + 7/n^3 + 5/n^4}[/mm] + [mm]n^2[/mm] - 3n
> kann ich doch für n-> unendlich 1 + [mm]n^2[/mm] - schreiben oder
> nicht ?
Nein, denn dein [mm] $n^2$ [/mm] geht ja auch für $n$ gegen [mm] \infty [/mm] gegen [mm] \infty
[/mm]
Dein Ansatz ist aber nun richtig!
>
> Ich weiß nicht genau wie ich das zu schreiben habe damit
> es auch alle "Regeln" befolgt.
>
> Kannst du es mir einmal an Hand dieser Aufgabe hier zeigen
> ?
> Ich glaube mein Gedanke zum lösen der Aufgabe ist doch
> gar nicht so falsch
Denke ich auch, deshalb zeige ich es dir!
[mm] \frac{-9n^2+7n}{\sqrt{n^4-6n^3+7n+5}+n^2-3n}=\frac{-9+\frac{7}{n}}{\sqrt{1-\frac{6}{n}+\frac{7}{n^3}+\frac{5}{n^4}}+1-\frac{3}{n}}=:a_n
[/mm]
Was gilt nun für den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] ?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
[mm] \bruch{-9}{3} [/mm] = -3
richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\bruch{-9}{3}[/mm] = -3
>
> richtig ?
Sorry, anstatt +2 im Nenner muss +1 stehen.
Hast du das nachgerechnet?
Ich habe es oben verbessert!
Jetzt nochmal 
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
das is mir aufgefallen als du die frage bearbeitest hast
[mm] \bruch{-9}{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Vielen Dank für die zahlreiche Hilfe !!!
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Hallo Bindl!
Du könntest hier natürlich alles ausmultiplizieren und dann zusammenfassen.
Das wäre aber selbstverständlich die umständlichste und aufwändigste Variante.
Schneller geht, wenn Du aus jeder Klammer - ohne die [mm] $(...)^n$-Terme- [/mm] jeweils $n_$ ausklammerst.
Und die [mm] $(...)^n$-Terme [/mm] kannst Du wie folgt zusammenfassen:
[mm] $\bruch{n^n}{(n+e)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{(n+e)^n}{n^n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{n+e}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(1+\bruch{e}{n}\right)^n}$
[/mm]
Und der Grenzwert [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{x}}{n}\right)^n$ [/mm] sollte bekannt sein.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
dann habe ich folgendes:
[mm] \bruch{2n(2+\bruch{3}{n}) n(3-\bruch{1}{n})^3 n^n}{3n(2-\bruch{5}{n}) n(4+\bruch{5}{n})^2 (n+e)^n}
[/mm]
n kürzen
bleibt folgendes stehen
[mm] \bruch{2*2*3^3}{3*2*4^3} [/mm] * e = [mm] \bruch{9}{32} [/mm] e
e weil [mm] \bruch{1}{1+\bruch{e}{n}^n} [/mm] = e
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Hallo,
> Hi,
>
> dann habe ich folgendes:
> [mm]\bruch{2n(2+\bruch{3}{n}) n(3-\bruch{1}{n})^3 n^n}{3n(2-\bruch{5}{n}) n(4+\bruch{5}{n})^2 (n+e)^n}[/mm]
>
> n kürzen
> bleibt folgendes stehen
> [mm]\bruch{2*2*3^3}{3*2*4^3}[/mm] * e = [mm]\bruch{9}{32}[/mm] e
>
> e weil [mm]\bruch{1}{1+\bruch{e}{n}^n}[/mm] = e
Nein, das ist falsch. Es ist
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+ \frac{1}{n}\right)^n=e
[/mm]
sowie
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+ \frac{x}{n}\right)^n=e^x
[/mm]
Probiere es damit noch einmal.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Stimmt sorry.
Also habe ich
[mm] \bruch{1}{(1+\bruch{e}{n})^n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^e}
[/mm]
Und mein Ergebnis bei der Aufgabe wäre dann
[mm] \bruch{9}{32 * e^e} [/mm] oder [mm] \bruch{9}{32} [/mm] * e^-e
Stimmt das ganze so ?
Habe ich denn den Teil mit [mm] \bruch{2 * 2 * 3^3}{3 * 2 * 4^3} [/mm] richtig gemacht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Stimmt sorry.
>
> Also habe ich
>
> [mm]\bruch{1}{(1+\bruch{e}{n})^n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^e}[/mm]
Du betrachtest hier den Grenzwert!
Es gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{e}{n})^n=e^{e}
[/mm]
>
> Und mein Ergebnis bei der Aufgabe wäre dann
>
> [mm]\bruch{9}{32 * e^e}[/mm] oder [mm]\bruch{9}{32}[/mm] * e^-e
Was nun?
>
> Stimmt das ganze so ?
>
> Habe ich denn den Teil mit [mm]\bruch{2 * 2 * 3^3}{3 * 2 * 4^3}[/mm]
> richtig gemacht ?
Ich denke nicht, aber ich kann mich auch irren.
Du hast auf jeden Fall Fehler beim Ausklammern gemacht.
Zum Beispiel im Nenner: [mm] (3n-1)^3\not=n(3-\frac{1}{n})^3.
[/mm]
Es gilt: [mm] (3n-1)^3=(n(3-\frac{1}{n}))^3=n^3(3-\frac{1}{n})^3
[/mm]
Also überdenke nochmal!
edit: Am Ende kommt raus, dass das Teil für $n$ gegen [mm] \infty [/mm] gegen [mm] \frac{9}{32e^{e}} [/mm] konvergiert, also hast du damit Recht!
DieAcht
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
