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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 11.01.2010 | | Autor: | blackylk |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen sie ggf. den Grenzwert!
i) [mm] a_n=\wurzel[n]{n^3}
[/mm]
ii) [mm] b_n=\produkt_{j=2}^{n} (1-\bruch{1}{j})
[/mm]
iii) [mm] c_n= \bruch{e^{n*x}}{1+e^{nx}}
[/mm]
iv) [mm] d_n=\summe_{j=1}^{n} (1-\bruch{1}{j})
[/mm]
v) Für welche a,b,c [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^4+n^2+1} [/mm] - [mm] (an^2+bn+c)=0 [/mm] ? |
hallo, ich hab jetzt mit reihen und konvergenzen zu tun.
habe ausnahmsweise auch die vorlesung teils verstanden.
ich wollte fragen ob ich bei den aufgaben richtig vorgegangen bin und bei einigen die mir noch fehlen um tipps. grüße
i) [mm] a_n=\wurzel[n]{n^3}
[/mm]
Reicht es aus, wenn ich hinschreibe
da [mm] \wurzel[n]^{a} [/mm] -> 1 (a>0) laut script
konvergiert auch
[mm] a_n=\wurzel[n]{n^3} [/mm] -> 1
der
Grenzwert ist:1
Oder wie schreibe ich es formel richtig hin?
ii) [mm] b_n=\produkt_{j=2}^{n} (1-\bruch{1}{j})
[/mm]
hierzu hab ich folgendes stehen
da [mm] b_n<1 [/mm] -> die Folge ( ka ob mir Punkte abgezofen werden, weiß nämlich
nicht wie ich es sonst hinschreiben soll und hab im script keinen hinweis gefunden für produkte)
iii) [mm] c_n= \bruch{e^{n*x}}{1+e^{nx}}
[/mm]
hier würde ich spontan sagen konvergiert das ganze auch gegen 1, da etwas unendlich großes durch etwas unentlich großes ja 1 ist, aber da es verboten ist hab ich es ein wenig umgeformt, da mein übungsleiter meinte, im script hätten wir lospital noch nicht gemacht.
rausgekommen ist sowas
1- [mm] \bruch{1}{1+e^{nx}}
[/mm]
das was rechts steht wird zu null
und der grenzwert ist 1
ach stimmt hier ist ja noch ein x.
wenn x>0 dann konvergiert die folge 1
wenn x=0 dann konvergiert die folge gegen 1/2
wenn x<0 dann konvergiert die folge gegen 1
iv) [mm] d_n=\summe_{j=1}^{n} (1-\bruch{1}{j})
[/mm]
hier muss ich auch ne fallunterscheidung machen.
aber hier handelt es sich um eine reihe, also brauch ich ein kriterium.
eine fallunterscheidung muss ich heir auch machen.
1fall x>0
die reihe divergiert ( weil die folge (iii) gegen 1 ging, wird 1 immer und immer wieder addiert analog würde ich es für x<0 machen)
bei x=0
müsste das ganze ja auch divigieren, da
[mm] d_n=\summe_{j=1}^{n} (1-\bruch{1}{j})=\bruch{1}{1+1}+\bruch{1}{1+1}...
[/mm]
usw
auch hier stellt sich die frage, wie schreibe ich es mathematisch korrekt hin.
v) Für welche a,b,c [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^4+n^2+1} [/mm] - [mm] (an^2+bn+c)=0 [/mm] ?
Nach ein wenig tüffteln hab ich zumindest a bestimmt indem ich die dritte binomische formel benutzt hab.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{{(n^4+n^2+1)} - (an^2+bn+c)^2 }{\wurzel{n^4+n^2+1} + (an^2+bn+c)}=0
[/mm]
a konnt ich isolieren und bestimmen, aber der rest verspottet mich. ist es überhaupt möglich sie zu bestimmen?
jetzt hab ich alles mit [mm] n^4 [/mm] gekürzt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{{(1+\bruch {1} {n^2}+\bruch {1}{n^4})} - (a+\bruch{b}{n^2}+\bruch{c}{n^4}) }{\wurzel {\bruch {1}{n^4}+\bruch {1}{n^6}+\bruch {1}{n^8}} + \bruch{a}{n^2}+\bruch {b}{n^3}+\bruch {c}{n^4}}=0
[/mm]
alles wo n im nenner steht wird zu null, übrig bleibt lediglich
[mm] 1-a^2=0
[/mm]
<=> |a|=1
kann ich überhaupt b und c bestimmen? ich kann erweitern, kürzen etc. aber irgendwie komme ich nicht drauf.
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Hallo blackylk,
schonmal (i)-(iii):
> Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen sie
> ggf. den Grenzwert!
> i) [mm]a_n=\wurzel[n]{n^3}[/mm]
>
> ii) [mm]b_n=\produkt_{j=2}^{n} (1-\bruch{1}{j})[/mm]
>
> iii) [mm]c_n= \bruch{e^{n*x}}{1+e^{nx}}[/mm]
> hallo, ich hab jetzt mit reihen und konvergenzen zu tun.
> habe ausnahmsweise auch die vorlesung teils verstanden.
> ich wollte fragen ob ich bei den aufgaben richtig
> vorgegangen bin und bei einigen die mir noch fehlen um
> tipps. grüße
>
> i) [mm]a_n=\wurzel[n]{n^3}[/mm]
>
> Reicht es aus, wenn ich hinschreibe
>
> da [mm]\wurzel[n]^{a}[/mm] -> 1 (a>0) laut script
> konvergiert auch
> [mm]a_n=\wurzel[n]{n^3}[/mm] -> 1
> der
> Grenzwert ist:1
> Oder wie schreibe ich es formel richtig hin?
Wenn ihr "nur" gezeigt habt, dass für $a>0$ [mm] $\sqrt[n]{a}\longrightarrow [/mm] 1$ strebt für [mm] $n\to\infty$, [/mm] darfst du m.E. nicht benutzen, dass auch [mm] $\sqrt[n]{n}\longrightarrow [/mm] 1$ für [mm] $n\to\infty$. [/mm] Das sollest du zeigen.
Wenn du es allerdings benutzen darfst (etwa wenn ihr das doch schon gezeigt habt), so kannst du [mm] $\sqrt[n]{n^3}$ [/mm] schreiben als [mm] $\left[\sqrt[n]{n}\right]^3$ [/mm] und die Grenzwertsätze benutzen ...
>
> ii) [mm]b_n=\produkt_{j=2}^{n} (1-\bruch{1}{j})[/mm]
>
> hierzu hab ich folgendes stehen
>
> da [mm]b_n<1[/mm] -> die Folge ( ka ob mir Punkte abgezofen werden,
> weiß nämlich
> nicht wie ich es sonst hinschreiben soll und hab im script
> keinen hinweis gefunden für produkte)
Zeige mal per Induktion zunächst [mm] $\prod\limits_{j=2}^{n}\left(1-\frac{1}{j}\right)=\frac{1}{n}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN, [/mm] n>1$
>
> iii) [mm]c_n= \bruch{e^{n*x}}{1+e^{nx}}[/mm]
>
> hier würde ich spontan sagen konvergiert das ganze auch
> gegen 1, da etwas unendlich großes durch etwas unentlich
> großes ja 1 ist, aber da es verboten ist hab ich es ein
> wenig umgeformt, da mein übungsleiter meinte, im script
> hätten wir lospital noch nicht gemacht.
>
> rausgekommen ist sowas
>
> 1- [mm]\bruch{1}{1+e^{nx}}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
> das was rechts steht wird zu null
> und der grenzwert ist 1
> ach stimmt hier ist ja noch ein x.
>
> wenn x>0 dann konvergiert die folge 1
> wenn x=0 dann konvergiert die folge gegen 1/2
> wenn x<0 dann konvergiert die folge gegen 1
Das ist etwas unübersichtlich, aber genau die richtige Fallunterscheidung.
Klammere mal im Ausgangsterm in Zähler und Nenner [mm] $e^{nx}$ [/mm] aus und kürze es. Es bleibt:
[mm] $\frac{1}{\frac{1}{e^{nx}}+1}$
[/mm]
Für [mm] $x\ge [/mm] 0$ hast du die GWe richtig berechnet, für $x<0$ überlege nochmal, du kannst dann schreiben:
[mm] $\frac{1}{\frac{1}{e^{nx}}+1}=\frac{1}{e^{-nx}+1}$, [/mm] wobei der Exponent $-nx$ nun >0 ist, was ergibt sich also für [mm] $n\to\infty$? [/mm] ...
Soweit erstmal, den Rest gucke ich mir gleich noch an (oder jemand anderes macht es in der Zwischenzeit  )
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blackylk!
> iv) [mm]d_n=\summe_{j=1}^{n} (1-\bruch{1}{j})[/mm]
Handelt es sich bei [mm] $a_j [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{j}$ [/mm] um eine Nullfolge?
Kann diese Reihe also konvergieren?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Di 12.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blackylk!
Siehe mal hier; da habe ich gerade zur selben Aufgabenstellung eine Antwort geschrieben.
Gruß
Loddar
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ii)$ [mm] \prod\limits_{j=2}^{n}\left(1-\frac{1}{j}\right)=\frac{1}{n} [/mm] $ für [mm] n\ge [/mm] 2
IA: n=2 linke Seite = 1/2
rechte seite := 1/2
[mm] IS:(\prod\limits_{j=2}^{n}\left(1-\frac{1}{j}\right)) [/mm] * [mm] (1-\frac{1}{j})= \bruch {1}{n}*\bruch [/mm] {1-1+n}{n+1}= 1/n+1
=> [mm] b_n [/mm] ist eine Nullfolge mit den GW 0
iii) ok [mm] c_n [/mm] divergiertfür den letzten fall
iv) ahhh tut mir leid hab die aufgabe falsch aufgeschrieben.
sollte so aussehen
[mm] d_n= \summe_{i=0}^{n}\bruch{e^n*x}{1+e^nx}
[/mm]
jetzt ergeben meine wirschen aussagen auch einen sinn. ich nutze die ergebnisse aus [mm] c_n [/mm] , allerdings fehlt mir ein kriterium, mit den ich auf konvergenz bzw divergenz prüfe, bin mit den quotientenkriterium gescheitert. und das wurzelkriterium weiß ich nicht anzuwenden auf e funktionen.
grüße und sry wegen [mm] d_n, [/mm] dass passiert wenn ich im halbschlaf alles kopiere um schreibarbeit zusparen.
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Hi,
> [mm]d_n= \summe_{i=0}^{n}\bruch{e^n*x}{1+e^nx}[/mm]
hier würd ich als erstes umformen, dann kriegst du so etwas ähnliches raus wie schon oben (ausserdem ist noch was mit den Indizes nicht in Ordnung schau noch mal drüber i?):
[mm] \red{\summe_{i=0}^{n}}\bruch{e^n*x}{1+e^nx} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{e^n*x+1-1}{1+e^nx} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{1+e^nx}
[/mm]
Kann es sein das es eine Reihe sein soll: [mm] \red{\summe_{n=0}^{\infty}} [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 15.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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