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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n^2}{n+4}
[/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
klassifizieren Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz. |
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n +1}
[/mm]
kleiner als 0 -> wachsend
größer als 0 -> fallend
[mm] n^2/ [/mm] (n+4) - [mm] (n^2+2n+1)/n+5
[/mm]
so kam ich nun, dass der nenner pos ist
und beim zähler habe ich
[mm] -n^2 [/mm] -9n - 4
wie zeige ich weiter?
Aus einsetzen weiß ich dass die folge wachsend ist
Beschränktheit:
lim [mm] \frac{n^2}{n+4} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}
[/mm]
n -> [mm] \infty
[/mm]
Da dividiert man doch durch 0? Ist doch nicht erlaubt!
Heißt dass somit die Folge ist divergent, wenn man durch 0 dividieren müsste?
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Hallo sissile,
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{n^2}{n+4}[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]
> klassifizieren Monotonie, Beschränktheit,
> Konvergenz.
> [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n +1}[/mm]
> kleiner als 0 -> wachsend
> größer als 0 -> fallend
Eigenartige Darstellung, aber richtig.
> [mm]n^2/[/mm] (n+4) - [mm](n^2+2n+1)/n+5[/mm]
> so kam ich nun, dass der nenner pos ist
nämlich (n+4)(n+5).
> und beim zähler habe ich
> [mm]-n^2[/mm] -9n - 4
Na. Wenn das mal nicht negativ aussieht...
> wie zeige ich weiter?
> Aus einsetzen weiß ich dass die folge wachsend ist
>
> Beschränktheit:
> lim [mm]\frac{n^2}{n+4}[/mm] = [mm]\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}[/mm]
> n -> [mm]\infty[/mm]
>
> Da dividiert man doch durch 0? Ist doch nicht erlaubt!
Das macht man auch gar nicht. Nur wird der Nenner immer kleiner.
Du kannst auch einfach mal [mm] \bruch{n^2}{n+4}=\bruch{n}{1+\bruch{4}{n}} [/mm] betrachten...
> Heißt dass somit die Folge ist divergent, wenn man durch
> 0 dividieren müsste?
Und wie!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Ist klar.
Post Zahl/ Negative Zahl <0
-> also wachsend
Frage: Wie schreibe ich dass am besten an, dass die folge keinen Grenzwert hate? (mathematisch korrekt)
Und was mache ich jetzt bei der Konvergenz? Die Folge konvergiert ja nicht. Wie soll ich also meine Folge klassifizieren bezüglich Konvergenz?
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Moin sissile,
> Und was mache ich jetzt bei der Konvergenz? Die Folge
> konvergiert ja nicht. Wie soll ich also meine Folge
Es gilt für [mm] n\geq4
[/mm]
[mm] a_n=\frac{n^2}{n+4}\geq\frac{n^2}{2n}=\frac{n}{2}\to \infty,n\to\infty. [/mm]
Die Folge ist also divergent.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Die abschätung verstehe ich jetzt nicht ganz!
> $ [mm] a_n=\frac{n^2}{n+4}\geq\frac{n^2}{2n}=\frac{n}{2}\to \infty,n\to\infty. [/mm] $
du gibts die 4 im Nenne weg ja, ABer wie kommst du plötzlich zu den 2n im nenner?kann man das nicht auch machen mit
[mm] \frac{n}{1}\to\infty
[/mm]
Also wenn ich das mit dem lim zeige und dass man durch 0 dividieren würde, stimmt das nicht?
Tschuldigung, dass ich so viel frage ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 So 13.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die abschätung verstehe ich jetzt nicht ganz!
> > [mm]a_n=\frac{n^2}{n+4}\geq\frac{n^2}{2n}=\frac{n}{2}\to \infty,n\to\infty.[/mm]
>
> du gibts die 4 im Nenne weg ja, ABer wie kommst du
> plötzlich zu den 2n im nenner?
für n [mm] \ge [/mm] 4 ist n+4 [mm] \le [/mm] 2n
Jetzt Kehrwert.
> kann man das nicht auch
> machen mit
> [mm]\frac{n}{1}\to\infty[/mm]
Nein. [mm] a_n \ge \frac{n}{1} [/mm] stimmt für kein n. (warum ?)
>
> Also wenn ich das mit dem lim zeige und dass man durch 0
> dividieren würde, stimmt das nicht?
Was meinst Du ?
FRED
>
> Tschuldigung, dass ich so viel frage ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
> Also wenn ich das mit dem lim zeige und dass man durch 0
> dividieren würde, stimmt das nicht?
> Was meinst Du ?
Wenn du im Tread am anfang schaust, versuchte ich den Grenzwert zu brechnen.
lim [mm] \frac{n^2}{n+4}
[/mm]
Habe also jeweils durch [mm] n^2 [/mm] dividiert
und da wäre [mm] =\frac{1}{1/n +4/n^2}
[/mm]
und das wäre bei lim n-> unendlich
[mm] \frac{1}{0}
[/mm]
Also div durch 0 was nicht geht.
Heißt: ich kann mir das zwar im Kopf denken, dass es somit divergent sein muss- aber aufschreiben sollte man es nicht so?
> für n $ [mm] \ge [/mm] $ 4 ist n+4 $ [mm] \le [/mm] $ 2n
Doch wie kommt man den genau auf das?
Ich hätte:
$ [mm] a_n=\frac{n^2}{n+4}\geq\frac{n^2}{n}=\frac{n}{1}\to \infty,n\to\infty. [/mm] $
Hab einfach nur abgeschätz und 4 somit weggelassen, was vorher auch schon paar gemacht haben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 13.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Also wenn ich das mit dem lim zeige und dass man durch 0
> > dividieren würde, stimmt das nicht?
>
> > Was meinst Du ?
> Wenn du im Tread am anfang schaust, versuchte ich den
> Grenzwert zu brechnen.
> lim [mm]\frac{n^2}{n+4}[/mm]
> Habe also jeweils durch [mm]n^2[/mm] dividiert
> und da wäre [mm]=\frac{1}{1/n +4/n^2}[/mm]
> und das wäre bei lim
> n-> unendlich
> [mm]\frac{1}{0}[/mm]
> Also div durch 0 was nicht geht.
>
> Heißt: ich kann mir das zwar im Kopf denken, dass es somit
> divergent sein muss- aber aufschreiben sollte man es nicht
> so?
>
> > für n [mm]\ge[/mm] 4 ist n+4 [mm]\le[/mm] 2n
> Doch wie kommt man den genau auf das?
> Ich hätte:
> [mm]a_n=\frac{n^2}{n+4}\geq\frac{n^2}{n}=\frac{n}{1}\to \infty,n\to\infty.[/mm]
>
> Hab einfach nur abgeschätz und 4 somit weggelassen,
Wenn Du die 4 weglässt, bekommst Du:
[mm] \frac{n^2}{n+4}\leq\frac{n^2}{n}
[/mm]
FRED
> was
> vorher auch schon paar gemacht haben!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Und was sagst du zu dem mit dem lim und durch 0 dividieren (hab es dir letzten post genau aufgeschrieben)!!!!!!!!
> $ [mm] \frac{n^2}{n+4}\leq\frac{n^2}{n} [/mm] $
Achja stimmt
und mit dem komme ich nun nicht weiter=?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 So 13.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Und was sagst du zu dem mit dem lim und durch 0 dividieren
> (hab es dir letzten post genau aufgeschrieben)!!!!!!!!
Das darfst Du nicht machen !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>
> > [mm]\frac{n^2}{n+4}\leq\frac{n^2}{n}[/mm]
> Achja stimmt
> und mit dem komme ich nun nicht weiter=?
Das hat man Dir doch gesagt:
[mm] \frac{n^2}{n+4} \ge [/mm] n/2
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Okay aber ich darf es mir im Hinterköpfchen denken oder?
$ [mm] \frac{n^2}{n+4}\leq\frac{n^2}{n} [/mm] $
Also ist die Abschätung nutzlos?
weil wir ja kleiner werden wollen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst das auch wie gezeigt mit dem GW machen, wenn der Nenner gegen 0 geht, geht der Bruch gegen unendlich. du dividierst ja nicht wirklich durch 0, sondern sagst nur, wenn ich beliebig große n nehme wird der nenner beliebig klein, der Bruch also beliebig ggro0ß dass kürzt man ab mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\infty[/mm].
Schöner und exakter aber ist der weg von fred. allerdings musst du dazu immer zeigen, dass eine noch kleinere Folge schon divergiert, also erst recht die größere!
Beispiel: es ist klar dass gilt 1/n<n wenn du jetzt sagst die rechte Seite divergiert, sagt das gar nichts über die linke! (die gegen 0 konvergiert.
bestimmt divergieren heißt genauer: zu jeder noch so großen Zahl N gibt es ein [mm] a_n [/mm] das größer ist als N . so ein n kannst du angeben wenn du hast [mm] a_n>n/2 [/mm] dann ist [mm] a_n>N [/mm] wenn [mm] n\ge [/mm] 2N ist!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Danke leduart für deine supa beschreibung! Hab es so gut verstanden ;)
Zu meiner Sicherheit darf ich nochmal anschreiben?
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n^2}{n+4}
[/mm]
$ [mm] \bruch{n^2}{n+4}=\bruch{n}{1+\bruch{4}{n}} [/mm] $
lim [mm] \frac{n}{1+\frac{4}{n}}
[/mm]
n -> [mm] \infty
[/mm]
[mm] 1+\frac{4}{n}-> [/mm] beliebig klein
[mm] \frac{n}{beliebig klein}
[/mm]
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\infty [/mm] $
Diese Lösung stimmt nun auch oder? nicht so elegant wie freds, aber dafür für mich gut verständlich!
oder soll ist statt beliebig klein ein anderes zeichen machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zu meiner Sicherheit darf ich nochmal anschreiben?
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{n^2}{n+4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{n^2}{n+4}=\bruch{n}{1+\bruch{4}{n}}[/mm]
>
> lim [mm]\frac{n}{1+\frac{4}{n}}[/mm]
> n -> [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]1+\frac{4}{n}->[/mm] beliebig klein
das ist falsch! [mm] $1+\frac{4}{n}$ [/mm] liegt beliebig nahe an 1
deshalb ist sicher [mm] $1+\frac{4}{n}<2$ [/mm] für n>4
deshalb [mm] $\frac{n}{1+\frac{4}{n}}>\frac{n}{2}$
[/mm]
deshalb [mm] lima_n=lim \frac{n}{2}=\infty [/mm]
das mit dem beliebig kleinen Nenner galt für
[mm] $\bruch{n^2}{n+4}=\bruch{1}{\bruch{1}{n}+\bruch{4}{n^2}}$
[/mm]
hier kannst du jetzt sagen: der Nenner konvergiert gegen 0 (das ist dasselbe wie wird beliebig klein), der Zähler ist endlich deshalb konv. der Bruch gegen unendlich
und es ist wiklich schöner, wenn du das so schreibst, dass man direkt sieht, (wie bei n/2 dass es gegen unendlich geht.
> [mm]\frac{n}{beliebig klein}[/mm]
richtig wäre [mm] $\frac{n}{beliebig nahe 1}$
[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\infty[/mm]
wegen n gegen [mm] \unendlich!
[/mm]
du warst doch auch auf dem Weg nahe bei fred!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Dankeschön!
Du kanst super erklären ;))
LG
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