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| Aufgabe | Einer Folge [mm] (a_n) [/mm] in [mm] \IC [/mm] ordne man die neue Folge
[mm] s_n:= [/mm] 1/n [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] zu.
Zeigen Sie: Aus [mm] a_n \to [/mm] a folgt [mm] s_n \to [/mm] a. |
Hallo,
kann mir jemand helfen? Hab keine Idee wie ich hier anfangen soll.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Di 07.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Einer Folge [mm](a_n)[/mm] in [mm]\IC[/mm] ordne man die neue Folge
> [mm]s_n:= 1/n \summe_{k=1}^{n} a_k,[/mm] [mm]n \in \IN[/mm] zu.
> Zeigen Sie: Aus [mm]a_n \to a[/mm] folgt [mm]s_n \to a[/mm].
> Hallo,
> kann mir jemand helfen? Hab keine Idee wie ich hier
> anfangen soll.
Schreib dir erstmal hin, was die Voraussetzung bedeutet: [mm]a_n \to a[/mm] heisst, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein $N>0$ gibt, sodass
(*) [mm] |a_n-a| < \varepsilon [/mm] für alle $n>N$ .
Zeigen sollst du, dass [mm]s_n \to a[/mm], also dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein $M>0$ gibt, sodass
(**) [mm] |s_n-a| < \varepsilon [/mm] für alle $n>M$ .
Ich habe ganz bewusst zwischen N und M unterschieden, da wir im Moment noch gar nicht wissen, wie die beiden Zahlen miteinander zusammenhängen.
Fangen wir mal mit (**) an: wir wollen [mm] |s_n-a| < \varepsilon [/mm] herausbekommen, also zeigen dass
[mm] \varepsilon > |s_n-a| = \left| \bruch{1}{n} \left(\summe_{k=1}^n a_k\right)-a\right| = \left| \bruch{1}{n} \left(\summe_{k=1}^n a_k-n*a\right) \right| = \bruch{1}{n} \left| \summe_{k=1}^n a_k-n*a\right| = \bruch{1}{n} \left|\summe_{k=1}^n (a_k -a ) \right| [/mm] .
Hilft dir das weiter?
(Tipp: du kannst nicht einfach [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] einsetzen, weil das erst ab $n>N$ gilt.)
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen Dank.
Aber irgendwie steh ich grad bissel auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 07.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank.
> Aber irgendwie steh ich grad bissel auf dem Schlauch...
Wo hängt's denn?
Versuche die Summe in zwei Teile zu zerlegen: ein Teil, in dem du direkt [mm] $|a_k-a|<\varepsilon$ [/mm] einsetzen kannst und einen zweiten, der für genügend große n beliebig klein wird.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
ich weiß auch nicht. Konnte an der entsprechenden Vorlesung dazu nicht teilnehmen und kann mit dem Skript wenig anfangen. Könntest du mir die Aufgabe komplett erklären? Das wäre wirklich super.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst schon sagen, was du noch kannst und was nicht. eine gesamte Vorlesungsreihe ersetzen können wir nicht. im netz und in büchern gibt es viele Konvergenzbeweise, arbeit mal einige durch, und versuchs dann noch mal. eine Endliche summe bis zu einem festen k summiert ergibt ne feste zahl z z/n geht immer gegen 0 egal wie groß z ist, wenn es ne feste zahl ist.
Den rest hat rauner fast schon fertig aufgeschrieben.
gruss leduart
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