Folgen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge mit [mm] a_{n} \in \IZ \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] genau dann gegen a konvergiert, wenn es einen Index [mm] n_{0} \in \IN [/mm] gibt mit [mm] a_{n} [/mm] = a [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{o}.
[/mm]
Hinweis: Diese Aufgabe behandelt Folgen mit Werten in [mm] \IZ [/mm] |
Hallo zusammen,
hat jemand ne Idee, wie man diese Aufgabe lösen kann?
Danke für eure Hilfe
Grüße
bodo0686
Ich habe diese Frage noch in keinem Forum gestellt!
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Hallo Bodo!
> Sei [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge mit [mm]a_{n} \in \IZ \forall[/mm]
> n [mm]\in \IN.[/mm] zeigen Sie, dass die Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> genau dann gegen a konvergiert, wenn es einen Index [mm]n_{0} \in \IN[/mm]
> gibt mit [mm]a_{n}[/mm] = a [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_{o}.[/mm]
>
> Hinweis: Diese Aufgabe behandelt Folgen mit Werten in [mm]\IZ[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> hat jemand ne Idee, wie man diese Aufgabe lösen kann?
Es sind zwei Richtungen zu zeigen:
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Es gebe also einen Index [mm]n_0 \in \IN [/mm] mit [mm]a_n = a\ \forall n \in \IN, n \ge n_0[/mm]. Dann gilt für alle diese [mm]n \in \IN, n \ge n_0[/mm], daß [mm]|a_n - a| = 0 < \varepsilon[/mm] für jedes vorgebbare [mm]\varepsilon \in \IR^{>0}[/mm]. Also konvergiert [mm]a_n[/mm] gegen a.
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Es konvergiere [mm]a_n[/mm] gegen a. Dann gibt es zu beliebigem [mm]\varepsilon \in \IR^{>0}[/mm] ein [mm]N \in \IN[/mm], so daß für alle [mm]n \in \IN, n \ge N[/mm] gilt: [mm]|a_n - a| < \varepsilon[/mm].
Insbesondere gibt es dieses [mm]N \in \IN[/mm] für [mm]\varepsilon = 1[/mm]. Nennen wir das einmal [mm]N^{\*}[/mm]. Für alle [mm]n \in \IN, n \ge N^{\*}[/mm] gilt dann [mm]|a_n - a| < 1[/mm], d.h. [mm]a_n[/mm] und a haben ein Abstand kleiner 1. Da sowohl a eine ganze Zahl ist wie auch alle [mm]a_n[/mm], muß dann [mm]a_n = a[/mm] sein.
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge. Die Folgn [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (c_{n})_{n\in\IN} [/mm] seien definiert durch [mm] b_{n} [/mm] : = [mm] a_{2n} [/mm] und [mm] c_{n} [/mm] := [mm] a_{2n-1}. [/mm] Beweisen Sie Folgende Aussagen.
a) Wenn die Folgen [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (c_{n})_{n\in\IN} [/mm] beide gegen a konvergiert, dann konvergiert auch die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] gegen a.
b) Wenn [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergent ist, dann sind auch [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (c_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergent.
c) Es gibt eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN}, [/mm] sodaß die beiden Folgen [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (c_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergieren, aber nicht die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN}. [/mm] |
Ersteinmal vielen Dank!
Aber ich habe noch eine letzte Aufgabe, wo ich ein wenig Hilfe bräuchte...
Ich habe mal zu a) etwas gemacht, aber bin mir nicht sicher.
a) Wenn [mm] b_n [/mm] -> a und [mm] c_n [/mm] -> a konvergiert und´es gilt [mm] b_n \le a_n \le c_n [/mm] so strebt dann auch [mm] a_n [/mm] -> a. (Einschnürungssatz)
wählen wir ein bel [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so liegen fast alle [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] in der Umgebung von [mm] \varepsilon(a). [/mm] Dann müüssten aber auch alle [mm] a_n [/mm] in der Umgebung von [mm] \varepsilon(a) [/mm] liegen, d.h es muß [mm] a_n [/mm] -> a streben.
Kann man das so stehn lassen?
zu b) bin ein wenig überfragt, aber da dürfte doch eigentlich im Prinzip fast nur die Rückrichtung von a) gezeigt werden?
zu c) Ich weiß zumindest, dass die Folge [mm] (-1)^n [/mm] nicht kovergiert!
Bitte um Hilfe....
Danke
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> Sei [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge. Die Folgn
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] und [mm](c_{n})_{n\in\IN}[/mm] seien definiert
> durch [mm]b_{n}[/mm] : = [mm]a_{2n}[/mm] und [mm]c_{n}[/mm] := [mm]a_{2n-1}.[/mm] Beweisen Sie
> Folgende Aussagen.
>
> a) Wenn die Folgen [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] und [mm](c_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> beide gegen a konvergiert, dann konvergiert auch die Folge
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] gegen a.
>
> b) Wenn [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergent ist, dann sind auch
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] und [mm](c_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergent.
>
> c) Es gibt eine Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN},[/mm] sodaß die beiden
> Folgen [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] und [mm](c_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> konvergieren, aber nicht die Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}.[/mm]
> Ersteinmal vielen Dank!
>
>
>
> a) Wenn [mm]b_n[/mm] -> a und [mm]c_n[/mm] -> a konvergiert und´es gilt [mm]b_n \le a_n \le c_n[/mm]
> so strebt dann auch [mm]a_n[/mm] -> a. (Einschnürungssatz)
Hallo,
was Du da schreibst, stimmt zwar - allerdings paßt es nicht so besonders gut zur Aufgabe, denn von [mm] b_n \le a_n \le c_n [/mm] steht da nirgendwo etwas.
Könnte es sein, daß Du gar nicht weißt, was mit [mm] (a_{2n}) [/mm] gemeint ist?
Das ist die Folge der geraden Folgengieder, also [mm] (a_2,a_4, a_6,...), [/mm] und [mm] (a_{2n-1})=(a_1,a_3,a_5...).
[/mm]
Schreib nun ertmal auf, was es bedeutet, da? [mm] (b_n) [/mm] und [mm] (c_n) [/mm] gegen a konvergieren.
Danach betrachtest Du [mm] |a_n-a|. [/mm] Bedenke hierbei, daß n entweder gerade oder ungerade ist.
>
> zu b) bin ein wenig überfragt, aber da dürfte doch
> eigentlich im Prinzip fast nur die Rückrichtung von a)
> gezeigt werden?
Ja, das ist die Rückrichtung.
Wahrscheinlich hattet Ihr in der Vorlesung einen Satz über konvergente Folgen und die Konvergenz ihrer Teilfolgen. Den kannst Du hier verwenden.
>
> zu c) Ich weiß zumindest, dass die Folge [mm](-1)^n[/mm] nicht
> kovergiert!
Soweit es diese Aufgabe betrifft, reicht es. Hübsches Beispiel.
Da Du diese Folge ausgesucht hast, gehe ich davon aus, daß Dir doch klar ist, was sich hinter [mm] (a_{2n}) [/mm] verbirgt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
ich habe jetzt zu A nochmal was gemacht.
Wenn eine Folge beschränkt ist, kann man davon ausgehn, dass sie auch konvergiert.
[mm] b_n [/mm] : = [mm] a_{2n}
[/mm]
Sei [mm] a_{2n} [/mm] -> a ( n-> [mm] \infty). sei\varepsilon [/mm] > 0, [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] |a-a_{2n}| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N.
-> [mm] |a_{2_n}| \le |a_{2_n} [/mm] - a| + |a| < [mm] \varepsilon [/mm] + |a| [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] c_n: [/mm] = [mm] a_{2n-1} [/mm] ... würde ich analog machen...
Dann: Da für gerade / ungerade Zahlen [mm] (b_n [/mm] : = [mm] a_{2n}, c_n: [/mm] = [mm] a_{2n-1}) [/mm]
Beschränktheit besteht, konvergiert demnach auch [mm] (a_n)_{n\in \IN}.
[/mm]
Bitte um Hilfe...
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> Wenn eine Folge beschränkt ist, kann man davon ausgehn,
> dass sie auch konvergiert.
Hallo,
wie kommst Du denn darauf?
die Folge 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3... konvergiert kein bißchen.
Es ist andersrum: aus der Konvergenz folgt die Beschränktheit.
Daher kann Dein Beweis nicht funktionieren.
>
> [mm]b_n[/mm] : = [mm]a_{2n}[/mm]
>
> Sei [mm]a_{2n}[/mm] -> a ( n-> [mm]\infty).
>[s]sei[/s] Für \varepsilon[/mm] > 0, [mm]\exists[/mm]
> [mm] N_1[/mm] [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]|a-a_{2n}|[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] [mm] N_1.
[/mm]
Das ist richtig.
> [mm]c_n:[/mm] = [mm]a_{2n-1}[/mm] ... würde ich analog machen...
Das solltest Du tun.
Und dann überlege Dir, daß Du sogar für [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] ein gemeinsames N' angeben kannst, für welches die Bedingung gilt.
>
Anschließend schätze [mm] |a_n-a| [/mm] ab.
Du willst herauskriegen, daß das [mm] \le\varepsilon [/mm] ist ab einem bestimmten Index.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 27.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich habs nochmal ausprobiert, denke aber dass das wiederrum verkehrt ist...
[mm] |a-a_{2n}| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \le [/mm] N
[mm] |a-a_{2n}| [/mm] = [mm] a-a_{2n} \le a-a_{2N} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber ich muss doch irgendwie eine Abschätzung damit reinbringen... aber ich weiß nicht wo bzw. nicht wie ich die konstruieren soll. Ich hätte vielleicht hierraus [mm] a-a_{2n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] mein N konstruiert, dann eingesetzt und dann müsste ich ja genau Epsilon herausbekommen...
Bitte um Hilfe...
Langsam bin ich überfragt:-/
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> Ich habs nochmal ausprobiert, denke aber dass das wiederrum
> verkehrt ist...
Hallo,
ich glaube, daß für Dich etwas sehr nützlich wäre, was man in der Grundschule bei Textaufgaben praktiziert hat: Frage, Rechung, Antwort.
Auf Deine Aufgabe übertragen: was habe ich gegeben? Was möchte ich erreichen?
Gegeben hast Du, daß die Folge [mm] (a_{2n}) [/mm] gegen a konvergiert.
Es ist wichtig, daß man sich nicht nur in Auszügen, sondern vollstandig und richtig aufschreibt, was das bedeutet:
Für jedes vorgegebene [mm] \varepsilon>0 [/mm] findet man eine naturliche Zahl [mm] N_1,
[/mm]
so daß für alle n. welche größer sind als dieses [mm] N_1 [/mm] gilt:
>
> [mm]|a-a_{2n}|[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\le[/mm] [mm] N_1
[/mm]
größer!!!!!!!
Des weiteren hast Du eine weitere konvergente Teilfolge [mm] (a_{2_n-1}), [/mm] und glaub mir, daß es keine Zeitverschwendung ist, die Konvergenzbedingung auch für diese Folge aufzuschreiben. Am besten mit [mm] N_2, [/mm] denn es ist nicht anzunehmen, daß es sich hierbei um dieselbe "Schwelle" wie bei [mm] (a_{2n}) [/mm] handelt.
> Aber ich muss doch irgendwie eine Abschätzung damit
> reinbringen...
Ist Dir klar, was Du abschätzen mußt?
Du mußt [mm] |a_n [/mm] - a| abschätzen.
Du willst ja zeigen, daß [mm] (a_n) [/mm] konvergiert, daß Du hier also ein [mm] N_3 [/mm] zum vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] findest, so daß [mm] |a_n [/mm] - a| [mm] \le\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge N_3.
[/mm]
Wenn Du Dir die Bedingungen für Deine beiden Teilfolgen anschaust, sollte Dir eine Idee kommen, was Du als [mm] N_3 [/mm] nehmen kannst:
Alle geraden Folgenglieder rücken für Indizes größer als [mm] N_1 [/mm] dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an a heran. Alle ungeraden Folgenglieder rücken für Indizes größer als [mm] N_2 [/mm] dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an a heran.
Was kann man nun über die [mm] a_n [/mm] (gerade oder ungerade) aussagen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 29.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Ich habs nochmal ausprobiert, denke aber dass das wiederrum
> > verkehrt ist...
>
> Hallo,
>
> ich glaube, daß für Dich etwas sehr nützlich wäre, was man
> in der Grundschule bei Textaufgaben praktiziert hat: Frage,
> Rechung, Antwort.
>
> Auf Deine Aufgabe übertragen: was habe ich gegeben? Was
> möchte ich erreichen?
>
> Gegeben hast Du, daß die Folge [mm](a_{2n})[/mm] gegen a
> konvergiert.
>
> Es ist wichtig, daß man sich nicht nur in Auszügen, sondern
> vollstandig und richtig aufschreibt, was das bedeutet:
>
> Für jedes vorgegebene [mm]\varepsilon>0[/mm] findet man eine
> naturliche Zahl [mm]N_1,[/mm]
> so daß für alle n. welche größer sind als dieses [mm]N_1[/mm]
> gilt:
>
> >
> > [mm]|a-a_{2n}|[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\le[/mm] [mm]N_1[/mm][/s]
>
> größer!!!!!!!
>
>
> Des weiteren hast Du eine weitere konvergente Teilfolge
> [mm](a_{2_n-1}),[/mm] und glaub mir, daß es keine Zeitverschwendung
> ist, die Konvergenzbedingung auch für diese Folge
> aufzuschreiben. Am besten mit [mm]N_2,[/mm] denn es ist nicht
> anzunehmen, daß es sich hierbei um dieselbe "Schwelle" wie
> bei [mm](a_{2n})[/mm] handelt.
>
>
> > Aber ich muss doch irgendwie eine Abschätzung damit
> > reinbringen...
>
> Ist Dir klar, was Du abschätzen mußt?
>
> Du mußt [mm]|a_n[/mm] - a| abschätzen.
> Du willst ja zeigen, daß [mm](a_n)[/mm] konvergiert, daß Du hier
> also ein [mm]N_3[/mm] zum vorgegebenen [mm]\varepsilon[/mm] findest, so daß
> [mm]|a_n[/mm] - a| [mm]\le\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N_3.[/mm]
>
> Wenn Du Dir die Bedingungen für Deine beiden Teilfolgen
> anschaust, sollte Dir eine Idee kommen, was Du als [mm]N_3[/mm]
> nehmen kannst:
>
> Alle geraden Folgenglieder rücken für Indizes größer als
> [mm]N_1[/mm] dichter als [mm]\varepsilon[/mm] an a heran. Alle ungeraden
> Folgenglieder rücken für Indizes größer als [mm]N_2[/mm] dichter als
> [mm]\varepsilon[/mm] an a heran.
>
> Was kann man nun über die [mm]a_n[/mm] (gerade oder ungerade)
> aussagen?
Das evtl. beide konvergieren?
Das sind triviale Aussagen, die eigentlich logisch sind, aber das ist halt immer so ein Problem von mir, dass ich nicht weiß wie man so etwas aufschreibt... - weils eben so trivial - ist...
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> > Was kann man nun über die [mm]a_n[/mm] (gerade oder ungerade)
> > aussagen?
>
>
> Das evtl. beide konvergieren?
Hallo,
mit dem "evtl." wirst Du keinen Blumentopf gewinnen...
Meine letzte Frage bzgl. der [mm] a_n [/mm] war ja erst das Ende eines Prozesses.
Ich hatte Dich gebeten, die Konvergenzbedingungen für [mm] (a_{2n}) [/mm] ordentlich aufzuschreiben, ebenso wie für [mm] (a_{2n+1}).
[/mm]
Was es bzgl. [mm] (a_n) [/mm] zu zeigen gilt, hatte ich auch bereits hingeschrieben.
Ich hatte Dir den Rat gegeben, nach einem passenden [mm] N_3 [/mm] Ausschau zu halten.
Anscheinend hast Du das noch nicht getan.
Diese Fragen waren nicht aus Neugierdegestellt, sondern sie sollten den Beweisprozeß in Gang bringen und leiten.
> Das sind triviale Aussagen, die eigentlich logisch sind,
> aber das ist halt immer so ein Problem von mir, dass ich
> nicht weiß wie man so etwas aufschreibt... - weils eben so
> trivial - ist...
Ich muß Dich eindringlich warnen:
mit mir kannst Du es machen, aber verwende gegenüber Übungsleitern, Professoren etc. nie das Wörtchen "trivial" - jedenfalls nicht, wenn Du es nicht zeigen kannst.
Wenn Du es nicht zeigen kannst, ist es vielleicht für manch andere trivial - für Dich nicht.
Wenn jemand das Wort "trivial" in den Mund nimmt, ist dies geradezu eine Aufforderung, demjenigen gründlich auf den Zahn zu fühlen. Ich hätte das nicht in jeder Situation gewollt...
Kurz: "Trivial" ist für die, die's schon können.
Natürlich ist die Aussage eine einfache Aussage.
Und wenn man wirklich verstanden hat, was Konvergenz von Folgen ist, und wie die Definitionen lauten, ist die Aufgabe ein Klacks.
Geleitet durch die Anschauung kann man dann den formalen Beweis erledigen.
Wie man das macht und aufschreibt, hatte ich ja in meinem vorhergehenden Post aufgezeigt.
Wenn Du das "Material" lieferst, können wir gerne weiterbasteln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Di 29.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Also allgemein gilt:
[mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge \IN
[/mm]
[mm] b_{n} [/mm] := [mm] a_{2n} [/mm] -> a [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge N_{1}
[/mm]
[mm] c_{n} [/mm] := [mm] a_{2n-1} [/mm] -> a [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge N_{2}
[/mm]
und es soll auch an-> a konvergieren! [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge N_{3}
[/mm]
So. Wenn ich jetzt [mm] b_{n} [/mm] und [mm] c_{n} [/mm] einsetze, habe ich da stehn
[mm] |b_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon \gdw |a_{2n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |c_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon \gdw |a_{2n-1} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |a_{2n} [/mm] - a| < [mm] |a_{2N} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] Sei N = [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] |a_{2n} [/mm] - a| < [mm] |a_{2N} [/mm] - a| < [mm] |a_{2\bruch{\varepsilon}{2}} [/mm] -a| < [mm] |a_{\varepsilon} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] |a_{2n-1} [/mm] - a| < [mm] |a_{2N-1} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] Sei N = [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] |a_{2n-1} [/mm] - a| < [mm] |a_{2N-1} [/mm] - a| < [mm] |a_{2\bruch{\varepsilon-1}{2}} [/mm] -a| < [mm] |a_{\varepsilon-1} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
Da [mm] b_{n} [/mm] konvergiert und [mm] c_{n} [/mm] ebenfalls, dürfte [mm] a_{n} [/mm] ebenfalls konvergieren!
Ob es so jetzt stimmt keine Ahnung...
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> Also allgemein gilt:
>
> [mm]|a_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge \IN[/mm]
Hallo,
das ist doch Unfug - obgleich Du vermutlich das Richtige meinst. Aber so, wie Du es dastehen hast, ist es sinnlos.
Wenn Du in der Mathematik einigermaßen erfolgreich sein möchtest, mußt Du Dir angewöhnen, die Definitionen sowohl richtig zu lernen als auch richtig aufzuschreiben.
Das ist nicht nur korrekt, sondern auch sehr hilfreich für einen selbst, weil man so gezungen ist, das Chaos und den diffusen Nebel im Kopf etwas zu lichten.
Was gilt allgemein?
Allgemein gilt:
eine Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a (in Zeichen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a)
[/mm]
ist gleichbedeutend mit
für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] findet man ein [mm] N\in \IN [/mm] , so daß
[mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt.
Es ist vorausgesetzt, daß [mm] (b_n) [/mm] und [mm] (c_n) [/mm] konvergieren.
Also gilt
Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] findet man ein N [mm] \in \IN [/mm] , so daß
[mm] |b_n-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt.
Und
Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] findet man ein N [mm] \in \IN [/mm] , so daß
[mm] |c_n-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt.
Beweis:
Nun nehmen wir ein beliebiges [mm] \varepsilon>0
[/mm]
(Unser Ziel: es gibt ein [mm] N\in \IN [/mm] mit [mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N )
Nach Voraussetzung gibt es [mm] N_1, N_2 \in \IN [/mm] mit
> [mm]|b_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon
für alle n\ge N_1
\gdw |a_{2n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
für alle [mm] n\ge N_1
[/mm]
und
> [mm]|c_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon
für alle n\ge N_2
\gdw |a_{2n-1}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
für alle [mm] n\ge N_2.
[/mm]
Nun muß man einen Grund (also ein passendes N) finden, so daß man [mm] |a_n-a| [/mm] wie gewünscht abschätzen kann.
Um das zu finden, stell Dir mal (ganz im Geheimen) vor, [mm] N_1 [/mm] wäre =17 und [mm] N_2= [/mm] 49. Was könntest Du dann nehmen?
Versuch jetzt weiterzumachen:
Egal also, ob [mm] a_n [/mm] gerades oder ungerades Folgenglied ist, für ... gilt ...
> Sei N = [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
Hier unten hattest Du unkommentiert allerlei stehen, dem ich nicht folgen konnte.
Auf Dein N = [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] möchte ich allerdings noch eingehen, um Dir klarzumachen, warum das nicht geht:
[mm] \varepsilon>0 [/mm] ist ja eine ganz beliebige, positive Zahl. Es könnte jede sein, und im Zusammenhang mit Grenzwerten, Stetigkeit etc. interessiert gerade, daß man auch winzig kleine [mm] \varepsilon [/mm] wählen darf.
Und weil das [mm] \varepsilon [/mm] möglicherweise ganz klein ist, ist nicht davon auszugehen, daß [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] eine natürliche Zahl ist, was Ausdrücke wie [mm] a_{2\bruch{\varepsilon}{2}} [/mm] sinnlos macht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 29.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Beweis:
> Nun nehmen wir ein beliebiges [mm]\varepsilon>0[/mm]
>
> (Unser Ziel: es gibt ein [mm]N\in \IN[/mm] mit [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n\ge[/mm] N )
>
> Nach Voraussetzung gibt es [mm]N_1, N_2 \in \IN[/mm] mit
>
> > [mm]|b_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon
für alle n\ge N_1
\gdw |a_{2n}[/mm]
> - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n\ge N_1[/mm]
>
> und
>
> > [mm]|c_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon
für alle n\ge N_2
\gdw |a_{2n-1}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n\ge N_2.[/mm]
>
> Nun muß man einen Grund (also ein passendes N) finden, so
> daß man [mm]|a_n-a|[/mm] wie gewünscht abschätzen kann.
>
>
> Um das zu finden, stell Dir mal (ganz im Geheimen) vor, [mm]N_1[/mm]
> wäre =17 und [mm]N_2=[/mm] 49. Was könntest Du dann nehmen?
Wir gehen ja dann vermutlich davon aus, dass auch [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] sein muss.
Also wäre [mm] N_{1} [/mm] = 17 und [mm] N_{2} [/mm] = 49 dann solls ja ein weiteres N geben für das, dass gleiche gilt wie für [mm] N_{1} [/mm] und [mm] N_{2}. [/mm] Wenn wir dass jetzt [mm] N_{3} [/mm] nennen dann könnte das doch einen x beliebigen Wert annehmen, oder nicht...Bsp. 3,7,8,21,26,35,50 etc...??? Denn wenn ja die konvergenz für [mm] N_{1} [/mm] = 17 und [mm] N_{2} [/mm] = 49 gilt, dann gilt es doch auch für [mm] N_{3}= [/mm] "x bel Wert"
für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 findet man ein N [mm] \in \IN [/mm] , so daß [mm] |a_{n}-a|< \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge N_{3} [/mm] gilt
[mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] |a_{N} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich hab keine Ahnung wie ich das aufschreiben soll...
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> > Beweis:
> > Nun nehmen wir ein beliebiges [mm]\varepsilon>0[/mm]
> >
> > (Unser Ziel: es gibt ein [mm]N\in \IN[/mm] mit [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
> > für alle [mm]n\ge[/mm] N )
> >
> > Nach Voraussetzung gibt es [mm]N_1, N_2 \in \IN[/mm] mit
> >
> > > [mm]|b_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon
für alle n\ge N_1
\gdw |a_{2n}[/mm]
> > - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> > für alle [mm]n\ge N_1[/mm]
> >
> > und
> >
> > > [mm]|c_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon
für alle n\ge N_2
\gdw |a_{2n-1}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> > für alle [mm]n\ge N_2.[/mm]
> >
> > Nun muß man einen Grund (also ein passendes N) finden, so
> > daß man [mm]|a_n-a|[/mm] wie gewünscht abschätzen kann.
> >
> >
> > Um das zu finden, stell Dir mal (ganz im Geheimen) vor, [mm]N_1[/mm]
> > wäre =17 und [mm]N_2=[/mm] 49. Was könntest Du dann nehmen?
>
>
> Wir gehen ja dann vermutlich davon aus, dass auch [mm]|a_{n}[/mm] -
> a| < [mm]\varepsilon[/mm] sein muss.
Das müssen wir zeigen.
(Daß das irgendwie zu bewerkstelligen ist, wissen wir, weil die Aufgabe uns zum "Zeigen" auffordert und nicht zum "Beweisen oder Widerlegen".)
> Also wäre [mm]N_{1}[/mm] = 17 und [mm]N_{2}[/mm] = 49 dann solls ja ein
> weiteres N geben für das, dass gleiche gilt wie für [mm]N_{1}[/mm]
> und [mm]N_{2}.[/mm] Wenn wir dass jetzt [mm]N_{3}[/mm] nennen dann könnte das
> doch einen x beliebigen Wert annehmen, oder nicht...Bsp.
> 3,7,8,21,26,35,50 etc...??? Denn wenn ja die konvergenz für
> [mm]N_{1}[/mm] = 17 und [mm]N_{2}[/mm] = 49 gilt, dann gilt es doch auch für
> [mm]N_{3}=[/mm] "x bel Wert"
Laß uns bei diesem Beispiel bleiben. (Es ist ein Beispiel - mehr nicht.)
Ich hoffe daß du hieran verstehen kannst, worum es geht.
angenommen, wir hätten eine Reihe [mm] (a_1,a_2, a_3, a_4,...)
[/mm]
und wüßten, daß die Teilfolgen [mm] (a_2, a_4, a_6, [/mm] a_10,...) und [mm] (a_1,a_3,a_5,a_7,...) [/mm] gegen a konvergieren.
Nun hätten wir uns [mm] \varepsilon=\bruch{3}{237} [/mm] ausgesucht, und festgestellt, daß alle geraden Folgenglieder ab dem 17. Folgenglied, also ab [mm] a_{34} [/mm] nicht weiter als [mm] \varepsilon=\bruch{3}{237} [/mm] von a entfernt sind,
und die ungeraden ab dem 49. Folgenglied, also ab [mm] a_{97}.
[/mm]
Kannst Du jetzt eine "Schwelle" nennen, ab welcher die Glieder unserer Folge [mm] (a_1,a_2, a_3, a_4,...) [/mm] dichter als [mm] \varepsilon=\bruch{3}{237} [/mm] an a liegen?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 29.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> > > Beweis:
> > > Nun nehmen wir ein beliebiges [mm]\varepsilon>0[/mm]
> > >
> > > (Unser Ziel: es gibt ein [mm]N\in \IN[/mm] mit [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
> > > für alle [mm]n\ge[/mm] N )
> > >
> > > Nach Voraussetzung gibt es [mm]N_1, N_2 \in \IN[/mm] mit
> > >
> > > > [mm]|b_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon
für alle n\ge N_1
\gdw |a_{2n}[/mm]
> > > - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> > > für alle [mm]n\ge N_1[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > > [mm]|c_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon
für alle n\ge N_2
\gdw |a_{2n-1}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> > > für alle [mm]n\ge N_2.[/mm]
> > >
> > > Nun muß man einen Grund (also ein passendes N) finden, so
> > > daß man [mm]|a_n-a|[/mm] wie gewünscht abschätzen kann.
> > >
> > >
> > > Um das zu finden, stell Dir mal (ganz im Geheimen) vor, [mm]N_1[/mm]
> > > wäre =17 und [mm]N_2=[/mm] 49. Was könntest Du dann nehmen?
> >
> >
> > Wir gehen ja dann vermutlich davon aus, dass auch [mm]|a_{n}[/mm] -
> > a| < [mm]\varepsilon[/mm] sein muss.
>
>
> Das müssen wir zeigen.
> (Daß das irgendwie zu bewerkstelligen ist, wissen wir,
> weil die Aufgabe uns zum "Zeigen" auffordert und nicht zum
> "Beweisen oder Widerlegen".)
>
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> > Also wäre [mm]N_{1}[/mm] = 17 und [mm]N_{2}[/mm] = 49 dann solls ja ein
> > weiteres N geben für das, dass gleiche gilt wie für [mm]N_{1}[/mm]
> > und [mm]N_{2}.[/mm] Wenn wir dass jetzt [mm]N_{3}[/mm] nennen dann könnte das
> > doch einen x beliebigen Wert annehmen, oder nicht...Bsp.
> > 3,7,8,21,26,35,50 etc...??? Denn wenn ja die konvergenz für
> > [mm]N_{1}[/mm] = 17 und [mm]N_{2}[/mm] = 49 gilt, dann gilt es doch auch für
> > [mm]N_{3}=[/mm] "x bel Wert"
>
> Laß uns bei diesem Beispiel bleiben. (Es ist ein Beispiel -
> mehr nicht.)
> Ich hoffe daß du hieran verstehen kannst, worum es geht.
>
> angenommen, wir hätten eine Reihe [mm](a_1,a_2, a_3, a_4,...)[/mm]
>
> und wüßten, daß die Teilfolgen [mm](a_2, a_4, a_6,[/mm] a_10,...)
> und [mm](a_1,a_3,a_5,a_7,...)[/mm] gegen a konvergieren.
>
> Nun hätten wir uns [mm]\varepsilon=\bruch{3}{237}[/mm] ausgesucht,
> und festgestellt, daß alle geraden Folgenglieder ab dem 17.
> Folgenglied, also ab [mm]a_{34}[/mm] nicht weiter als
> [mm]\varepsilon=\bruch{3}{237}[/mm] von a entfernt sind,
> und die ungeraden ab dem 49. Folgenglied, also ab [mm]a_{97}.[/mm]
>
> Kannst Du jetzt eine "Schwelle" nennen, ab welcher die
> Glieder unserer Folge [mm](a_1,a_2, a_3, a_4,...)[/mm] dichter als
> [mm]\varepsilon=\bruch{3}{237}[/mm] an a liegen?
>
Wahrscheinlich dann bei geraden Folgenglieder ab dem 18. Folgenglied also [mm] a_{35}
[/mm]
und bei den ungeraden Folgenglieder ab dem 50. Folgenglied also [mm] a_{98}
[/mm]
Also jeweils um 1 mehr... d.h [mm] a_{n+1} [/mm] ??? Für dieses Beispiel...
Grüße
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Bedenke doch, daß jetzt eineEINE Schwelle für die Gesamtfolge gesucht ist. Wir unterscheiden nicht mehr zwischen gerade und ungerade. Wir brauchen nun ein "sicheres" N, so daß die [mm] a_n [/mm] für [mm] n\ge [/mm] N dicht genug an a liegen.
(Genau die Situation, die wir im allgemeinen Fall auch haben - wir überlegen ja nicht grundlos.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 29.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Es muss gelten: [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für [mm] a_4, a_6, a_8, [/mm] ..., und für [mm] a_7, a_9, [/mm] a_11, ???
Ich muss ein passendes N finden für das die Abschätzung gilt.
Aber ich habe ja [mm] a_{2n} [/mm] = [mm] a_4, a_6 [/mm] .(gerade) .. und für [mm] a_{2n-1} [/mm] = [mm] a_7, a_9...(ungerade)
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] setzt sich demnach aus [mm] a_{2n} [/mm] und [mm] a_{2n-1} [/mm] zusammen??
Aber ich weiß beim besten Willen nicht wie ich das passende N finden kann, wo die Abschätzung als erfüllt gilt....
zu Aufgabe b)
Muss da ein ausführlicher Beweis hin, oder reicht es wenn man mit einem Satz das erläutert?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Di 29.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Es muss gelten: [mm]|a_n[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm] für [mm]a_4, a_6, a_8,[/mm]
gilt für n>N1
> ..., und für [mm]a_7, a_9,[/mm] a_11, ???
gilt für n>N2
also nimm N3=max(N1,N2) dann gilts für alle n>N3!
> Ich muss ein passendes N finden für das die Abschätzung
> gilt.
> Aber ich habe ja [mm]a_{2n}[/mm] = [mm]a_4, a_6[/mm] .(gerade) .. und für
> [mm]a_{2n-1}[/mm] = [mm]a_7, a_9...(ungerade)[/mm]
>
> [mm]a_{n}[/mm] setzt sich demnach aus [mm]a_{2n}[/mm] und [mm]a_{2n-1}[/mm]
> zusammen??
>
> Aber ich weiß beim besten Willen nicht wie ich das passende
> N finden kann, wo die Abschätzung als erfüllt gilt....
>
> zu Aufgabe b)
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> Muss da ein ausführlicher Beweis hin, oder reicht es wenn
> man mit einem Satz das erläutert?
eigentlich wieder mit Angabe für N zu [mm] \varepsilon, [/mm] das sind vielleicht 3 Sätze.
Gruss leduart
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