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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 01.02.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | | Untersuche, ob [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n} [/mm] konvergiert und bestimme ggf den Grenzwert. |
Hallo zusammen,
ich bereite mich gerade auf meine erste Analysisklausur vor und bekomme irgendwie noch nicht richtig den Dreh raus, was Abschätzungen und ähnliches angeht.
Also:
1.Frage:
Durch ausprobieren (mit dem Taschenrechner) bin ich dazu gekommen, die Behauptung aufzustellen, dass [mm] a_{n} [/mm] gegen 0 konvergiert. Einen Taschenrechner draf ich aber in der Klausur nicht benutzen. Also wie könnte ich problemlos anders auf diese Vermutung kommen?
2.Frage:
z.zg.:
[mm] \forall \varepsilon \exists n_{0} \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}: [/mm] | [mm] a_{n}-a [/mm] | <
[mm] \varepsilon [/mm] (hier a = 0)
dazu:
Jetzt habe ich entsprechende Folge und entsprechenden Grenzwert eingesetzt, wobei [mm] \varepsilon \in \IR [/mm] beliebig ist.
Da es sich um reelle Folgen handelt und [mm] \wurzel{n+1} [/mm] größer ist als [mm] \wurzel{n} [/mm] kann man dies unabhängig vom Betrag zeigen!?
Nach einigen Umformungen kam ich schließlich auf folgenden Ausdruck:
n- [mm] \wurzel{ n^{2}+n} [/mm] < [mm] \bruch{ \varepsilon^{2}-1}{2}
[/mm]
Ab hier komme ich aber nicht mehr weiter bzw. weiss ich auch gar nicht, ob bis hier wirklich alles richtig ist. Ich würde mich also freuen, wenn ihr mir helfen könntet. Danke schon mal im Voraus.
Gruß, Patrick
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Hallo Patrick,
du meinst [mm] $a_n=\wurzel{n+1}-\wurzel{n}$, [/mm] oder?
mein tip zu dieser aufgabe läßt sich sehr kurz fassen: binomische formel!
VG
Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Shaya |
überleg mal bitte [mm] \wurzel{n} [/mm] betrachtest, dann ist sie ja wohl kleiner als [mm] \wurzel{n+1} [/mm] und was ist mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] ist und wie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n+1} [/mm] und dann überleg mal, wie es mit der additon von grenzwerten ist.
bedenke konvergenz kann man auch anders als über chauchy machen:
"jede folge ist konvergent, wenn sie monoton fallend (steigend) und nach unten (oben) beschränkt ist.
lg von jemandem, der sich grad noch auf seine analysisklausur für morgen vorbereiten
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