Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Man untersuche : [mm] k_{n}= \bruch{n!}{n^n} [/mm] mit [mm] (k_{n})_{n\in\IN} [/mm] auf beschränktheit. |
Hi!
Habe folgendermaßen angefangen:
[mm] k_{1}=1
[/mm]
Um festzustellen ob "1" eine obere Schranke ist möchte ich zeigen, dass k{n} monoton fallend ist:
[mm] k_{n+1}-k_{n}<0
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}-\bruch{n!}{n^n}<0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{ n!\overbrace{((n+1)-(n+1)^{n+1})}^{<0}}{n^n*(n+1)^{n+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Streng mon. fallend.
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 ist obere Schranke
Wie zeige ich jetzt das "0" die untere Schranke ist?
Reicht es zu schreiben, dass [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] mit [mm] n\in \IN [/mm] >0 für alle n?
gruß
|
|
| |
|
Hallo Valerie,
vorab: Du gibst hier im Forum in letzter Zeit gute Antworten. Vielen Dank dafür!
Die Aufgabe hast Du offenbar auch schon weitestgehend gelöst.
> Man untersuche : [mm]k_{n}= \bruch{n!}{n^n}[/mm] mit
> [mm](k_{n})_{n\in\IN}[/mm] auf beschränktheit.
>
> Habe folgendermaßen angefangen:
> [mm]k_{1}=1[/mm]
> Um festzustellen ob "1" eine obere Schranke ist möchte
> ich zeigen, dass k{n} monoton fallend ist:
> [mm]k_{n+1}-k_{n}<0[/mm]
>
> [mm]\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}-\bruch{n!}{n^n}<0[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{ n!\overbrace{((n+1)-(n+1)^{n+1})}^{<0}}{n^n*(n+1)^{n+1}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Streng mon. fallend.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 ist obere Schranke
Stimmt. Allerdings musst Du dazu noch die Selbstverständlich niederschreiben, dass [mm] \bruch{1!}{1^1}\le1 [/mm] ist.
> Wie zeige ich jetzt das "0" die untere Schranke ist?
>
> Reicht es zu schreiben, dass [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] mit [mm]n\in \IN[/mm]
> >0 für alle n?
Ich denke, dass das reicht. Sicherer ist dies:
Da für [mm] n\in\IN [/mm] sowohl n!>0 also auch [mm] n^n>0 [/mm] ist, ist auch [mm] \bruch{n!}{n^n}>0.
[/mm]
Herzliche Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Hallo Valerie,
>
> vorab: Du gibst hier im Forum in letzter Zeit gute
> Antworten. Vielen Dank dafür!
Danke!
> Ich denke, dass das reicht. Sicherer ist dies:
> Da für [mm]n\in\IN[/mm] sowohl n!>0 also auch [mm]n^n>0[/mm] ist, ist auch
> [mm]\bruch{n!}{n^n}>0.[/mm]
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Habe mir überlegt einfach den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} k_{n} [/mm] zu berechnen um zu zeigen, dass "0" die untere Schranke ist.
Leider scheint mir das nicht so einfach zu sein.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}k_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*(n-1)!}{n*n^{n-1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n-1)!}{n^{n-1}}
[/mm]
Wie könnte man denn nun weitermachen?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^{-(n-1)}*{(n-1)!} [/mm] geht nicht, da ein
Ausdruck "0 * [mm] \infty" [/mm] entsteht.
Könnte das höchstens logisch folgern, wie:
[mm] \bruch{(n-1)*(n-2)*...*2*1}{\underbrace{n*n....*n*n}_{n-1 mal}}
[/mm]
Und das geht dann gegen Null.
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Habe mir überlegt einfach den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} k_{n}[/mm]
> zu berechnen um zu zeigen, dass "0" die untere Schranke
> ist.
> Leider scheint mir das nicht so einfach zu sein.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}k_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*(n-1)!}{n*n^{n-1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n-1)!}{n^{n-1}}[/mm]
>
> Wie könnte man denn nun weitermachen?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n^{-(n-1)}*{(n-1)!}[/mm] geht nicht,
> da ein
>
> Ausdruck "0 * [mm]\infty" $"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Cinfty$" "=""> entsteht.
Na, das ist ja erst einmal eine gute Voraussetzung, um l'Hospital anzuwenden (natürlich eher vor der letzten Umformung). Leider ist die Fakultätsfunktion nicht so gut abzuleiten, wenn man sie nicht durch die [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel] Stirling-Formel [/url] ersetzt.
> Könnte das höchstens logisch folgern, wie:
>
> ![$\bruch{(n-1)*(n-2)*...*2*1}{\underbrace{n*n....*n*n}_{n-1 mal}}[/mm]
</font>
<br>
<font class=]() >
> Und das geht dann gegen Null.
Viel besser. Hier geht eines der möglichen "sauberen" Argumente so: die ersten (n-2) Faktoren sind <1, der letzte geht für [mm] n\to\infty [/mm] gegen Null.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Do 27.10.2011 | | Autor: | Valerie20 |
Ok, danke.
|
|
|
|
