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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 So 03.05.2009 | | Autor: | kalysa |
| Aufgabe | Hey,
ich habe folgende Aufgaben zu lösen, komme aber nicht wirklich weit:
Ich habe gegeben, dass n! := $ [mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] $ k und n sei natürlich.
a) zz: n! $ [mm] \ge 2^{n-1} [/mm] $
Ich habe das mit vollständiger Induktion versucht, lasse mich aber ziemlich von dem größer/gleich irritieren und weiß nicht so recht wie ich damit in dem Fall umgehen soll.
Begonnen habe ich damit, dass bei A(n+1) gilt: $ [mm] (n+1)!=\produkt_{k=1}^{n+1} [/mm] $ k = (n+1) mal n mal ... mal 1 und dann bin ich halt unsicher, soll ich hier schon sagen, dass dies $ [mm] \ge 2^{(n+1)-1} [/mm] $ bzw. $ [mm] \ge 2^{n} [/mm] $
Ich krieg es irgendwie nicht hin, entscheidende Sachen umzustellen und herauszuziehen, weil ich nicht im Klaren bin, wie ich dabei mit dem größer/gleich umgehen soll. Kann mir da bitte jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen muss?
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b) zz: Sei $ [mm] (a_{n}) [/mm] $ mit $ [mm] a_{n} [/mm] $ := $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}. [/mm] $ Dann gilt $ [mm] 0
Kann ich hier auch mit vollständiger Induktion arbeiten, und wenn ja, wie?
c) Die Folge $ [mm] (b_{n}) [/mm] $ mit $ [mm] b_{n} [/mm] $ := $ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $ mal $ [mm] a_{n} [/mm] $ ist eine Nullfolge.
Hier weiß ich leider gar nicht, wie ich da rangehen soll. Irgendwelche Tipps wären hilfreich.
Vielen Dank schon einmal!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=391509
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 03.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> ich habe folgende Aufgaben zu lösen, komme aber nicht
> wirklich weit:
>
> Ich habe gegeben, dass n! := [mm]\produkt_{k=1}^{n}[/mm] k und n sei
> natürlich.
>
> a) zz: n! [mm]\ge 2^{n-1}[/mm]
>
> Ich habe das mit vollständiger Induktion versucht, lasse
> mich aber ziemlich von dem größer/gleich irritieren und
> weiß nicht so recht wie ich damit in dem Fall umgehen
> soll.
> Begonnen habe ich damit, dass bei A(n+1) gilt:
> [mm](n+1)!=\produkt_{k=1}^{n+1}[/mm] k = (n+1) mal n mal ... mal 1
> und dann bin ich halt unsicher, soll ich hier schon sagen,
> dass dies [mm]\ge 2^{(n+1)-1}[/mm] bzw. [mm]\ge 2^{n}[/mm]
>
> Ich krieg es irgendwie nicht hin, entscheidende Sachen
> umzustellen und herauszuziehen, weil ich nicht im Klaren
> bin, wie ich dabei mit dem größer/gleich umgehen soll. Kann
> mir da bitte jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen
> muss?
>
Induktionsvoraussetzung:
[mm] $n!\geqslant 2^{n-1}$
[/mm]
Induktionsanfang: $n=1$
[mm] $1!=1\geqslant 1=2^{1-1}$
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] $(n+1)!=n!\cdot(n+1)\geqslant 2^{n-1}(n+1)\geqslant 2^{n-1}\cdot 2=2^n$
[/mm]
> b) zz: Sei [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}.[/mm]
> Dann gilt [mm]0
>
> Kann ich hier auch mit vollständiger Induktion arbeiten,
> und wenn ja, wie?
>
> c) Die Folge [mm](b_{n})[/mm] mit [mm]b_{n}[/mm] := [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mal [mm]a_{n}[/mm]
> ist eine Nullfolge.
>
> Hier weiß ich leider gar nicht, wie ich da rangehen soll.
> Irgendwelche Tipps wären hilfreich.
>
> Vielen Dank schon einmal!
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=391509
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