Folge von Prämaßen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | | Eine Folge [mm] (\mu_{n})_{n\in\IN} [/mm] von Prämaßen auf einem Ring R sei isoton, d.h. [mm] \mu_{n}(A) \le \mu_{n+1}(A) [/mm] für alle A [mm] \in [/mm] R und alle [mm] n\in\IN. [/mm] Dann wird durch [mm] \mu(A) [/mm] := [mm] sup\mu_{n}(A), [/mm] A [mm] \in [/mm] R, ein Prämaß [mm] \mu [/mm] auf R definiert. |
Die ersten beiden Schritte, um zu beweisen, dass [mm] \mu [/mm] ein Prämaß ist, sind mir klar. Bleibt also zu zeigen, dass:
[mm] sup\mu_{n}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}sup\mu_{n}(A_{i})
[/mm]
Ich nehme an, es würde reichen, zu zeigen, dass ich bei der Summe das sup vor das Summenzeichen ziehen kann. Der Rest wäre dann trivial. Aber mit welcher Begründung kann ich das tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Eine Folge [mm](\mu_{n})_{n\in\IN}[/mm] von Prämaßen auf einem
> Ring R sei isoton, d.h. [mm]\mu_{n}(A) \le \mu_{n+1}(A)[/mm] für
> alle A [mm]\in[/mm] R und alle [mm]n\in\IN.[/mm] Dann wird durch [mm]\mu(A)[/mm] :=
> [mm]sup\mu_{n}(A),[/mm] A [mm]\in[/mm] R, ein Prämaß [mm]\mu[/mm] auf R definiert.
> Die ersten beiden Schritte, um zu beweisen, dass [mm]\mu[/mm] ein
> Prämaß ist, sind mir klar. Bleibt also zu zeigen, dass:
>
> [mm]sup\mu_{n}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}sup\mu_{n}(A_{i})[/mm]
>
> Ich nehme an, es würde reichen, zu zeigen, dass ich bei
> der Summe das sup vor das Summenzeichen ziehen kann. Der
> Rest wäre dann trivial. Aber mit welcher Begründung kann
> ich das tun?
Tipp: da [mm]\mu_{n}(A) \le \mu_{n+1}(A)[/mm] , gilt:
[mm] \mu(A)=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu_n(A)
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:24 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Doemmi |
Vielen Dank für die fixe Antwort.
Gut, das mit dem lim sollte mich weiter bringen. Zuerstmal begründe ich die Existenz des lim mit der Monotonie der Folge. Zwar ist diese nicht endlich, aber da [mm] \mu [/mm] eine numerische Funktion ist, ist ja auch unendlich zugelassen.
gut, ich muss ja dann quasi beweisen, dass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu_{n}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}\mu_{n}(A_{i})
[/mm]
Nun muss ich aber auf der rechten Seite den lim vor das Summenzeichen ziehen, der Rest wäre dann wieder klar. Mit welcher Begründung kann ich das tun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 30.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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