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| Aufgabe | Prüfen Sie die folgenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
1) [mm] x_1:=1;x_{n+1}:= \bruch{1}{x_n}+\bruch{x_n}{2}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
2) [mm] x_0:=2;x_n:= \wurzel{x_n -1} [/mm] |
Hallo!
Ich bin mir unsicher, ob meine Lösung zu der Aufgabe stimmt. Es erscheint mir zu einfach... Wär also super, wenn jemand meine Lösung kommentieren könnte.
Vielen Dank schonmal!
1) Vorüberlegung: keine Konvergenz, keinen Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{x_n} [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0, [/mm] so dass [mm] \bruch{1}{x_n} [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \Rightarrow \bruch{x_n}{2}< \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_n [/mm] < 2 [mm] \varepsilon
[/mm]
z.z. [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists (\varepsilon) \forall [/mm] n [mm] \ge x_1 [/mm] : [mm] |\bruch{x_n}{2} [/mm] - 0 | < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_n [/mm] < 2 [mm] \varepsilon \Rightarrow |\bruch{x_n}{2} [/mm] - 0 | < [mm] \varepsilon [/mm] (Widerspruch)
also: 0 + [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
2) Vermutung: keine Konvergenz, kein Grenzwert
[mm] |x_n [/mm] - 1| = [mm] x_n [/mm] - 1 < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] + 1
z.z. [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists x_0(\varepsilon) \forall [/mm] n [mm] \ge x_0 [/mm] : [mm] |\wurzel{x_n -1 } [/mm] - 0 | < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] x_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] +1 [mm] \Rightarrow |\wurzel{x_n-1} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm] (Widerspruch)
also:
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Prüfen Sie die folgenen Folgen auf Konvergenz und
> bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
> 1) [mm]x_1:=1;x_{n+1}:= \bruch{1}{x_n}+\bruch{x_n}{2},[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> 1
> 2) [mm]x_0:=2;x_n:= \wurzel{x_n -1}[/mm]
?????????????????????????
Schreib bitte korrekt auf wie [mm] (x_n) [/mm] def. ist !
> Hallo!
>
> Ich bin mir unsicher, ob meine Lösung zu der Aufgabe
> stimmt. Es erscheint mir zu einfach... Wär also super,
> wenn jemand meine Lösung kommentieren könnte.
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> 1) Vorüberlegung: keine Konvergenz, keinen Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Das ist falsch ! Obige Folge ist konvergent !
Zeige: [mm] (x_n) [/mm] ist monoton und beschränkt.
Was Du jetzt schreibst ist wirr und konfus !
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x_n}[/mm] ist eine Nullfolge [mm]\Rightarrow[/mm]
> es gibt zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_0,[/mm] so dass
> [mm]\bruch{1}{x_n}[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
> [mm]\Rightarrow \bruch{x_n}{2}< \varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_n[/mm] <
> 2 [mm]\varepsilon[/mm]
>
> z.z. [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists (\varepsilon) \forall[/mm]
> n [mm]\ge x_1[/mm] : [mm]|\bruch{x_n}{2}[/mm] - 0 | < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_n[/mm] < 2 [mm]\varepsilon \Rightarrow |\bruch{x_n}{2}[/mm]
> - 0 | < [mm]\varepsilon[/mm] (Widerspruch)
>
> also: 0 + [mm]\infty[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> 2) Vermutung: keine Konvergenz, kein Grenzwert
>
> [mm]|x_n[/mm] - 1| = [mm]x_n[/mm] - 1 < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_n[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] + 1
>
> z.z. [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists x_0(\varepsilon) \forall[/mm]
> n [mm]\ge x_0[/mm] : [mm]|\wurzel{x_n -1 }[/mm] - 0 | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]x_n[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] +1 [mm]\Rightarrow |\wurzel{x_n-1}[/mm] - 0| <
> [mm]\varepsilon[/mm] (Widerspruch)
> also:
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
>
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FRED
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Was die Aufgabenstellung betrifft sind keine weiteren Angaben gegeben. Ich kann [mm] (x_n) [/mm] folglich nicht näher deffinieren.
Ich soll nun zeigen, dass [mm] (x_n) [/mm] monoton und beschränkt ist. Das klingt für mich auch logisch, jedoch fehlt mir dazu die Idee die Monotonie zu zeigen. Wie kann ich das allgemein machen?
Viele Grüße
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Hallo Isabelle!
Berechne zunächst die ersten Glieder der Folge. Daraus lassen sich dann die Monotonie (steigend oder fallend) sowie evtl. die Grenzen erkennen.
Für die Beweise an sich eignet sich zumeist die vollständige Induktion.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Isabelle,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich vermute mal, Deine Folge soll heißen: [mm]x_n \ = \ \wurzel{x_{n-1}}[/mm] (das -1 gehört noch mit in den Index).
Dann gilt auch hier: diese Folge ist konvergent. Weise hier die Monotonie und die Beschränktheit nach (z.B. mittels vollständiger Induktion). Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz.
Für den Grenzwert kannst Du dann ansetzen:
[mm]x \ := \ \limes_{n\rightarrow\infty}x_n \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n-1}[/mm]
Daraus ergibt sich dann folgende Bestimmungsgleichung für den Grenzwert $x_$ :
[mm]x \ = \ \wurzel{x}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Di 23.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ich habe mal versucht die erste Aufgabe zu bearbeiten, weiß allerdings nicht, ob das so stimmt...
also [mm] x_1 [/mm] :=1; [mm] x_{n+1}:= \bruch{1}{x_n} [/mm] + [mm] \bruch{x_n}{2}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
nach unten beschränkt: [mm] x_n [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}
(IA) n=1: [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] > 0 (Häkchen)
(IV) Für ein n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} gelte: [mm] x_n [/mm] > 0
(IS) n [mm] \to [/mm] n+1: [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_n} [/mm] + [mm] \bruch{x_n}{2} [/mm] > (IV) [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
mon. fallend: [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_n} [/mm] + [mm] \bruch{x_n}{2} \le (x_n [/mm] >0) [mm] x_n [/mm] (Häkchen)
[mm] \Rightarrow (x_n) [/mm] konvergent nach dem Satz von der mon. Kon.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] lim [mm] x_n [/mm] =: x [mm] \Rightarrow [/mm] (GWS) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_n} [/mm] + [mm] \bruch{x_n}{2} \Rightarrow [/mm] x= [mm] \bruch{2 + x^2}{x+2} \Rightarrow [/mm] x=0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Di 23.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Pia,
> Ich habe mal versucht die erste Aufgabe zu bearbeiten,
> weiß allerdings nicht, ob das so stimmt...
>
> also [mm]x_1[/mm] :=1; [mm]x_{n+1}:= \bruch{1}{x_n}[/mm] + [mm]\bruch{x_n}{2},[/mm] n
> [mm]\ge[/mm] 1
>
> nach unten beschränkt: [mm]x_n[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] \ {0}
> (IA) n=1: [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] > 0 (Häkchen)
> (IV) Für ein n [mm]\in \IN[/mm] \ {0} gelte: [mm]x_n[/mm] > 0
> (IS) n [mm]\to[/mm] n+1: [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x_n}[/mm] + [mm]\bruch{x_n}{2}> (IV) \bruch{3}{2}[/mm]
Ist ok, ich hätte einfach gesagt:da [mm] x_1>0 [/mm] ist, und ansonsten (in der Rekursionsvorschrift) nur addiert wird, ist auch [mm] x_n>0 [/mm] für alle n.
> mon. fallend: [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x_n}[/mm] + [mm]\bruch{x_n}{2} \le (x_n[/mm] >0) [mm]x_n[/mm] (Häkchen)
> [mm]\Rightarrow (x_n)[/mm] konvergent nach dem Satz von der mon.
> Kon.
Das geht hier zu schnell. Zu zeigen ist [mm] x_{n+1}\le x_n, [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] das geht wohl am besten mit Induktion. Falls du das machen wolltest, fehlt hier der Ind-Start und Ind-Schritt.
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] lim [mm]x_n[/mm] =: x [mm]\Rightarrow[/mm] (GWS)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_n}[/mm] + [mm]\bruch{x_n}{2} \Rightarrow[/mm]
> x= [mm]\bruch{2 + x^2}{x+2} \Rightarrow[/mm] x=0
Oh, nee:
Zum einen, ist die Lösung der Gleichung nicht x=0 (mach die Probe) und zum anderen ist [mm] \bruch{1}{x}+\bruch{x}{2}\not=\bruch{2 + x^2}{x+2} [/mm] , da musste nochmal nachrechnen.
LG walde
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank für die Rückmeldung!
> > [mm]\Rightarrow \exists[/mm] lim [mm]x_n[/mm] =: x [mm]\Rightarrow[/mm] (GWS)
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_n}[/mm] + [mm]\bruch{x_n}{2} \Rightarrow[/mm]
> > x= [mm]\bruch{2 + x^2}{x+2} \Rightarrow[/mm] x=0
>
> Oh, nee:
> Zum einen, ist die Lösung der Gleichung nicht x=0 (mach
> die Probe) und zum anderen ist
> [mm]\bruch{1}{x}+\bruch{x}{2}\not=\bruch{2 + x^2}{x+2}[/mm] , da
> musste nochmal nachrechnen.
Da ist mir allerdings ein Fehler unterlaufen. Es muss natürlich heißen
Rightarrow [mm] \exists [/mm] lim [mm] x_n [/mm] =: x [mm] \Rightarrow(GWS) [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_n}+ \bruch{x_n}{2} \Rightarrow [/mm] x= [mm] \bruch{2 + x^2}{x \*2} \Rightarrow [/mm] x= [mm] \wurzel{2} [/mm]
> Das geht hier zu schnell. Zu zeigen ist [mm]x_{n+1}\le x_n,[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN,[/mm] das geht wohl am besten mit Induktion.
> Falls du das machen wolltest, fehlt hier der Ind-Start und
> Ind-Schritt.
Vielleicht bin ich grad zu blöd, aber schon der Induktionsanfang geht bei mir schief, wenn ich n=1 nehme, dann müsste ja [mm] x_2 \le x_1 [/mm] sein aber [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ist ja nicht [mm] \le [/mm] 1...
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Hallo Pia!
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\exists[/mm] lim [mm]x_n[/mm] =: x [mm]\Rightarrow(GWS)[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_n}+ \bruch{x_n}{2} \Rightarrow[/mm] x= [mm]\bruch{2 + x^2}{x \*2} \Rightarrow[/mm] x= [mm]\wurzel{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielleicht bin ich grad zu blöd, aber schon der
> Induktionsanfang geht bei mir schief, wenn ich n=1 nehme,
> dann müsste ja [mm]x_2 \le x_1[/mm] sein aber [mm]\bruch{3}{2}[/mm] ist ja nicht [mm]\le[/mm] 1...
Dann beginne mit einem anderen [mm]n_[/mm] . Es reicht ja zu zeigen, dass die Folge ab einem bestimmten [mm]n_[/mm] monoton ist.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:40 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Also für n=2 wäre ja wieder [mm] x_3 \le x_2, [/mm] da ja [mm] \bruch{1}{2} \le \bruch{3}{2} [/mm] ist, allerdings wäre es bei n=3 ja schon wieder nicht der fall... kann ich trotzdem eine induktion durchführen?
Ist diese wirklich notwendig? Wir hatten nämlich in der VOrlesung mal ein Beispiel, bei dem wir bei der Monotonie auch keine Induktion durchgeführt haben...
LG Pia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Walde |
> Also für n=2 wäre ja wieder [mm]x_3 \le x_2,[/mm] da ja
> [mm]\bruch{1}{2} \le \bruch{3}{2}[/mm] ist, allerdings wäre es bei
> n=3 ja schon wieder nicht der fall... kann ich trotzdem
> eine induktion durchführen?
> Ist diese wirklich notwendig? Wir hatten nämlich in der
> VOrlesung mal ein Beispiel, bei dem wir bei der Monotonie
> auch keine Induktion durchgeführt haben...
> LG Pia
Tja, was ihr in der Vorlesung hattet, weiss ich natürlich nicht. Man muss grundsätzlich keine Induktion durchführen, um Monotonie zu zeigen, aber dann muss man diese natürlich anders begründen können. Induktion ist so beliebt, weil sie meistens einfacher ist.
Wenn man mit der Vorraussetzung [mm] x_{n+1}
LG walde
EDIT: Ich habs grad mal durchgerechnet, man kann es mit Induktion zeigen (wenn ich mich nicht verrechnet habe).
Ich habe die IV [mm] x_{n+1}\wurzel{2} [/mm] umgeformt, (was auch erklärt, warum sie im ersten Schritt nicht monoton fällt.)
Beim Schritt, dann was zu zeigen ist :
[mm] x_{n+2}
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Ich habe die IV $ [mm] x_{n+1}\wurzel{2} [/mm] $ umgeformt,
wie hast du dei den so umgeformt ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Do 25.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Kugelrund,
zunächst mal gilt, per Definition der Folge:
[mm] x_{n+1}=\bruch{1}{x_n}+\bruch{x_n}{2}=\bruch{2}{2x_n}+\bruch{x_n^2}{2x_n}=\bruch{2+x_n^2}{2x_n}
[/mm]
D.h.:
[mm] x_{n+1}
[mm] \gdw \bruch{2+x_n^2}{2x_n}
[mm] \gdw 2+x_n^2<2x_n^2
[/mm]
[mm] \gdw 2
[mm] \gdw\wurzel{2}
Da [mm] x_n>0 [/mm] für alle $n$
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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