Folge von Partialsummen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 14.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Meine Klausur rückt immer näher.
Leider sind bei meinen Vorbereitungen noch 3-4 Aufgaben offen geblieben, bei denen ich keinen Ansatz finde.
Ich hoffe, Ihr könn mir da schnell auf sie Sprünge helfen.
Es sei
[mm]x_n = \summe_{k=n+1}^{2n} 1/k[/mm].
Konv. die Folge der Partialsummen?
Ich habe echt keine Ahnung, wie ich das anstellen soll!
I need help!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Di 14.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi [m] \sqrt{\pi} [/m]
es gilt die abschätzung
[m] x_n = \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{k} \leq \sum_{k = n+1}^{2n} \frac{1}{n+1} \leq \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} [/m]
also gilt insbesondere, dass [m] x_n \leq 1 [/m]. nun kann man (hoffentlich) zeigen, dass [m] x_n \leq x_{n+1} [/m], also [m] x_n [/m] monoton wachsend. das habe ich mir so vorgestellt:
[m] x_{n+1} = \sum_{k = n+2}^{2n+2} \frac{1}{k} = \sum _{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 2} - \frac{1}{n+1} = x_n + \underbrace{ \left( \frac{1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 2} - \frac{1}{n+1} \right) }_{\geq 0} \geq x_n [/m]
wobei der ausdruck in klammern für alle [m] n \geq 0 [/m] größer null sein sollte - insofern ich mich nicht verrechnet habe.
also konvergiert [m] (x_n) [/m] nach dem satz von der monotonen folgenkonvergenz.
grüße
andreas
edit: falls es jemanden interessiert: laut maple gilt [m] x_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \ln 2 [/m] - warum auch immer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 14.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Andreas!
Danke für Deine schnelle Antwort.
> es gilt die abschätzung
>
> [m]x_n = \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{k} \leq \sum_{k = n+1}^{2n} \frac{1}{n+1} \leq \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}[/m]
>
> also gilt insbesondere, dass [m]x_n \leq 1 [/m]. nun kann man
> (hoffentlich) zeigen, dass [m]x_n \leq x_{n+1} [/m], also [m]x_n[/m]
> monoton wachsend. das habe ich mir so vorgestellt:
>
> [m]x_{n+1} = \sum_{k = n+2}^{2n+2} \frac{1}{k} = \sum _{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 2} - \frac{1}{n+1} = x_n + \underbrace{ \left( \frac{1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 2} - \frac{1}{n+1} \right) }_{\geq 0} \geq x_n[/m]
>
> wobei der ausdruck in klammern für alle [m]n \geq 0[/m] größer
> null sein sollte - insofern ich mich nicht verrechnet
> habe.
Ich komme zum selben Ergebnis!
Noch eine Frage zu Deiner Schlussfolgerung:
Da also die Folge der Partialsummen beschränkt ist (durch 0 und 1) und monton wachsend gilt also, dass die Folge konvergent ist.
Der Grenzwert dürfte doch dann 1 sein!
Habe ich das so richig verstanden?
Gruss,
Wurzelpi
> also konvergiert [m](x_n)[/m] nach dem satz von der monotonen
> folgenkonvergenz.
>
> grüße
> andreas
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Di 14.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Wurzelpi
der ausdruck partialsummen ist hier eher unvorteilhaft, da man dadurch immer automatisch an reihen denkt! hierbei handelt es sich aber nicht um reihen sondern tatsächlich um folgen (ich weiß, dass man reihen stets als folgen auffassen kann und umgekehrt, aber hier ist [m] (x_n) [/m] tatsächlich eine folge im klassischen sinne!).
bei der schlußfolgerung beziehe ich mich auf folgenden satz: gilt für eine folge [m] (x_n)_{n=0}^\infty [/m] reeler zahlen, dass diese beschränkt ist, also [m] \exists \, C \in \mathbb{Q} \; \forall \, n \in \mathbb{N}: x_n \leq C [/m] und ab einem index [m] n_0 [/m] monoton wachsend ([m] \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \; \forall \, n \geq n_0: x_n \leq x_{n+1} [/m]), dann konvergiert diese folge gegen eine reelle zahl [m] x [/m].
dieser satz lässt sich einfach mit der gegenannahme, dass die folge nicht konvergiert beweisen. anschaulich ist er aber - dernke ich - klar.
wie ich schon in meinem letzten beitrag editiert habe: die folge konvergiert anscheinend gegen [m] \ln 2 [/m]. $1$ ist nur eine "ganz grobe" obere schranke!
klar?
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Di 14.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andreas und Andreas!
Eine kleine Ergänzung:
> Da also die Folge der Partialsummen beschränkt ist (durch
> 0 und 1) und monton wachsend gilt also, dass die Folge
> konvergent ist.
>
> Der Grenzwert dürfte doch dann 1 sein!
>
> Habe ich das so richig verstanden?
Damit ist nur die Konvergenz gezeigt, nicht aber der tatsächliche Wert des Grenzwerts.
Wenn du aber zeigen kannst, dass jede Schranke S mit S<1 übertroffen wird, dann erst wäre der Grenzwert 1.
Bei gleicher Monotonie und gleicher Beschränkheit könnte die Folge ja auch gegen 0,9 konvergieren.
Aber da in der Aufgabenstellung der Granzwert gar nicht verlangt war, sollten wir uns um ihn auch keine Gedanken machen 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Di 14.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Da hast du wohl Recht!
Ich vergesse den Grenzwert einfach.
Gruss,
Wurzelpi
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Ich behaupte nicht, meine Überlegungen wären ein strenger Beweis,
hoffe aber daß sie einwenig helfen. Vielleicht sollte man auch den
Verdichtungssatz bemühen.
Die Anzahl der Glieder ist immer n,
für $ [mm] x_n [/mm] $ gilt somit $ [mm] \frac{n}{2n} [/mm] < [mm] x_n [/mm] < [mm] \frac{n}{n+1} [/mm] $
sie bleibt also sicher endlich.
Und
[mm] $x_{n+1}-x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1} [/mm] $
das sicher gegen 0 konvergiert - somit sollte es wohl auch $ [mm] x_n [/mm] $,
denn auch das uneigentliche Integral $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \int [/mm] _{n+1} ^{2n} [mm] \frac{dx}{x} [/mm] $
mit dem man die Summe annähern kann, konvergiert.
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