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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Geben Sie jeweils Beispiele von Folgen [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=+\infty, \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=0 [/mm] und
(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}*b_{n}=0
[/mm]
(b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}*b_{n}=+\infty
[/mm]
(c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}*b_{n}=c, c\in\IR
[/mm]
(d) [mm] (a_{n}b_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist beschränkt, aber nicht konvergent. |
Guten,
ich sitz vor dieser Aufgabe und bin mir nicht ganz sicher, wie ich am besten daran gehen sollte.
Für (a) wäre mein Vorschlag: [mm] a_{1}=1, a_{n+1}=2*a_{n} [/mm] und [mm] b_{1}=1, b_{n+1}=\bruch{1}{b_{n}}
[/mm]
Liege ich einigermaßen richtig mit meiner Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, du willst die Folgen rekursiv angeben, aber ich glaube, dass es einfacher ist, wenn du die expliziten Formel nimmst.
Probiere mal mit einfachen Folgen rum, wie n, [mm] n^2, \bruch{1}{n}, \bruch{1}{n^2}, [/mm] ...
Damit kannst du da schon viel bewirken.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
Also vielleicht sowas wie
[mm] a_{n}=n^{2} [/mm] und
[mm] b_{n}=\bruch{1}{n^{2}} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo stffn!
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zu welcher der Teilaufgaben kannst Du dieses Beispiel nun zuordnen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ich habe mir gedacht die passen zu (a), aber irgendwie würden sie ja auch zu (b) passen. Wenn [mm] a_{n} [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] geht und [mm] b_{n} [/mm] gegen 0, dann würde es entweder zu beiden passen oder zu keinem der beiden. Hier weiß ich nicht weiter, ist ne komische Aufgabe. Wenn ich bei (c) für c z.B. 0 wähle, würde die sogar dazu passen?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
Oder passt das zu (c) wenn man c=1 wählt?
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Hallo,
> Ich habe mir gedacht die passen zu (a), aber irgendwie
> würden sie ja auch zu (b) passen. Wenn [mm]a_{n}[/mm] gegen
> [mm]+\infty[/mm] geht und [mm]b_{n}[/mm] gegen 0, dann würde es entweder zu
> beiden passen oder zu keinem der beiden. Hier weiß ich
> nicht weiter, ist ne komische Aufgabe. Wenn ich bei (c)
> für c z.B. 0 wähle, würde die sogar dazu passen?!
Nein, sie erfüllen zwar die Voraussetzungen für alle Aufgaben, nämlich [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$
[/mm]
Aber was ist denn mit [mm] $a_n\cdot{}b_n$
[/mm]
Das ist [mm] $n^2\cdot{}\frac{1}{n^2}=1$
[/mm]
Was ist also [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot{}b_n)$? [/mm]
Und welcher Aufgabe kannst du dieses Bsp. folglich zuweisen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ja, dann hatte ich wohl recht damit, dass ich es (c) zuordnen könnte wenn ich c=1 wähle.
Aber wie soll denn das bei (a) und (b) funktionieren, weil [mm] a_{n} [/mm] doch immer gegen [mm] \infty [/mm] gehen soll und [mm] (b)_{n} [/mm] immer gegen 0?
Ich kann doch nicht einfach [mm] a_{n}*0 [/mm] oder so rechnen, damit [mm] a_{n}*b_{n}=0 [/mm] ist..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Fr 14.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: bei (a) , (b) und (c) kannst Du [mm] $b_n=1/n$ [/mm] wählen
Nun zur Wahl von [mm] a_n:
[/mm]
Bei (a) und (b) kannst Du [mm] (a_n) [/mm] = [mm] (n^{\alpha}) [/mm] wählen. Wie wählst Du das [mm] \alpha [/mm] bei (a) ? und wie bei (b)?
(c) ist geklärt
(d) wähle [mm] a_n [/mm] = n. Jetzt Du : finde [mm] b_n
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
Also, dann wähle ich mal folgender maßen:
Für (a),(b) und (c) wähle ich [mm] b_{n}=\bruch{1}{n}.
[/mm]
Für (a): [mm] a_{n}=n^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
(b): [mm] a_{n}=n^{2}
[/mm]
(c): [mm] a_{n}=n, [/mm] c=1
Bei (d) weiß ich nicht genau. Beschränkt heißt doch, dass es eine obere und eine untere Grenze gibt?
Was wäre denn mit [mm] b_{n}=\bruch{1}{n-1} [/mm] ?
Und was genau ist eigentlich der Unterschied zwischen beschränkt und konvergent? Also ich weiß dass jede kovergente Folge beschränkt ist, aber nicht jede beschränkte konvergent. Ich habe mir das so vorgestellt, dass konvergent bedeutet, dass es einen Grenzwert gibt, der nicht erreicht wird, und beschränkt heißt, dass es einen Wert gibt, mit dem die Folge endet?!
Schöne Grüße!
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Hallo nochmal,
> Also, dann wähle ich mal folgender maßen:
>
> Für (a),(b) und (c) wähle ich [mm]b_{n}=\bruch{1}{n}.[/mm]
> Für (a): [mm]a_{n}=n^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> (b): [mm]a_{n}=n^{2}[/mm]
> (c): [mm]a_{n}=n,[/mm] c=1
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das passt alles!
>
> Bei (d) weiß ich nicht genau. Beschränkt heißt doch,
> dass es eine obere und eine untere Grenze gibt?
Eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] heißt beschränkt, falle es ein [mm] $M\ge0$ [/mm] gibt mit [mm] $|x_n|\le [/mm] M$ für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
> Was wäre denn mit [mm]b_{n}=\bruch{1}{n-1}[/mm] ?
Und die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] dazu ?
> Und was genau ist eigentlich der Unterschied zwischen
> beschränkt und konvergent? Also ich weiß dass jede
> kovergente Folge beschränkt ist, aber nicht jede
> beschränkte konvergent. Ich habe mir das so vorgestellt,
> dass konvergent bedeutet, dass es einen Grenzwert gibt, der
> nicht erreicht wird, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die konstante Folge [mm] (1)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert offensichtlich gegen 1 und nimmt sogar für jedes ihrer Folgenglieder den GW an
> und beschränkt heißt, dass es einen
> Wert gibt, mit dem die Folge endet?!
Nein, es gibt eine Schranke, unter der alle Folgenglieder (betraglich) liegen (bzw. die betraglich von keinem Folgenglied überschritten wird)
Noch ein Tipp für $(d)$:
Die Folge [mm] $\left((-1)^n\right)_{n\in\IN}$ [/mm] ist offenbar beshränkt durch zB. 1, denn kein Folgenglied ist betraglich größer als 1, ist sie konvergent?
Nein!
Nimm dir die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=n$ [/mm] her und bastel nun mal mit dem oben Gesagten ein passendes [mm] $b_n$ [/mm] ...
> Schöne Grüße!
Ebenso
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
Sorry. Aber das einzige was mir dazu einfällt, wäre
[mm] a_{n}=n [/mm] und dazu [mm] b_{n}=0^{n}. [/mm]
Welche Folge sonst soll denn mit einer Folge multipliziert, die gegen unendlich geht, eine Schranke haben? Und vorallem muss ja [mm] b_{n} [/mm] auch gegen 0 gehen / 0 sein.
Danke euch schonmal für die nette unterstützung!
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Hallo nochmal,
du musst aufmerksamer lesen.
Ich habe dir im letzten post schon viel zu viel vorgesagt.
Nimm [mm] $(a_n)=n$ [/mm] und als [mm] $(b_n)$ [/mm] eine "passende" alternierende Nullfolge.
Denke an die Überlegungen zu (c)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
Langsam könnte es peinlich werden, aber ich versuche es nochmal:
[mm] a_{n}=n [/mm] und [mm] b_{n}=-1^{n}*\bruch{1}{n}.
[/mm]
So. [mm] b_{n} [/mm] ist eine alternierende Nullfolge (?). Aber warum (falls überhaupt) ist die Folge [mm] a_{n}*b_{n} [/mm] dann beschränkt? Die "springt" doch sozusagen zwischen -1 und 1 hin und her, wird aber nie zwischen -1 und 1 liegen.
Dass die Betragliche Grenze 1 wäre, stimmt dann ja... aber ist das alles?
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Hallo nochmal,
> Langsam könnte es peinlich werden
aber nur, weil du nicht gründlich genug liest!
> , aber ich versuche es
> nochmal:
> [mm]a_{n}=n[/mm] und [mm]b_{n}=\red{(}-1\red{)}^{n}*\bruch{1}{n}.[/mm]
> So. [mm]b_{n}[/mm] ist eine alternierende Nullfolge (?).
Ja, stimmt, denn [mm] $|b_n-0|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}$ [/mm] kriegst du kleiner als jedes [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
> Aber warum
> (falls überhaupt) ist die Folge [mm]a_{n}*b_{n}[/mm] dann
> beschränkt? Die "springt" doch sozusagen zwischen -1 und 1
> hin und her, wird aber nie zwischen -1 und 1 liegen.
Wird sie je größer als 2? Wird sie je kleiner als -2?
Ist dann nicht 2 eine obere und -2 eine untere Schranke, bzw. 2 eine betragliche Schranke
Oder statt 2 lieber 10000 oder 4711 oder 0815?
Wenn du nicht liest, was man dir schreibt, ist das Helfen müßig.
Schaue oben nach, was ich zur Beschränktheit geschrieben habe ...
> Dass die Betragliche Grenze 1 wäre, stimmt dann ja...
> aber ist das alles?
Aha, ja, siehe die Definition oben! Alle Folgenglieder sind dem Betrage nach [mm] $\le [/mm] 1$ (iZ. [mm] $|b_n|\le [/mm] 1 \ [mm] \forall n\in\IN$) [/mm] - das ist Bechränktheit
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Fr 14.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ok.
Ich habe verstanden.
Ich versuche natürlich so gut wie möglich mitzudenken und alles durchzulesen. Aber wenn es allein in einer Aufgabe mehrere Sachen gibt von denen man noch nie was gehört hat und man sich die ganze Zeit durch Definitionen etc durchlesen muss, ist das nicht immer so einfach.
Bin schon seit mehreren Wochen daran gehindert, zur Uni zu gehen, weshalb ich alles selbst herausfinden muss. Ohne eurer Hilfe hätte ich wahrscheinlich schon längst aufgegeben, aber selbst mit dieser ist es bei dem Uni-tempo manchmal schwierig immer alles zu verstehen und sich zu merken.
Danke aufjedenfall für die Gedult und ich werde in Zukunft einfach mal versuchen, nicht mehrere Aufgaben parralel zu machen. Das dauert so wahrscheinlich sogar länger als wenn ich eins nach dem anderen mache.
Schönes Wochenende!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok.
> Ich habe verstanden.
> Ich versuche natürlich so gut wie möglich mitzudenken und
> alles durchzulesen. Aber wenn es allein in einer Aufgabe
> mehrere Sachen gibt von denen man noch nie was gehört hat
> und man sich die ganze Zeit durch Definitionen etc
> durchlesen muss, ist das nicht immer so einfach.
> Bin schon seit mehreren Wochen daran gehindert, zur Uni zu
> gehen, weshalb ich alles selbst herausfinden muss.
dann ist's verständlich, dass Du noch Nachholbedarf hast. Nichtsdestotrotz solltest Du die (theoretischen) Dinge erst lernen (bzw. Dich ein wenig länger damit beschäftigen) und versuchen, zu verstehen. Und auch selbst drüber nachdenken und Dir evtl. auch Beispiele auszudenken.
Manchmal hapert's auch an einem Wort oder an der Reihenfolge in der Definition, denn z.B. sagen manche Leute:
"Wieso ist denn nicht jede Folge in [mm] $\IR$ [/mm] auch beschränkt? Es gilt doch für jedes [mm] $n\,,$ [/mm] dass [mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist? Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert also ein $M > 0$ (z.B. [mm] $M=2|a_n|$) [/mm] mit [mm] $|a_n| [/mm] < M$?"
Der Witz an der Sache ist der, dass ein [mm] $M\,$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] existieren soll, so dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] dann [mm] $|a_n| [/mm] < M$ ist. Anders gesagt:
"Für alle [mm] $n\,$ [/mm] existiert ein [mm] $M\,$..." [/mm]
bedeutet, dass das [mm] $M\,$ [/mm] auch in Abhängigkeit von [mm] $n\,$ [/mm] gewählt werden kann/soll/darf, während
"Es existiert ein [mm] $M\,$ [/mm] für alle [mm] $n\,$..." [/mm]
bedeutet, dass das [mm] $M\,$ [/mm] von [mm] $n\,$ [/mm] unabhängig gewählt werden kann/soll/darf ("universelle Wahl").
Später wird Dir die Wichtigkeit des genauen Lesens eines Satzes sicherlich auch an anderen Stellen bewußt werden (z.B. Stetigkeit vs. glm. Stetigkeit etc.).
> Ohne
> eurer Hilfe hätte ich wahrscheinlich schon längst
> aufgegeben, aber selbst mit dieser ist es bei dem Uni-tempo
> manchmal schwierig immer alles zu verstehen und sich zu
> merken.
>
> Danke aufjedenfall für die Gedult
Geduld schreibt sich das Wort 
> und ich werde in Zukunft
> einfach mal versuchen, nicht mehrere Aufgaben parralel
parallel!
> zu
> machen. Das dauert so wahrscheinlich sogar länger als wenn
> ich eins nach dem anderen mache.
Ja. Besser eins nach dem anderen und das dann genau durchkauen und verstehen. Außerdem gerät man (gerade bei Uni-Tempo) sonst gerne mal in die Gefahr, Dinge miteinander zu verwechseln oder durcheinander zu schmeißen. Wie oft lese ich z.B. hier, dass angeblich eine konvergente Folge stets monoton und beschränkt ist. Die Monotonie und Beschränktheit einer Folge (in [mm] $\IR$) [/mm] ist aber nur ein hinreichendes, und kein notwendiges, Kriterium für die Kgz..
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich kann doch nicht einfach [mm]a_{n}*0[/mm] oder so rechnen,
> damit [mm]a_{n}*b_{n}=0[/mm] ist..?
warum nicht? Das wäre zwar trivial, aber bzgl. der a) wäre alles erfüllt:
[mm] $a_n=n \to \infty\,,$ $b_n=0 \to [/mm] 0$ und es folgt damit
[mm] $$a_n*b_n=n*0=0 \to 0\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mal generell zu den Aufgaben:
Geben Sie jeweils Beispiele von Folgen $ [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] $ und $ [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] $ mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=+\infty, \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=0 [/mm] $ und
(a) $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot{}b_{n}=0 [/mm] $
Wenn Du Dir das anguckst: Mit [mm] $a_n=n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] strebt [mm] $(a_n)_n$ [/mm] schonmal gegen [mm] $\infty$. [/mm] Du brauchst nun eine Folge, die schneller gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt als [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] (damit dann [mm] $a_n*b_n \to [/mm] 0$). Die Folge [mm] $(\tilde{b}_n)$ [/mm] mit [mm] $\tilde{b}_n=1/a_n$ [/mm] wäre "nicht schnell genug". Wie bekommt man es hin, dass sie "schnell genug" strebt? (Tipp: geeignete Potenz.)
(b) $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot{}b_{n}=+\infty [/mm] $
Ähnliche Überlegung wie bei (a). Wenn Du [mm] $a_n=n$ [/mm] stehen läßt, dann denke vielleicht daran, bei [mm] $b_n$ [/mm] bzgl. [mm] $\tilde{b}_n$ [/mm] einen Exponent als Bruch (der [mm] $>\,0 [/mm] $ und $< [mm] 1\,$ [/mm] ist) zu wählen.
Alternativ:
Beginne mit [mm] $b_n=1/n\,$ [/mm] und wähle dann [mm] $a_n=n^k$ [/mm] mit geeignetem [mm] $k\,.$
[/mm]
(c) $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot{}b_{n}=c, c\in\IR [/mm] $
Wenn man [mm] $a_n=n$ [/mm] und [mm] $b_n=1/n$ [/mm] wählen würde, würde [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] und [mm] $b_n \to [/mm] 0$ gelten und [mm] $a_n*b_n=1 \to 1\,.$ [/mm] Nun sollte man überlegen, bei welcher dieser Folgen man am günstigten [mm] $c\,$ [/mm] dranmultipliziert (würde man anstatt [mm] $a_n=n$ [/mm] hier [mm] $a_n=c*n$ [/mm] wählen, so würde für $c < [mm] 0\,$ [/mm] dann [mm] $a_n \to -\infty$ [/mm] gehen, und man bräuchte eine Fallunterscheidung). (Die Idee: Denke an das Rechengesetz für konvergente Folgen: [mm] $x_n \to [/mm] x$ [mm] $\Rightarrow$ $y_n:=c*x_n \to c*x=:y\,.$)
[/mm]
(d) $ [mm] (a_{n}b_{n})_{n\in\IN} [/mm] $ ist beschränkt, aber nicht konvergent.
Z.B. kann man sich überlegen, wie man zu [mm] $a_n=n$ [/mm] dann [mm] $b_n$ [/mm] findet mit [mm] $a_n*b_n=(-1)^n$ ($((-1)^n)_n$ [/mm] ist ein Paradebeispiel einer beschränkten, nicht konvergenten Folge). Zu testen oder begründen wäre dann aber noch, dass [mm] $(b_n)_n$ [/mm] dann auch in der Tat eine Nullfolge ist.
Beste Grüße,
Marcel
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