Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachtet wird die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_n=\wurzel{n}-\wurzel{n-1}$ [/mm] und [mm] $n=1,2,3,\ldots$
[/mm]
Besitzt die Folge [mm] $n\to\infty$ [/mm] einen Grenzwert? |
Ich habe grosse Probleme bei der Grenwertberechnung und wie komme ich auf die Werte?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo bluewave!
Erweitere mal mit [mm] $\sqrt{n} [/mm] + [mm] \sqrt{n-1}$ [/mm] und wende im Zähler die 3. Binomische Formel an. Dann siehst du es sofort...
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Betrachtet wird die Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ mit $ [mm] a_n=\wurzel{n}-\wurzel{n-1} [/mm] $ und $ [mm] n=1,2,3,\ldots [/mm] $
Besitzt die Folge $ [mm] n\to\infty [/mm] $ einen Grenzwert? |
Ich habe die Formel mit [mm] \wurzel{n}+\wurzel{n-1} [/mm] erweitert und habe n-1 rausbekommen. Andere Frage wendet man dieses Verfahren immer an in dem man den Wert erweitert?
|
|
|
| |
|
Hallo bluewave!
> Ich habe die Formel mit [mm]\wurzel{n}+\wurzel{n-1}[/mm] erweitert
> und habe n-1 rausbekommen.
Das ist aber nur die halbe Wahrheit. Wenn du erweiterst (und nicht nur multiplizierst: damit veränderst Du ja den Wert des Terms), musst du nun einen Bruch (mit Zähler und Nenner) erhalten:
[mm] $\wurzel{n}-\wurzel{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ \left(\wurzel{n}-\wurzel{n-1}\right)*\left(\wurzel{n}+\wurzel{n-1}\right)}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n-(n-1)}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}}$
[/mm]
Und nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] ...
> Andere Frage wendet man dieses
> Verfahren immer an in dem man den Wert erweitert?
Nein, immer klappt das garantiert nicht. Das erfordert etwas Übung, um derartige Aufgaben sofort zu erkennen. Aber solche Summen oder Differenzen mit Wurzeln sollte man auf jeden Fall mit dieser Methode mal zu Leibe Rücken!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
