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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge
bn= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{n^2+k}
[/mm]
n Element der natürlichen Zahlen |
Hallo Zusammen,
meine Frage ist, welche Bedeutung hat hier das Summenzeichen ? Dient es nur zur Verwirrung ? Also ich habe folgendes gemacht :
bn= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{n^2+k}
[/mm]
= bn= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k(1)}{k(\bruch{n^2}{k}+1)}
[/mm]
Und zwar soll ich das jetzt folgendermaßen verstehen.
K ist ja der Laufindex welcher von k=1 bis n höchstens gehen kann.
Und n ist ja Element der natürlichen Zahlen, was sozusagen das letzte k wäre.
Und wenn ich das voneinander dividiere also natürlich nachdem ich es gegen unendlich geschossen habe, kommt 1 raus oder ?
Also habe ich weiter gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = bn= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(1)}{(\bruch{1}{1}+1)}
[/mm]
Demzufolge läuft gegen [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Also konvergent und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist der Grenzwert
Gruß yuppi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo yuppi,
das klingt jetzt vielleicht fies (daher schonmal eine Entschuldigung meinerseits im Voraus), aber leider hast Du hier wirklich ziemlich viel Unsinn betrieben.
> Untersuchen Sie die Folge
>
> bn= [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{n^2+k}[/mm]
>
> n Element der natürlichen Zahlen
> Hallo Zusammen,
>
> meine Frage ist, welche Bedeutung hat hier das
> Summenzeichen ? Dient es nur zur Verwirrung ? Also ich habe
> folgendes gemacht :
>
> bn= [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{n^2+k}[/mm]
>
> = bn= [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k(1)}{k(\bruch{n^2}{k}+1)}[/mm]
Soweit, so gut. Es gilt also
[mm] $$b_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\frac{n^2}{k}+1}\,.$$
[/mm]
> Und zwar soll ich das jetzt folgendermaßen verstehen.
>
> K ist ja der Laufindex welcher von k=1 bis n höchstens
> gehen kann.
>
> Und n ist ja Element der natürlichen Zahlen, was sozusagen
> das letzte k wäre.
> Und wenn ich das voneinander dividiere also natürlich
> nachdem ich es gegen unendlich geschossen habe, kommt 1
> raus oder ?
>
>
> Also habe ich weiter gemacht:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = bn= [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{(1)}{(\bruch{1}{1}+1)}[/mm]
>
> Demzufolge läuft gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Also konvergent und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist der Grenzwert
Diese Logik ist mit vollkommen suspekt (zudem steht sogar symbolischer Unsinn oben, aber auch, wenn man versucht, es vernünftig zu interpretieren, kommt man zu der Erkenntnis, dass Du "eigene Rechenregeln" für Grenzwerte benutzt, die (allgemein) keine Gültigkeit haben). Beachte bitte, dass sich sowohl die Summanden als auch die Anzahl der Summanden sich ändern, wenn [mm] $n\,$ [/mm] sich ändert. Man hat also quasi
"bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] unendlich viele Summanden" (wie soll man da [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] in [mm] $\sum_{k=1}^n$ [/mm] reinziehen dürfen???),
und trotzdem ist das keine Reihe, die da steht.
(Ferner wäre [mm] $\sum_{k=1}^n 1/2=n/2\,.$)
[/mm]
Vielleicht schreibst Du Dir auch mal die ersten 10 Folgenglieder der Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] hin, dann siehst Du, dass das Summenzeichen bei diesem Bildungsgesetz eine erhebliche Rolle spielt.
Zu der Aufgabe:
Wenn man "solche komischen Folgen" sieht, wo der Folgenindex auch an dem Summenzeichen mit dransteht, dann liegt es irgendwie nahe, zu versuchen, die Folge geeignet abzuschätzen:
Klar ist
[mm] $$b_n \ge \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n}=\frac{n}{2}(n+1)*\frac{1}{n(n+1)}=1/2\,.$$
[/mm]
Weil aber auch
[mm] $$b_n \le \frac{1}{n^2+1}*\frac{n}{2}(n+1) \to 1/2\,,$$
[/mm]
konvergiert in der Tat [mm] $b_n \to 1/2\,,$ [/mm] und zwar nach dem Sandwichkriterium (Einschlußkriterium).
Gruß,
Marcel
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